铅球投掷模型

1、西北农林科技大学实验报告学院名称：理学院专业年级：2011级信计1班姓 名：学 号：2011014816课 程：数学模型与数学建模报告日期：2013年11月7日1实验题目：铅球投掷模型2实验问题陈述：众所周知，铅球运动是指运动员单手托住铅球在投 掷圆内将铅球掷出并且使千秋在有效区域中， 以铅球的落地点与投掷 圆间的距离度量铅球投掷的远度，并以铅球投掷远度的大小评定运动 员的成绩。在铅球的训练和比赛中，铅球投掷的距离的远近使人们最 关心的问题，而对于教练和运动员最为关心的问题是如何使铅球投掷 得最远？由普通的投掷常识我们知道， 在投掷铅球的过程中，有两个 重要的因素：投掷角和初速度。对于教练来说

2、，平时的训练中，应更 注意哪方面的训练呢？3实验目的：建立模型进行分析如何能使铅球投掷的最远，在投掷角 和初速度两个重要因素上运动员在训练时应该更加注重哪一项的训 练。选择一个最优的方法使得训练更加具有针对性，使运动员提高起 来更加容易。4实验内容抛射模型:在这个模型中，我们不考虑投掷者在投掷圆内用力阶段的 力学过程，只考虑前球脱手使得初速度和投掷的角度对铅球投掷远度 的影响。为此，我们不妨把铅球视为一个抛射体，关于它的运动可以 在如下三个家设置下来分析。铅球被看成是一个质点，其初速度为 v，运动轨迹如图一铅球运动中忽略空气的阻力。投掷角 和初速度V是相互独立的，并且衡量成绩的远度记为运动员具

3、有身高h。以铅球出手点的铅垂方向为y轴（向上为正），以y轴与地面的交点到铅球落地点方向为 x轴构成平面直角坐标系。在此坐标系内考虑铅球的运动，由物理学的知识可以得到铅球运动方程:xV cosyv sint1t h gt20，2，g9.8米/秒,解这个方程，得y2gx2 22v costan x h图中显示铅球落在地面 A点，此时的远度是s，也即轨迹与x轴 相交于点（s,0 ）处。代入解出s，v2 sin 22v cos v2sin2 2gh2g这个公式中已经体现了初速度、投掷角度和远度之间的简单关系。也指明了铅球投掷的远度是如何依赖于前两者的。这就是我们需要的铅球投掷模型I 投射模型。模型II

4、 投掷模型在实际中我们从奥运会的女子铅球比赛中获得这样一组数据hvs实际成绩1.90m37.6013.75 m/s20.68m20.95m2.00m39.6913.52 m/s20.22m20.30m可以看到第二组数据h与 都提高了，但v与s却降低了。也就是 说随着 的提高，即使是更接近于最佳出手角度，成绩反而降低了， 主要原因在于v降低了，因此我们可以得出结论，与v之间一定有某种关系。因此模型I中假设3是不恰当的。实际上模型I只是刻画了铅球出手时与出手后的情形，而要刻画 出手速度与出手角度之间的依赖关系，我们必须对铅球出手前的运动 情况进行研究。也就是分析在投掷圆中的运动过程。 我们将投掷过

5、程 大致分为滑步和用力阶段。假设：滑步运动为水平运动，铅球随人的身体产生一个水平的初速度V。在用力阶段，运动员从开始用力推铅球到铅球出手有一段时 间，记为0到to。在运动员用力的时间内，运动员作用在铅球上的推力大小 F是 不变的，力的方向与铅球的出手角度 相同。现在用这三个假设代替模型I的假设，运动轨迹如图二，进一 步建立模型II 投掷模型。记xt,yt为开始用力后铅球运动轨迹的水平和铅垂方向坐标，则根据牛顿第二定律。mx t F cosmy t F sin mgm为铅球质量，F是推力， 为力的方向（出手角度）。根据整个 运动方式，我们知道t 0时开始用力，t to时铅球出手。于是可将 在o,

6、to上积分得mx t Ft0 cosC1my tFt0 sinmgt0 C2Ci,C2分别是t 0时铅球的水平与垂直的初速度。由假设知Ci V0,C20,代入上式：mx tFt0 cos v0my tFt0 sinmgt0上式表明了在F作用下，铅球在水平与垂直方向上的运动速度,可由此得到合速度v，可以看到它是一个与有关系的量。22 F22 2F22 2Fv ； x t y t .2 ggsin t v tv0cos b mmm将与合并就得到模型II 铅球的投掷模型v2 sin 2v .v2sin24ghcos22g2 2F .g 一gsinmt。2 応 2Ft0vcosm至此我们已经将投铅球的

7、整个过程完整地转换为一组公式，我们可以通过这个公式对投铅球运动的各项关键因素进行深入分析，以帮助运动员得到最好的成绩。1.建立掷远距离随出手速度和出手角度变化的函数文件fun cti on f=fun _s(a,v) f=(2.*1.8.*v.*v.*cos(a).*cos(a)./9.8+(v.*v.*si n(2.*a)./19.6).A2).A0.5+v.*v.*si n( 2*a)./19.6;2运行程序一，在matlab中绘出函数图像结果如下图所示:图3.不同出手速度和角度对应的抛掷距离图像Matlab 命令：1.在给定出手速度v下要达到最大射程时对应的角度，运行程序二结果如下图所示

8、：图4.出手速度不同时得到最大投掷距离对应的角度曲线3.2比较掷远结果对出手速度和出手角度的灵敏性。1 对角度B求导运行程序三结果如下图：3 Figmre 1k=lf 531File Edit Vi&w In serf T ools DseLtop Window H&lp 降fi寻丨怎歌忘丨硬 IO s 50Do110不同速度和角度T3对冃求导图像30谋底 m/s2.s对速度v求导运行程序四结果如下图:Figure 1旦UbJ不同速度和角废Ts对京求导圉像304 3 2 15实验结果分析与讨论可以看出，v与h越大，远度S越大。也就是说当一个运动员具有较优秀的身高和力量能使成绩更好，但另一方面这

9、两个因素又是非常 有限的。因此选择一个最佳的出手角度 是一个更实用的提高成绩的 方式。针对模型I就是求一个值可以使s最大，这是一个求函数极值的 问题。即利用算法0解出。得 cos2ghggh v2v2gg vh上式表明：给定V，当h变小，则相应的最佳角度 随之变大;当h变大，则相应的最佳角度随之减小。由于0,，当h=0时,2最佳出手角度 =45。这个结论是符合物理学规律的，但运动员是有 身高的即h 0，那么实际情况中会出现什么样的情况呢？这就需要对 模型II进行分析。给定h，当v变大，相应的最佳角度也变大。6实验程序(Matlab或者其它软件语言陈述)程序 一: v=li nspace(0,3

10、0,100);a=li nspace(0,pi/2.100);A,V=meshgrid(a,v);S=fu n_s(A,V);surf(A,V,S)ylabel(速度 V m/s);xlabel(角度);zlabel(投掷距离m);title(不同出手速度和角度对应的抛掷距离图像)；axis(O pi/2 0 30 0 100);程序二：fun cti on f=fun _sv(v)f=0.5*acos(1.8*98(1.8*9.8+v*v)/pi*180;绘出图像：fplot(fu n_sv,0,100);xlabel(速度 V m/s);ylabel(角度);title(v不同得到最大投掷

11、距离时对应的角度曲线)；axis(0 50 0 60);程序三：函数文件：fun cti on f=fun _da(a,v)h=1.8f=(v.A4.*si n(2*a).*cos(2*a)/9.8/9.8-2*h.*v.*v.*si n( 2*a)./9.8)./ 9.8./sqrt(8*9.8*h.*v.*v.*cos(a).A2+v.A4.*si n( 2*a).A2)+v.A2.*cos(2 *a)./9.8;绘出图像：da=fu n_da(A,V);surf(A/3.14*180,V,da)ylabel( 速度 V m/s);xlabel(角度);zlabel(不同角度对应的da);title(不同速度和角度下S对B求导图像)；axis(0 90 0 30 -100 100);程序四：函数文件：fun cti on f=fun _dv(v,a) w=4.*1.8.*v.*cos(a).*cos(a)./9.8+v.*v.*v.*si n(2.*a).*si n(2.*a)./ 98/9.8;q=(2.*1.8*v.*v.*cos(a)./9.8+(v.*v.*si