2021年高等数学一（专升本）考试题库（真题版）

1、2021年高等数学一（专升本）考试题库（真题版）单选题1.A、绝对收敛B、条件收敛C、发散D、收敛性与a有关答案：A解析：2.A、AB、BC、CD、D答案：C解析：由不定积分基本公式可知3.设f(x)在点x=2处连续，（）A、0B、1C、2D、任意值答案：B解析：4.A、AB、BC、CD、D答案：C解析：先依所给积分次序的积分限写出区域D的不等式表达式画出积分区域D的图形如图5-2所示上述表达式不是题目中选项中的形式如果换为先对y积分后对x积分的积分次序，则区域D可以表示为可知应选C说明此题虽然没有明确提出交换二重积分次序，但是这是交换二重积分次序的问题5.函数y=sinx在区间0，上满足罗尔

2、定理的=（）A、AB、BC、CD、D答案：C解析：6.设二元函数z=xy，则点Po(0，0)（）A、为z的驻点，但不为极值点B、为z的驻点，且为极大值点C、为z的驻点，且为极小值点D、不为z的驻点，也不为极值点答案：A解析：可知Po点为Z的驻点当x、y同号时，z=xy0；当x、y异号时，z=xy0，可知f(x)在-1，1上单调增加，最大值为f(1)=5，所以选D57.A、2x-2eB、2x-e2C、2x-eD、2x答案：D解析：由导数的基本公式及四则运算法则，有故选D58.设，y=COSx，则y等于()A、-sinxB、sinxC、-cosxD、cosx答案：A解析：由导数的基本公式可知，因此

3、选A59.A、2xB、3+2xC、3D、x2答案：A解析：由导数的基本公式及四则运算法则，有故选A60.设unvn(n=1，2，)，则（）A、AB、BC、CD、D答案：D解析：un、vn可能为任意数值，因此正项级数的比较判别法不能成立，可知应选D61.A、发散B、绝对收敛C、条件收敛D、收敛性与k有关答案：C解析：62.A、充分非必要条件B、必要非充分条件C、充分必要条件D、既非充分条件也非必要条件答案：B解析：由连续与极限的关系知选B63.A、5yB、3xC、6xD、6x+5答案：C解析：64.微分方程yx=0的通解为A、AB、BC、CD、D答案：D解析：解析所给方程为可分离变量方程65.A

4、、AB、BC、CD、D答案：D解析：66.微分方程y=1的通解为（）A、y=xB、y=CxC、y=C-xD、y=C+x答案：D解析：67.A、AB、BC、CD、D答案：A68.A、0B、0，则f(x)在(0，1)内（）A、单调减少B、单调增加C、为常量D、不为常量，也不单调答案：B解析：由于f(x)0，可知f(x)在(0，1)内单调增加因此选B159.A、收敛且和为0B、收敛且和为aC、收敛且和为a-a1D、发散答案：C解析：160.A、AB、BC、CD、D答案：C解析：161.A、cos(x+y)B、-cos(x+y)C、sin(x+y)D、-sin(x+y)答案：B解析：162.A、f(b

5、)-f(a)B、f(b)C、-f(a)D、0答案：D解析：由于定积分存在，它表示一个确定的数值，其导数为零，因此选D163.设函数f(x)与g(x)均在(a，b)可导，且满足f(x)A、必有f(x)g(x)B、必有f(x)C、必有f(x)=g(x)D、不能确定大小答案：D解析：由f(x)164.设Y=e-5x，则dy=()A、-5e-5xdxB、-e-5xdxC、e-5xdxD、5e-5xdx答案：A解析：【评析】基本初等函数的求导公式与导数的四则运算法则是常见的试题，一定要熟记基本初等函数求导公式对简单的复合函数的求导，应该注意由外到里，每次求一个层次的导数，不要丢掉任何一个复合层次165.

6、A、1/3B、1C、2D、3答案：D解析：解法1由于当x一0时，sinaxax，可知故选D解法2故选D166.设函数f(x)=sinx，A、sinx+CB、cosx+CC、-sinx+CD、-cosx+C答案：A解析：167.函数f(x)在点x=x0处连续是f(x)在x0处可导的（）A、充分非必要条件B、必要非充分条件C、充分必要条件D、既非充分条件也非必要条件答案：B解析：由可导与连续的关系：“可导必定连续，连续不一定可导”可知，应选B168.设函数f(x)在0，b连续，在(a，b)可导，f(x)0若f(a)f(b)0，则y=f(x)在(a，b)()A、不存在零点B、存在唯一零点C、存在极大

7、值点D、存在极小值点答案：B解析：由于f(x)在a，b上连续f(z)fb)0，可知f(x)在(a，b)内单调增加，因此f(x)在(a，b)内如果有零点，则至多存在一个综合上述f(x)在(a，b)内存在唯一零点，故选B169.设y=cos3x，则y=（）A、AB、BC、CD、D答案：D解析：y=cos3x，则y=sin3x(3x)=-3sin3x因此选D170.设区域D=(x，y)|-1x1，0y2，A、1B、2C、3D、4答案：D解析：4，因此选D171.在空间直角坐标系中，方程x2+z2=z的图形是（）A、圆柱面B、圆C、抛物线D、旋转抛物面答案：A解析：线为圆、母线平行于y轴的圆柱面172

8、.设x是f(x)的一个原函数，则f(x)=A、AB、BC、CD、D答案：C解析：x为f(x)的一个原函数，由原函数定义可知f(x)=x=1，故选C173.设y=5x，则y=（）A、AB、BC、CD、D答案：A解析：174.A、3(x+y)B、3(x+y)2C、6(x+y)D、6(x+y)2答案：C解析：175.A、2xy+sinyB、x2+xcosyC、2xy+xsinyD、x2y+siny答案：A解析：将y认作常数，可得知因此选A176.A、AB、BC、CD、D答案：A177.过点(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)的平面方程为()A、x+y+z=1B、2x+y+z=1C、x+2y

9、+z=1D、x+y+2z=1答案：A解析：设所求平面方程为由于点(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)都在平面上，将它们的坐标分别代入所设平面方程，可得方程组故选A178.设区域D为x2+y24，A、4B、3C、2D、答案：A解析：A为区域D的面积由于D为x2+y24表示圆域，半径为2，因此A=22=4，所以选A179.A、AB、BC、CD、D答案：B解析：180.A、AB、BC、CD、D答案：D解析：181.A、AB、BC、CD、D答案：A解析：182.A、1B、2C、x2+y2D、TL答案：A解析：183.设函数f(x)=COS2x，则f(x)=()A、2sin2xB、-2sin2

10、xC、sin2xD、-sin2x答案：B解析：由复合函数求导法则，可得故选B184.A、-exB、-e-xC、e-xD、ex答案：C解析：由可变上限积分求导公式有，因此选C185.A、4B、3C、2D、1答案：C解析：由等比级数和的公式有故选C186.A、-2B、-1C、0D、21答案：A解析：187.设A、-cosxB、cosxC、1-cosxD、1+cosx答案：B解析：由导数四则运算法则，有故选B188.设f(x)在a，b上连续，xa，b，则下列等式成立的是（）A、AB、BC、CD、D答案：B解析：由可变限积分求导公式知选B。189.A、AB、BC、CD、D答案：D解析：由所给二次积分可

11、知区域D可以表示为0yl，yx1其图形如右图中阴影部分又可以表示为0x1，0yx因此选D。190.A、sinx+CB、cosx+CC、-sinx+CD、-COSx+C答案：A解析：191.A、AB、BC、CD、D答案：A192.A、e-2B、e-1C、eD、e2答案：D解析：由重要极限公式及极限运算性质，可知故选D193.设f(x)在点x0处可导，（）A、4B、-4C、2D、-2答案：D解析：因此f(x0)=-2，可知选D194.曲线Y=x-3在点(1，1)处的切线的斜率为()A、-1B、-2C、-3D、-4答案：C解析：点(1，1)在曲线由导数的几何意义可知，所求切线的斜率为-3，因此选C1

12、95.A、AB、BC、CD、D答案：D解析：196.A、AB、BC、CD、D答案：A解析：197.A、6xarctanx2B、6xtanx2+5C、5D、6xcos2x答案：C解析：198.设球面方程为，则该球的球心坐标与半径分别为()A、(-1，2，-3)；2B、(-1，2，-3)；4C、(1，-2，3)；2D、(1，-2，3)；4答案：C解析：对照球面方程的基本形式可知因此球心坐标为(1，-2，3)，半径为2，故选C199.A、AB、BC、CD、D答案：D解析：200.A、2B、1C、0D、-1答案：C解析：填空题（总共150题）1.答案：2.答案：3.答案：积分区域D的图形如图57所示由

13、被积函数及积分区域D可知，可以将二重积分化为任意次序的二次积分若化为先对Y积分，后对x积分的二次积分，D可以表示为4.由曲线y=x2，直线y=a，x=0及x=1所围成的图形如图34中阴影部分所示，其中0a1(1)求图中阴影部分的面积A(2)问a为何值时，A的取值最小，并求出此最小值答案：5.答案：6.答案：27.(1)求函数y=f(x)的表达式；(2)讨论函数y=fx)在(0，+)内的单调性答案：8.设曲线及x=0所围成的平面图形为D(1)求平面图形D的面积s(2)求平面图形D绕y轴旋转一周生成的旋转体体积V答案：平面图形D如图3-2所示(1)(2)9.二阶线性常系数齐次微分方程y+2y=0的

14、通解为_答案：10.答案：11.设y1(x)、y2(x)是二阶常系数线性微分方程y+py+qy=0的两个线性无关的解，则它的通解为_答案：由二阶线性常系数微分方程解的结构可知所给方程的通解为其中C1，C2为任意常数12.答案：由反常积分的定义可知13.微分方程xy=1的通解为_.答案：【解析】所给方程为可分离变量方程14.答案：【评析】此时收敛区间由-115.设x2为f（x)的一个原函数，则f（x)=_答案：由原函数的概念可知【评析】原函数的概念、不定积分的性质是常见的考试试题应熟记原函数的定义：若在内的原函数16.答案：对应齐次微分方程的特征方程为17.答案：【评析】分部积分的题目基本上都属

15、于较难的题目，备考考生可酌情考虑如何对待18.答案：由一阶线性微分方程通解公式有19.答案：所给问题为反常积分问题，由定义可知【评析】反常积分需依定义化为定积分与极限来运算20.答案：21.答案：积分区域D为半圆环域，利用极坐标计算此二重积分较方便在极坐标系下，戈2+Y2=1可以化为r=1；x2+y2=4可以化为r=2因此区域D可以表示为因此22.答案：23.微分方程dy+xdx=0的通解y=_.答案：【解析】所给方程为可分离变量方程24.答案：由于积分区间为对称区间，被积函数为奇函数，可知25.答案：26.设函数z=xy，则全微分dz_.答案：27.求函数的单调区间和极值答案：函数的定义域为

16、函数f(x)的单调减区间为(-，0，函数f(x)的单调增区间为0，+)；f(0)=2为极小值28.过原点(0，0，0)且垂直于向量(1，1，1)的平面方程为答案：依法线向量的定义可知，所求平面的法线向量n=(1，1，1)由于平面过原点，依照平面的点法式方程可知，所求平面方程为29.答案：30.答案：31.答案：32.答案：33.用洛必达法则求极限：答案：34.，其中D是由及x轴所围成的平面区域答案：积分区域D如图5-5所示若选择先对Y积分后对x积分，区域D可以表示为因此35.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数答案：【评析】将函数展开为幂级数，通常将函数与标准展开式中的函数对照展开为幂级数之后

17、一定要注明收敛域36.答案：37.设ex-ey=siny，求y答案：38.答案：39.答案：40.答案：1/641.答案：42.答案：-243.答案：44.答案：由被积函数与积分区域可知可以选择先对Y积分，也可以选择先对x积分45.，其中区域如图5-3所示，由y=x，y=1与Y轴围成答案：将所给积分化为二次积分46.设y=ex+1，则dy=_。答案：47.求微分方程y+3y=3x的通解答案：48.证明：答案：【评析】49.答案：【评析】如果在定积分运算中引入新变元，积分限一定要随之相应变化如果利用凑微分法运算，不需变积分限50.二阶常系数齐次微分方程y-4y+4y=0的通解为_答案：51.过原

18、点且与平面2x-y+3z+5=0平行的平面方程为_答案：已知平面的法线向量n1=(2，-1，3)，所求平面与已知平面平行，因此可取所求平面的法线向量n=n1=(2，-1，3)，又平面过原点(0，0，0)，由平面的点法式方程可知，所求平面方程为52.答案：53.答案：【评析】求二阶偏导数时，只需依求偏导数的规则，连续两次进行求偏导数的运算54.答案：55.答案：56.答案：由不定积分的基本公式及运算法则，有【评析】不定积分的基本公式及不定积分的加减法运算法则几乎是每年都要考的内容，应引起重视57.答案：58.答案：若选择先对Y积分后对x积分，则若选择先对x积分后对Y积分，运算较上述复杂59.答案

19、：60.答案：【评析】定积分的分部积分运算u，u的选取原则，与不定积分相同只需注意不要忘记积分限如果被积函数中含有根式，需先换元，再利用分部积分61.答案：262.(1)将f(x)展开为x的幂级数；(2)利用(1)的结果，求数项级数的和答案：(2)在上述展开式中，令x=1，可得63.答案：64.答案：65.答案：由不定积分基本公式可知66.设y=5+lnx，则dy=_。答案：67.微分方程xyy=1-x2的通解是_.答案：68.答案：69.设ex-ey=siny，求y答案：70.答案：由所给积分次序的积分限可以得出区域D的不等式表达式区域D如图5-1所示，因此D又可以表示为0y1，yx171.

20、答案：注不加绝对值符号不扣分；不写常数C扣1分72.用洛必达法则求极限：答案：73.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1x2+y24，x0，y0，其面密度u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m答案：由二重积分物理意义知【评析】如果被积函数为f(x2+y2)的形式，积分区域D为圆域或圆的一部分，此时将化为极坐标计算常常较简便74.答案：75.答案：充分非必要条件76.答案：77.求由曲线y=x2(x0)，直线y=1及Y轴围成的平面图形的面积答案：y=x2(x0)，y=1及y轴围成的平面图形D如图31所示其面积为78.答案：79.设y=f(x)可导，点a0=2为f(x)的极小值点，且f(2)=

21、3，则曲线y=f(x)在点(2，3)处的切线方程为_答案：由于y=f(x)可导，点x0=2为f(x)的极小值点，由极值的必要条件可知f(2)=0曲线y=fx)在点(2，3)处的切线方程为y-3=f(2)(x-2)=0，即y=3为所求切线方程80.答案：81.答案：由可变上限积分求导公式可知【评析】若fx)为连续函数，且，即被积函数在上限处的值需记住这个变化82.答案：83.将ex展开为x的幂级数，则展开式中含x3项的系数为答案：84.答案：积分区间为对称区间，被积函数为奇函数，因此85.答案：86.(1)求曲线Y=ex及直线x=1，x=0,y=0所围成的平面图形(如图33所示)的面积A(2)求

22、(1)中平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积Vx.答案：87.用洛必达法则求极限：答案：88.答案：89.答案：90.答案：91.答案：92.答案：93.设函数z=e2x+y则全微分出dz=_.答案：94.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图21所示)设梯形上底CD长为2x，面积为S(x)(1)写出S(x)的表达式；(2)求S(x)的最大值答案：【评析】求函数fx)在a，b上的最值时，如果求出fx)的驻点，一定要先判定驻点是否落在a，b上95.答案：96.答案：97.答案：由等比级数和的公式有98.答案：99

23、.设函数z=ln(x+y2)，则全微分dz=_.答案：100.答案：所给级数为不缺项情形101.y+5y=0的特征方程为答案：由特征方程的定义可知，所给方程的特征方程为【评析】如果是求该方程的解，则可以将所给方程作为可降阶方程求解，但当作二阶线性常系数方程求解较简便102.答案：103.答案：104.答案：105.答案：106.答案：所给问题为计算反常积分的反问题，由于107.答案：108.过点Mo(1，-1，0)且与平面x-y+3z=1平行的平面方程为_.答案：由于已知平面的法线向量所求平面与已知平面平行，可取所求平面法线向量又平面过点Mo(1，-1，0)，由平面的点法式方程可知，所求平面为

24、【评析】上述两种形式都正确前者为平面的点法式方程；后者为平面的一般式方程109.答案：由可变上限积分求导公式可知110.答案：111.答案：112.答案：113.答案：114.答案：解：对方程两边关于x求导，y看做x的函数，按中间变量处理115.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a0答案：116.答案：117.将函数f(x)=xe3x展开为x的幂级数，并指出其收敛区间答案：118.设Y=y(x)满足2y+sin(x+y)=0，求y答案：将2y+sin(x+y)=0两边对x求导，得119.答案：120.用洛必达法则求极限：答案：121.答案：122.函数Y=xln

25、x的单调增加区间是_答案：y=xlnx的定义域为x0123.过坐标原点且与平面2x-y+z+1=0平行的平面方程为_.答案：已知平面的法线向量n1=(2，-1，1)，所求平面与已知平面平行，可设所求平面方程为2x-y+z+D=0，将x=0，y=0，z=0代入上式，可得D=0，因此所求平面方程为2x-y+z=0124.用洛必达法则求极限：答案：125.答案：126.答案：127.答案：128.答案：所给极限为重要极限公式形式可知129.答案：130.设Z=Z(x，Y)是由方程x+y3+z+e2=1确定的函数，求dz答案：利用隐函数求偏导数公式，记131.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值答案：函数的定义域为注意【评析】判定f(x)的极值，如果x0为f（x)的驻点或不可导的点，可以考虑利用极值的第一充分条件判定但是当驻点