2011年第十六届华杯赛决赛试题及答案（北京）

1、2011年第十六届华杯赛决赛小学组试题及详解一、填空题（每小题10分，共80分）1、1+3+5+7=【解析】带分数加减，整数和整数算，分数和分数算。原式=1+3+5+7+=16+4-=20-1=182、工程队的8个人用30天完成了某项工程的，接着增加了4个人完成其余的工程，那么完成这项工程共用了_天。【解析】工程问题。归一的方法，一个人一天完成的工量是830=。于是12个人完成余下的（1-）需要时间是：（1-）（12）=40天，共用时间30+40=70天3、甲乙两人骑自行车同时从a地出发去b地，甲的车速是乙的车速的1.2倍。乙骑了5千米后，自行车出现故障，耽误的时间可以骑全程的。排除故障后，乙

2、的速度提高了60%。结果甲乙同时到达b地。那么ab两地之间的距离为_千米。【解析】甲乙的速度比为6:5，设甲的速度为6，乙的速度为5，提速后乙的速度为51.6=8。假设乙耽误的时间也在以5的速度前进，则乙总共可以前进全程的。也就是说相当于乙在用甲的速度的5/6和8/6两种速度来骑甲的7/6的路程，根据十字相乘法，两种速度所用的时间之比为1:2。也就是说，乙用5/6的速度行驶了5/61/3=5/18的路程，那么全程的5/18-1/6=1/9就是5千米，全程45千米。4、在火车站的钟楼上装有一个电子报时钟，在圆形钟面的边界，每分钟的刻度处都有一个小彩灯。晚上9时35分20秒时，在分钟和时针所夹的锐

3、角内有_个小彩灯。【解析】因为35分20秒比一小时的3/5（36分钟）小一点，所以时针没有超过9后面的第三个刻度线（即48分的刻度线）；而分针在35分和36分之间。因此，两针所夹的锐角内有36分47分的刻度线，共47-36+1=12条。5、在边长为1厘米的正方形abcd中，分别以a、b、c、d为圆心，1厘米为半径画四分之一园，交点e、f、g、h，如图所示，则中间阴影部分的周长为_厘米。（取3.141）【解析】fab是等边三角形，所以弧af是六分之一圆，同理弧gc也是六分之一圆，则弧gf是1/6+1/6-1/4=1/12圆，四条弧是1/3圆，长度为213=2.094。6、用40元钱购买单价分别为

4、2元、5元和11元的三种练习本，每种至少买一本，而且钱恰好花完，则不同的购买方法有_种。【解析】整数的拆分。首先每种先都减去1本，剩余40-2-5-11=22元。22=11+11=11+5+3+3=5+5+5+5+2=5+5+2+2+2+2+2+2=2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2如果再买2本11元的，恰好用完，1种方法；如果再买1本11元的，剩余11元，可以买1本5元和3本2元，1种方法；如果不再买11元的，22元最多买4本5元的，5元的本数可以是4，2，0，3种方法。共有1+1+3=5种方法。7、已知某个几何体的三视图如右图，根据图中标示的尺寸（单位：厘米）这个几何体的体积是_立

5、方厘米。【解析】该几何体是一个四棱锥，底面积为2020=400，高为20，所以体积为400203=（立方厘米）。8、将自然数122分别填在下面“”内（每个“”只能填一个数），在形成的11个分数中，分数值为整数的最多能有_个。，【解析】首先分子和分母必须是倍数关系，同时大于11的质数13，17，19都只能作为分母为1的数的分母，如果它们作为同一个分数的分子和分母，则剩余的10个可以都是整数。下面举例说明可以只有一个不是整数：，共10个是整数。二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9、长方形abcd的面积是2011平方厘米。梯形afge的顶点f在bc上，d是腰eg的中点。试求梯

6、形afge的面积。【解析】利用一半原理，连接df，长方形的面积等于adf的2倍，如果能说明梯形的面积也等于adf的2倍，则梯形的面积也等于2011平方厘米。【梯形的一半原理】以一条腰为底边另一条腰的中点为顶点的三角形是梯形面积的一半。证明如下：过d作dhaf交fg于h，把dgh剪下来，dg边和de边拼起来，因为e和g加起来等于180，所以可以拼成一个平行四边形，它和adf同底（af）同高，所以面积是adf的2倍。10、公交车的线路号是由数字显示器显示的三位数，其中每个数字是由横竖放置的七支荧光管显示，如右图所示。某公交车的数字显示器有两支坏了的荧光管不亮，显示的线路号为“351”，则该公交车的

7、线路号有哪些可能？【解析】开放型的计数问题，需要对题目条件进行处理，常用的方法就是分类讨论。如果坏的两根就是本来不亮的，是351；如果只有百位的不是3，则百位最多坏两根，可能是951或851；如果只有十位的不是5，则十位最多坏两根，可能是361，391或381；如果只有个位的不是1，则个位最多坏两根，可能是357或354；如果百位十位都是错的，则这两位各坏一根，可能是961或991；如果百位个位都是错的，则这两位各坏一根，可能是957；如果十位个位都是错的，则这两位各坏一根，可能是367或397。综上所述，可能是351，354，357，361，367，381，391，397，851，951，9

8、57，961，991。共13种可能性。11、设某年中有一个月里有三个星期日的日期为奇数，则这个月的20日可能是星期几？【解析】星期数相同且奇偶性相同，则相差14天。如果是1号，15号，29号是星期日，则20号是星期五；如果是3号，17号，31号是星期日，则20号是星期三；一个月最多31天，所以不能再往下讨论了。则这个月的20日可能是星期五或三。12、以x表示不超过x的最大整数，设自然数n满足+2011则n的最小值是多少？【解析】找特殊的分数，例如=1，前面的就是0，后面的是1，一直到，所以可以得到：140+151+152+153+15n=15(1+2+3+n) 2011，先找接近的整数1+2+

9、3+n至少为135。也就是说n(n+1)至少为270，n至少为16。15(1+2+3+16)=2040，减去一个16为2024，仍大于2011，再减去一个16为2008，小于2011了。所以最多减去一个16，还有14个16，n至少为1516+14-1=253。n至少为25313、在右面的加法竖式中，不同的汉字代表不同的数字。问：满足要求的不同算式共有多少种？【解析】显然华=1。根据弃九法，5不能出现。则0+1+2+3+4+6+7+8+9=40，2+0+1+1=4，减少了36=49，所以共进4位。百位肯定向千位进1位，下面就十位和个位的进位情况讨论：如果十位向百位进2，个位向十位进1，则百位数字

10、之和为8，十位数字之和为20，个位数字之和为11。剩余的数字0，2，3，4，6，7，8，9可能的分组方法如下：(0+8)，(4+7+9)，(2+3+6)；(2+6)，(3+8+9)，(0+4+7)；(2+6)，(4+7+9)，(0+3+8)。注意0不能放在首位，所以共有166+266+266=180种。如果十位向百位进1，个位向十位进2，则百位数字之和为9，十位数字之和为9，个位数字之和为21。剩余的数字0，2，3，4，6，7，8，9可能的分组方法如下：(0+9)，(2+3+4)，(6+7+8)；(2+7)，(0+3+6)，(4+8+9)；(3+6)，(0+2+7)，(4+8+9)。注意0不能放在首位，所以共有166+246+246=132种。综上所述，共180+132=312种。14、如图，两只蜘蛛处在一个正方体的顶点a，而一只爬虫处在a的体对顶点g。假设蜘蛛和爬虫均以同样的速度沿正方体的棱移动，任何时候他们都知道彼此的位置，蜘蛛能预判爬虫的爬行路线。试给出一个两只蜘蛛必定捉住爬虫的