导数知识点总结学习资料

1、学习资料导 数知识要点导数的概念导数的几何意义、 物理意义导常见函数的导数导数的运算数导数的运算法则函数的单调性导数的应用函数的极值函数的最值1. 导数（导函数的简称）的定义：设 x0 是函数 y f (x) 定义域的一点，如果自变量 x 在 x0 处有增量x ，则函数值 y 也引起相应的增量y f (x0 x) f ( x0 ) ；比值y f ( x0x)f ( x0 )称为函数 y f (x) 在点 x 0 到 x0x 之间的平均变化率；如果极xx限 limylimf (x0x) f ( x0 ) 存在，则称函数 yf (x) 在点 x 0 处可导，并把这个x 0xx0x极 限 叫 做 y

2、 f ( x) 在 x0处 的 导 数 ， 记 作 f ( x0 ) 或 y | x x0， 即f (x0 ) = limylimf (x0x)f ( x0 ) .x 0xx0x注： x 是增量，我们也称为 “改变量 ”，因为 x 可正，可负，但不为零 .已知函数 yf (x) 定义域为 A ， y f (x) 的定义域为 B ，则 A 与 B 关系为 A B .2. 函数 y f ( x) 在点 x0 处连续与点 x0 处可导的关系：函数 y f (x) 在点 x0 处连续是y f ( x) 在点 x0 处可导的必要不充分条件 .可以证明，如果 yf ( x) 在点 x0处可导，那么 yf

3、( x) 点 x0 处连续 .事实上，令 x x0x，则 x x0 相当于 x 0 .各种学习资料，仅供学习与交流学习资料于是 lim f (x)lim f ( x0x) lim f (xx0 ) f (x0 )f (x0 )xx0x 0x0lim f (x0x)f ( x0 )x f (x0 )limf ( x0x)f ( x0 )limlimf (x0 )f (x0 ) 0 f ( x0 ) f ( x0 ).x 0xx 0xx 0x 0如果 yf (x) 点 x0 处连续，那么 yf (x) 在点 x0 处可导，是不成立的 .例： f ( x)| x |在点 x0 0 处连续，但在点 x

4、00处不可导，因为y|x | ，当 x xx0 时， y1；当 x 0 时， y1 ，故 limy 不存在 .xxx0x注：可导的奇函数函数其导函数为偶函数.可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3. 导数的几何意义：函数 yf (x) 在点 x0 处的导数的几何意义就是曲线 yf ( x) 在点 (x0 , f ( x) 处的切线的斜率，也就是说，曲线 yf ( x) 在点 P ( x0 , f (x) 处的切线的斜率是 f (x 0 ) ，切线方程为 yy0 f (x)( x x0 ).4、几种常见的函数导数：C 0（C为常数）( xn ) nx n 1 （ nR ）(sin x) cos x

5、(cos x) sin x(ln x) 1(log a x) 1 log a exx( e x ) e x(a x )a x ln a5. 求导数的四则运算法则：(uv)u vyf 1 (x)f 2 ( x).f n (x)yf1 (x)f 2 (x).f n (x)( uv)uvvu v u( cv) c v cvcv （ c 为常数）v uvu0 )v 2( v注： u,v 必须是可导函数 .若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导 .例如：设 f ( x)2 sin x2 ， g (x) cos x 2 ，则 f (x), g (

6、x) 在 x 0 处均不可导，但它们xx和 f (x)g(x)sin xcos x 在 x0 处均可导 .各种学习资料，仅供学习与交流学习资料6. 复合函数的求导法则：f x ( (x)f (u) ( x) 或 y xy u u x复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.7. 函数单调性：函数单调性的判定方法：设函数 yf (x) 在某个区间内可导， 如果 f ( x) 0，则yf (x) 为增函数；如果f ( x) 0，则 yf (x) 为减函数 .常数的判定方法；如果函数 yf ( x) 在区间 I 内恒有 f (x) =0，则 yf ( x) 为常数 .注： f (x)0 是 f（

7、x）递增的充分条件， 但不是必要条件， 如 y2x3 在 (,) 上并不是都有f (x)0 ，有一个点例外即x=0 时 f（ x） = 0，同样 f (x)0 是 f（ x）递减的充分非必要条件 .一般地， 如果 f（x）在某区间内有限个点处为零， 在其余各点均为正 （或负），那么 f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的 .8. 极值的判别方法： （极值是在 x0 附近所有的点，都有 f (x) f ( x0 ) ，则 f ( x0 ) 是函数 f (x) 的极大值，极小值同理）当函数 f ( x) 在点 x0 处连续时，如果在 x0 附近的左侧f如果在 x0 附近的左侧f(x)(x

8、) 0，右侧 0，右侧ff( x)( x) 0，那么 f ( x0 ) 是极大值； 0，那么 f ( x0 ) 是极小值 .也就是说 x0 是极值点的充分条件是x 0 点两侧导数异号，而不是f (x ) =0. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点 . 当然，极值是一个局部概念， 极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同） .注：若点 x0 是可导函数f ( x) 的极值点，则f ( x) =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点 x0 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零 .例如：函数 yf ( x) x 3 ， x 0 使

9、f (x) =0，但 x 0 不是极值点 .例如：函数 yf (x) | x |，在点 x0 处不可导，但点 x 0 是函数的极小值点 .9. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较 .注：函数的极值点一定有意义 .各种学习资料，仅供学习与交流学习资料导数练习一、选择题1设函数 f ( x) 在 R 上可导 , 其导函数 f ( x) , 且函数 f ( x) 在 x2 处取得极小值 ,则函数 yxf (x) 的图象可能是2设 a0,b0,e 是自然对数的底数（）A若 ea+2a=eb +3b, 则 abB若 ea+2a=eb +3b, 则 abD若

10、 ea-2a=eb -3b, 则 a0,0.A若 2a2a2b3a b若 2a2a 2b3b,则 a bb , 则BC若 2a2a2b3ab3b , 则 D若 2 2a 2a ba b9设函数 f ( x) 在 R 上可导 , 其导函数为 f ( x) , 且函数 y(1x) f ( x)的图像如题 (8) 图所示 , 则下列结论中一定成立的是（）A函数 f ( x) 有极大值 f (2) 和极小值 f (1)B函数 f ( x) 有极大值 f ( 2) 和极小值 f (1)C函数 f ( x) 有极大值 f (2) 和极小值 f ( 2)D函数 f ( x) 有极大值 f ( 2) 和极小值

11、 f (2)10设函数 f (x)xex , 则（）A x1为 f (x) 的极大值点B x 1 为 f ( x) 的极小值点C x1 为 f (x) 的极大值点D x1 为 f ( x) 的极小值点11 设 a0 且 a1 , 则 “ 函数 f ( x)a x 在 R 上是 减函 数 ” , 是 “ 函 数各种学习资料，仅供学习与交流学习资料g( x)(2a) x3 在 R 上是增函数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件12已知函数 yx33xc 的图像与 x 轴恰有两个公共点 , 则 c（） 2 或29 或31或13 或1ABCD二、填空题13曲线

12、yx(3lnx1) 在点 (1,1) 处的切线方程为 _14曲线 yx3x3 在点1,3处的切线方程为 _.三、解答题15已知函数 f ( x)ax3bxc 在 x2 处取得极值为 c16(1) 求 a、b 的值 ;(2) 若 f (x) 有极大值 28, 求 f (x) 在 3,3 上的最大值 .16已知 aR,函数 f ( x)4 x32axa(1) 求 f(x) 的单调区间(2) 证明 : 当 0x1 时 ,f(x)+2a 0.17已知函数 f ( x)1 x3 1 a x2 ax a(a 0)3 2(I) 求函数 f (x) 的单调区间 ;(II) 若函数 f (x) 在区间 ( 2,0) 内恰有两个零点 , 求 a 的取值范围 ;(III)当 a 1 时 , 设函数 f (x) 在区间 t ,t 3 上的最大值为 M (t ) , 最小值为m(t ) , 记 g(t)M