随机向量数字特征4-4

1、 2 葩加茁肚一.随机向量数字特征：h两个随机变量函数的均值公式(1) 设F=(X,Y)为二維连续型随机向量，概率密度为和站 W，则对于Z=f(X,Y)有(Z) = C/(X.y)3= I_f( 小&小用工旳.Jg设 A (X 2)为二维离散型随机向址，其概率分布为px=j；y=”=pij g i；y = G2j则对于Z = fXX.Y)有XZ) = EJ7X 了门=为孚3门划加* J(Ik ,2厂；j = l ,2,)，设(X的联合分布为P(X,Y) =如緘v =.PillE(X) = 2Xr沖小1 i2协方差与相关系数(1定义 称数值CX-(X)XY-(y)n为X,Y的协 方差(斜方差)，

2、记为cov(x,y)或。紆，对于Dx),D(y)也可以采 用5*9野丫称为随机变量X.Y的相关系数在不致引起混淆时，也可简记作P.(2) 性质(x=i3当x取值是2时,依题意y取值可能为1,2,此时(x,y)可能取值是(2,1),(2,2,而事件X=2,y=3是不可能事件.PX=2Y=1=PX = 2丫=1|X=2 = *X*=*,PX=2,Y = 2=PX=2 PY=2|X=2 = x =寺,0 6 0PX=2,Y = 3=0同理可得 即为所求w=(x,y的概率分布.(2)求(x.y)的关于y的边缘分布，只需在(x,y的分布表 中，按列相加很卩可求出的分布，具体作法是*由 (1)的分布表例3

3、设随机向量(X,Y)服从正态分布，其密度Y123p11521818f8它就是(x；y关于y的边缘分布.例2设随机向量(X)的联合密度为【0；其它.(1) 确定常数和(2) 求(X,Y)落在区域D的概率，其中D=Gtq：OOM1,032| (2)求(X,Y)落在区域D内的概率，使用公式%(X$Y) D = ”Cr,y)djdy,D此时(工：0文1,0VyM2于是有；1 2P 0X 1, 0y2 =12edyJ 0J 0r=(e_3x)|o (e_v) |q = (1e-3) (1e4)0. 9502,+ X,（一 8OV + 8； gy求概率PXY.解 将(x,Y)看作是平面上随机点的坐标，则y

4、=(才/)：2=，是平面上直线夕=工上方 的部分，于是少XY=F(X,Y)DD被积函数中含有x2+y因此使用极坐标计算这个积分，令x=rcos0? y=rsin0j则+了2=厂？ d jrdy=rdrdff,厂由。到+5由尹J”则D茨知T宀得+汩如%,1200ke zordr当龙V 或 时,7Q) = 0,当WzVO时*+】/k(h)= J 4dy=4(2_r+l) 所以考査当X取值为一i,y取值为1时的情形PX=_1,Y=1=寺,而iPX = _1=备，Fy=n = #,可见尸x=-i,y=i#尸以=一1 p(y-i. 所以X,Y不相互独立.显然，由上面联合分布表知PX = 4r.Y=-l

5、=2201 1 ? ? PX=- Fy=-l = -Xy = .所以px=-i=Px= py=-i),由于X和Y相互独立，因此尸X=-2,y=l=PX=-2 PY=H=专令=盏 同理，可以求出其它的尸X=,y=y,于是可得（x,y）的概率 分布表为124-253691205 莎1 y185111 F721814例8设二维随机向量（x,y）的概率密度为咎妙，0 V20j的关于X的边缘分布密度 W 当工k（h）= y.从而y 0x2jPx(x)=20,其它.再求出（X, Y）关于y的边缘分布密度. 当 yVO 及 yl 时，/,y（j） = 0,当0=丁 0=其它.因此，对于任意的H,都有/(xt

6、iy) = /)x(x)Py(y)成立所以X和Y相互独立.例9设(X,y)在圆域分+yWl服从均匀分布，问工，y相互独立吗？因圆域的面积所以(X.Y)的联合密度为PCtq) =0 其它,对于事件心并心為啲概率P心倉F)= yp(z,_y)Lz(広】=0,所以PX=- 而FX2 予r并0,尸了二三尹工0,所以=0g 寺心寺寺,皿寺,于是可以知道X.Y不是相互独立的解法二先求岀(X,门关于x,y的边缘分布p”a“yO)休(文)=十8PSA8其它7T其它.0.同理可得? 戶心)=_ /y, 0,其它，显然/!二？4一戸护7TK%所以，在圆域x2+yl内=pxG)9pY (y)不恒成立，于 是可知X,

7、了不相互独立.0Q+y心=召)d7 o= r由公式D(X) =JA-令)d J：(h+P22(x+l)djr=1136例12设XN(0,4),Y服从(0,4)上的均匀空布，并且X 和 丫 相互独立，求 D(X+Y),D(2X+3y),D(2X-3y解由正态分布和均匀分布的方差知D(X) = 4,p(y)=11=412由于X和Y独立，因此,2X和3丫也相互独立，从而z)(x+y)=z)(x)+D(y)=4+令=普,Q(2X + 3Y) = ZK2X)+D(3y)= 4ZXX) + 9D(y)= 2 &D(2X 3Y)=Q(2X)+D(3O = 2 &此处要注意，当X,Y独立时Q(2X3y)=D(2X)+D(3Y例14对二维随机向量(X人设X服从一 1门上的均匀 分布，Y=X爲证明cov(X,n = 0.证由均匀分布的期望因此cov(x,y)cx-()xy-rn= EXtY-E(YECXY-XE(Y) =(Xa)-(X) (y)E小结；由本例可知心(x)=o,x不相关畀旦儿丫并不独立(y=x例15 设x与y相互独立寰且(x-E(y)= c,D(x)- d(y)=护，求 (x-y)解 (X-y)=(X-(Y) = 0,因K,Y独立，所以Q(X-y)= D(X+Q(F) =屮丰 = 2,由DX)=E(X) C(X)F,可推岀E(f) =