用矩阵变换法解二元一次不定方程

1、用矩阵变换法解二元一次不定方程文献标识码： CDOI： 10.3969/j.issn.1672-8181.2015.03.1511 前言在一些初等数沦问题当中， 二元一次不定方程的求解具有一 定的现实意义， 因为在求多元一次不定方程的解时， 一般都是通 过将其转化为多个二元一次不定方程来实现求解目的， 造成整个 问题的解决十分麻烦， 使用矩阵变换法可以在求解的过程中具备 一定的便利性。2 矩阵变换法以及二元一次不定方程2.1 矩阵变换在线性代数当中， 矩阵的初等变换可以在数学求解过程中具 备较强的现实意义。 按照与其有关的知识点可以将其分为三种类 别，第一种是在变化矩阵的两行或者列， 第二种是

2、在非零数 k 乘 矩阵的某一行或者列， 最后一种就是将矩阵中的特定一行或者列 的 z 倍加在另一行或者列上。通过上述分析可以很清晰的判断， 这三个类型都没有对一个 方阵行列式的非零性造成影响。 由此可知， 如果矩阵本身具有方 阵的性质，那么就可以用之判断变换后的可逆性。实际上，此种 情况仅是其简单的应用， 其还能够在线性代数当中获得更加广泛 的应用。2.2 二元一次不定方程要想对其进行判断， 首先就要分析不定方程的含义。 其主要 是指在代数当中， 如果遇到变量的个数比方程多的时候， 变量还 要在此种情况下受到一些规则限定， 这些方程或者方程组就是不 定方程。其为数论的一个重要组成部分，已经在数

3、学界发展很多年， 且随着时间推移不断向前发展， 各种与之有关的内容也不断地向 前迈进，获得更加丰富的内涵。古希腊数学家曾经专门对此展开研究， 使得其能够在现实条 件的辅助下解决很多实际问题， 其作为数论的重要组成部分， 可 以说是整个此方面发展历史当中最受到关注的学科。 与其有关知 识十分复杂， 比如的代数沦等。 其主要的作用是确认解在什么时 候出现。如果解出现了，就可以利用其分析一共有多少个解。最 后一个功能也是其所具备的最重要的功能， 那就是得到全部的解 【1】。这个方面的知识是世界历史上存在时间最久的一个数学 的重要支系， 可以在当前的条件下实现各种问题的判定。 在国内 和国外都是在很早

4、之前就已经对此展开研究。其表达式一般可以限定为 ax+bx=c 。方程中的三个系数都必 须是整数，且前两者之积不能为 0。其有解的充分必要条件就是 前两个系数的最大公约数能够整除第三个系数。如果设定其 中 的两个整数解为 xa 和 ya ，那么就会有实际上，想要求其整数解，就要先从特解人手，将所有与其 有关的问题进行研究。 想要达到这个目的可以在很多方法的辅助 下实现，然后按照方法限定的规则利用实际例子的方式对其进行 求解过程推演，然后就可以推导出想要的特解。3 利用矩阵变换求解二元一次不定方程3.1 知识准备首先需要判定运算所用的集合为整数集， 在其上的初等变换 应该将其中的 i 和 i 两

5、个行或者列的所处的方位进行确认， 可以 将其设定为ri ri ,(ci ci )；然后将非零整数k乘矩阵的 i 行或者列，可以定位为 kri ( kxi )；把矩阵的特定行、 列i的k倍，施加到j之上，标记成rj=kri(cj+kcj )。将上述知识综合在一起进行分析就可以认为其是初等变换。 其发挥以 此作用之后可以得到一个矩阵，被定义为初等矩阵 2 。3.2 理论汪明 实际上，在前文当中已经对此研究需要运用的知识进行部分 叙述，将各种必须运用的知识以及定理进行综合应用就可以顺利 展开相关研究。 在研究开展之后， 应该运用相关的算法针对以上 的知识以及定理进行证明， 这个过程中是为了证实各种知

6、识具有 较强的合理性，其在发挥作用的过程中可以更好地解决现实问 题。但是， 这些理论的计算过程都已经在其中得到较为明确的应 用，而且也在上学过程中的有关教材里早已经得到证明，因此， 在此项研究当中并不需要逐一进行汪明， 限于篇幅， 以其中的一 个定理为例进行演示证明。 到了最终求解的时刻， 各种知识以及定理都会穿插应用，这就是数学问题的难点以及魅力所在【3】。将二元一次不定方程设定为 ax+by=c， d 作为前两个系数的 最大公因数。 则此时必须具备 d/c 可以获得整数。 在完成以上事 项之后，可以设定 A=在确定以上条件之后， 便可以按照正常的数理推理过程中展 开计算，最终可以求出方程的

7、通解，具体情况如下图所所示。针对上述通解进行计算可知，其中的cl z,符合ap11=bq12=d， c=c1da_3.3 实例求解例 1 方程为 5x+12v=18 解：经过求最大公约数发现， 5并不能和 1 8之间形成整除 关系，因而此方程无法进行求解。例 2 可以设定方程为 lllx-32ly=75 首先对其公约数进行确定，经过计算之后得出其为 3，可以被 75 整除，进而可以判断上式存在解。根据由此有关的知识可 知，经过方程变换可以先对 3 7x-107v=l 进行求解。具体的计算 思路十分清晰，限于篇幅限制，不再赘述，最终求得结果为：4 总结针对不定方程进行的研究已经持续很长时间， 在研究不断向 前推进的过程中，其能够发挥的现实作