特训“2+1+2”压轴满分练(二)理(含解析)

1、“2+ 1+2”压轴满分练（二） 1.已知 a B, C, D四点均在以点 0为球心的球面上，且 AB= AC= AD= 2 ： 5, BC= BD= 4 CD= 8.若球O在球O内且与平面BCD相切，则球Q直径的最大值为（） A. 1B. 2 C. 4D. 8 解析：选D由题意，得BC+ bD= CD,所以BCL BD,所以 BCD 为等腰直角三角形.如图，设 CD的中点为O则OBCD勺外心， 且外接圆半径r = 4.连接AO B0因为AC= AD= 2 ,：5,所以AOLCD AO- 2,又BO- 4,所以AO + BO= AB,所以ACL BQ所以ACL平面 BCD所以球心 O在直线AO

2、上设球 O的半径为 R则有r2+ OO- 氏,即16+ （R 2） 2= R2,解得R= 5.当球Q直径最大时，球 O与平面BCD相切，且与球 O 内切，此时A, O, O , O四点共线,所以球 Q直径的最大值为 R+ OO- 8. 2.已知函数 3 f (x) = (x a) 3x + a( a0)在1 , b上的值域为2 2a, 0,贝U b 的 取值范围是（ ) A. 0,3 B. 0,2 C. 2,3 D. ( 1,3 解析：选A 由题意，得f 2 (X) = 3(x a) 3 = 3(x a+ 1)( x a 1) 由 f (x)- =0 , 得 x = a+ 1 或 x= a 1

3、,所以当 a 1xa+ 1 时，f(x)0,当 xa+1 时， f (x)0,所以函数f(x)在(a 1, a+ 1)上单调递减， 在(一g , a 1) , (a+ 1, +)上单 调递增又 f(a+ 1) = 2a 2 , f(a 1) = 2a+ 2.若 f( 1) = 2a 2,即(1 a) + 3 + a= 2a 2,贝U a= 1,此时 f(x) = (x 1) 3x+ 1,且 f(x) = 4 时，x= 1 或 x= 2； 由f (x) = 0,解得x = 0或x = 3.因为函数f(x)在1 , b上的值域为4,0,所以Ow bw 3. 若f( 1) 2a 2,因为a0 ,所以

4、a 1 1,要使函数f(x)在1 , b上的值域为2 f 1 2a 2 , 2a, 0,需 a+1 w b,此时 a 1 1 , b,所以 f a1 w 0 , 3 1 a + 3 + a 2a 2 , 即无解综上所述,b的取值范围是0,3. 2a+2w 0 , 3.在平面四边形 ABCD , AB= 1, AC=5 , BDL BC, BD= 2BC则AD的最小值为 . n 解析：设/ BAC= a , / ABD=卩(卩 (0 , n ),则/ ABC=卩+ .在厶ABC中 ,由余弦 定理，得 BC= aB + AC 2AB- A(Cos a = 6 2；5cos a ,由正弦定理，得 .

5、BC = sin a AC一，即 BC= n sin (3 + p 兽/.仁ABD中，由余弦定理，得AD= AB+ DB 2AB- DBos 2l/5si n a 3 = 1 + 4BC 4BCJOS 3 = 1 + 4(6 2 ：5cos a ) 4 cos 3 -cos 卩=25 8 5cos a 4 ,5sin a = 25 20sin( a + 0 )(其中 sin 0 = h-5, cos 0 =)，所以当 Sin( a + 0 ) = 1，即 sin a=F, cos %=等时，AD取得最小值5, 所以AD的最小值为：5. 答案：,;5 4.椭圆E: 2 2 x V g+ b= 1

6、( ab0)的右顶点为 A,右焦点为 F,上、下顶点分别是 B, C, |AB =；7,直线CF交线段AB于点D,且|BD = 2| D* (1)求E的标准方程； 是否存在直线I，使得I交椭圆于M N两点，且 F恰是 BMN勺垂心？若存在, I的方程；若不存在，说明理由. 解：法一：由题意知 F(c, 0) , A(a, 0) , B(0 , b), C(0，- b), 所以直线AB的方程为 x+y = 1 a 十 b ， 直线CF的方程为 =1, x V a 十 b 1， 由 x V 1 一匚=1 c b 2ac 得，XD=五 2 2 所以椭圆e的标准方程为丁+3 = j 法二：如图，设椭圆

7、 E的左焦点为 G连接BG A A 因为 |BD = 2| DA，所以 BD = 2 DA, 2 2ac 2 所以 BD = 31 BA|，得齐c=3a, 解得 a= 2c,所以 b= :a2-c2= ,3c. 因为 | AB = ；7,g卩；a2 + b2 =戸，所以,% = ；7, 所以 c= 1, a= 2, b= ;3, 由椭圆的对称性得 BG/CF IGF = I FA |BD = I DA 假设存在直线l，使得F是厶BMN垂心，连接 BF,并延长，连接 MF并延长，如 l的方程为y= Mx1, 屮),N(X2, y2), y=#x+ m 消去 y 得 13x2 + 8 ：3m灶 1

8、2( ni 3) = 0, 即IGF = 2| FA| , 由题意知F(c, 0)，则| GF = 2C, | FA = a c, 所以 2c= 2( a c)，得 a= 2c, 所以 b= .;a2 c2 = ：3c. 因为 | AB = ,-7,即；a2 + b2= ：7, 即 :7c= .7, 所以 c= 1, a= 2, b= 3 2 2 所以椭圆e的标准方程为x+y = i. 43 图，贝U BFL MN MFL BN 由知，B（0 , ：3）,尺1,0）, 所以直线BF的斜率kBF= 3, 易知I的斜率存在，设为 k，贝U kBF k = 由 A = (8山624X 13X 12(

9、 n1 3)0 得, ,39 3 m 因为 MFL BN 所以 MF BN = 0, 因为 MF = (1 X1, y , BN= (X2, y2 占), 所以(1 xx2 y1(y2 =0, 即(1 X1)X2 31+ m _33X2 + m + :3 X1 + m = 0, 333 整理得 1晋m(X1 + X2)沁m+ 33 0, 整理得 21mi- 5寸3mv 48= 0, 解得 m=3或 m=- 63. 当m=3时，M或N与B重合，不符合题意，舍去; 当m=-晋时，满足-拧罟. 所以存在直线 l，使得F是ABMN勺垂心，l的方程为y=#x-苇”. 5.已知函数 f(x) = (ax2

10、 + 2ax + 1)ex 2. 讨论f(x)的单调区间; 1 若a-7，求证：当x0时，f(x)0 , f (x)0，所以f (x)的单调递增区间为(8,+ ). 2 1 (i )当 a2时, 当 a0 时，A = (4 a) 4a(2 a+ 1) = 4a(2a-1), A 0,令 u(x) = 0,得 X1 =-羽- a, X2= - 2aJ 2a - a，且 X10 , f(x)0, 当 x (X1, X2)时，u(x)0 , f ( x)0 , 所以f(x)的单调递增区间为 一8, - 2a- 2a - a ,- 2a+ 2a - a, +8 ，单调 aa 递减区间为 一 2a-v2

11、a一a 一2a+p2a一a. a a 1 (ii)当 0 0, f ( x) 0, 所以f (X)的单调递增区间为(一8,+8 ). 2a- 2a2- a 2a+J 2a2- a 当 a0,令 u(x) = 0,得 X1 =:, X2=:,且 X20 , f(x)0, 当 x ( -8, X2) U (X1,+8)时，u(x)0 , f (x) 2时，f(x)的单调递增区间为 oo 2a2a2 a 2a+2a2 a ，单调递减区间为 2a2a2 a 2a+2a2 a a ，a 1 当Ow aw 时，f (x)的单调递增区间为(o,+o )； 当a0 时，e (x + 2x) 0, 1 1 所以当 a 7时，0 (a)0时，f(x)0时, x2小 e x + 2x 7 x + e 2w 0, 即证当 x0 时