微积分(上)复习资料_公式

1、微积分(上)复习资料一一公式 1函数 11初等函数： 常量函数y=c(c) 無函数y=H(a) 指数函数y=0(aO,aO) 对数函数唾耳0,曲0) 三角函数 M = sin珅 |y = cos% y = tan 无 y = cotx y = arccos 尢=cos 一 丨无 一 1 反三角函数A = arcsin x = s】n 兀| y = arctan x = tan -1 x y = arccot x = cot1 x 12三角函数公式 1 两角和公式 sui(A + B) = sui A cos B+cos A sin B sin(A -B) = sm A cos B - cos

2、A sin B cos(力 + 3) = cos A cos B - sin A sm B cos(A -B) = cos A cos B + sin 4 sm B tan(A 一 B)= tail A - tail B 1 +tan A tan B tan(A + B) = tan A + ianB 1-tan A tan cg4 + B)=coSc。”-1 cot B + cot 4 cot(A-=CoMcOt + 1 cot B-cotA 2 二倍角公式 sm2A = 2smAcos A cos2A = cos2 A-sm2 A = l-2sm2 A = 2cos2 A-l tan 2A

3、 = 2 tan A 1-tan2 A 3半角公式 A cos= 2 11 + cosA V2- A /I-cos A sin A tan = J= 2 v 1 + cos A 1 + cos A A /1 + cos A sin A cot= J= 2 v 1-cosA 1 - cos A 4和差化积公式 suirt + sin/? = 2sm a + b I- cos a-b F sind-sinb = 2cos sm a-b F cosa + cosb = 2cos a + ba-b cos 2 2 cosa-cosb = -2sin a + b T a-b sin 2 tan 6/+

4、tan/?= Sill ( + /?) cos acosb 5积化和差公式 sin o sin b = 一 丄cos (a + b)-cos (o 一 b) cosacosb = cos(a + b) + cos(d-b) sin a cos b =丄sm (a + b) + sm (a-/?) cos a sin b =丄sm ( + /?)- sin (a 一 b) COS Cl = 1+tan2 2 6万能公式 2 tan 2 sina = 1 +tan2 2 7平方关系 SUl2 x+cos2 X=1 sec2 x-tan2 x = l esc2 x-cov x = l 8倒数关系 t

5、aiixcotx = l secx cosx = l C5cx-smx = l 9商数关系 sin x tanx = cosx cosx cot x = sm x 【特殊角的三角函数值】 -兀 一 3 - n si X 2 cos % X 2 tan x cot % 不存在 不存在 0不存在 2极限 21数列极限四则运算 若数列电i与囤为收敛数列, 则招泄如1也如也是收敛数列，且 lim (an 土 bj = lim an 土 lim bu n-00；l-0071T8 lim (a“ /J=lim an - lim bn rwco71T871T8 ) 2.2函数极限运算 定理1四则运算法则 (

6、1) lim f(x) 9(尢)=lim /(%) lim g(x) = AB XXqX-XoXT lim /(%) - (x) = lim /(x) - lim g(x) = A- B XXqXTXXq lim r(x) lim 竺= .x-*x0 A :M g(K) lim g(x) B 症0） x-xou KF。 (B 定理2复合函数极限 ，反三Z在囤有定义 limfu) = u0 B ifo 设函数IE三巫回是函数M = e（x）L 亘的复合函数。 limfg(x) =/(u0) XT lim(p(x) = u0 因为,所以定理结论也也可写成 mfg) *伽 g) lim /(x) 推

7、论3若卜%|存在,C为常数，则 lim “(%) = C lim f (x) x-Xqx-x0 lim /(x) 推论4若卜%|存在,n为正整数，则 Zin? |/(%)：fl= limf(x)n X-XoXFo 23常用极限 lim亦=1 TOC limaictanx = ttr2 lull arc tan x = tty2limarc cotx = 0 AT” liin aic cot x = A-X liin ex = 8 耳一48 lull xv = 1 x-0* lull e r = 0 血严*+心严+% 5狀+“严+ 仏n = m bo 0n m （系数不为0的情况） A-x 2.

8、4常用曰时的等价无穷小 sin x兀| larcsin %x| tan xx| I arctan xx ， In (1 +兀)玮| 乂 _ 1才| 1 _ cos兀 gx- 1-xln a (1 + 无) 一 1 处 3导数 31导数的四则运算法则 (iw) = u “ + 叫(Cu) = Cu|, 推广|(uvw) = uPw + izi/vv + umv 反函数导数：w =剧或陡二吩 I； |dy _ dy du 复合函数导数：V=厂包）+ 0（x）1或肩=亦詞（链式法则） 3.2基本导数公式 3.3高阶导数的运算法则 Q2*ln0* (13)(arcsmx) = 丁 y/1-X2 Q4)

9、(arccosx)=/ yjl-x2 t (15)( arctan x) =7 1 + . Q6)(aiccotx)= 1 + JT （4）论（对立创心心严 k=0 3.4基本初等函数的n阶导数公式 兀1 2丿 cos (ox+ b) = a cos ax + b + n 1 ax + b (w)t 19 代(1)! (ax+b)n (7) ln(ar + /?)(n)=(-l) 5微分 5.1微分的四则运算 根据与导数的关系，所以与导数相同 5.2微分的近似计算中的应用 由函数增量与微分的关系by =广（）朋+ “ 加二dy + “ 匈，其中叵回时 。叫 当画1很小时，有匝三亟，闵此+ %）

10、= f（%） + f （%）%或当卜=无o 时有|心）Q 0）+ f （无0）（尢一谆 令匹日,得下列函数在原点附近的近似公式：卜x a tan X in咒=班 5.3微分公式与微分运算法则 (l)d(c) = O (3) d (sill x) = cos xdx (4) d (cos x) = - sill xdx d (tan x) = sec2 xdx d (cot x) = - esc2 xdx (7) d (sec x) = sec x- tail xdx (8) d (esc x) = 一 esc x cot xdx d ex = exdx 5.4微分运算法则 (1) d (u v

11、) = du dv d (z) = vdu + udv vdu 一 udv d- J lv； V d(cu) = cdu 5.5几种常见的微分方程（课外知识） i可分离述的微分方程：牛=/G)g(y)，|久(x)&(y)加+Z：(x)g2(y)心=0 2. 齐次微分方程：=/(* 3. -般性非齐次微分方程：字+(x)y = g) 、=汁 g | Q(x)ePx / 1 dx = arcsni x + c yll-x2 J cscMx = ln|cscx - 13、 L dx = arc taiix + c 1 + jr X-X 23、shxdx = chx+c其中shx = 一-一为双曲正弦函数（课外知识） 24. chxdx=shx + c其中chx = 一-一 为双曲余弦函数（课外知识） &2下列常用凑微分公式 85分部积分法公式 形如J xneaxdx ,令a =疋,dv =严dx 形如Jf sinxdx令|=讥 dv = smxdx 形如 J cos xdx |令* =司,|dv = cosa 形如 | xn arctaii xdx ,令 u = arcta