土木工程制图平面立体的投影及线面投影分析

1、第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 1 对对 老老 师师 们们 的的 温温 馨馨 提提 示示 这一批教学演示文稿（PPT），是为使用卢传贤主编的土 木工程制图教材进行课堂教学而编制的电子讲稿之框架、雏 形，它原则上不能直接作为通用的电子讲稿来使用，更不能称 其为“电子教案”，它绝对不能代替教案设计。文稿的作者本 来 无意，也不可能设计出来能为大家“统一”使用的电子讲稿。 由 于各校的专业实际、学时、学生水平、教学条件以及教师的教 学风格的不同，必然对演示文稿会有不同的要求，期望有不同 的风格。本套演示文稿仅仅是提供一种借鉴，做了一些基本的 准备，使用者在使

2、用前一定要根据自己的实际情况对其做个性 化处理：删除本页的声明，调整内容结构，改进编排顺序，简删除本页的声明，调整内容结构，改进编排顺序，简 化、削减文稿中的文字份量，加强图形、图片、视频、动画的化、削减文稿中的文字份量，加强图形、图片、视频、动画的 表现效果，充实你的精彩表演方法，把它改造成符合你自己需表现效果，充实你的精彩表演方法，把它改造成符合你自己需 要的、能更好展示教学水平的、表演技艺出众的实用化作品，要的、能更好展示教学水平的、表演技艺出众的实用化作品， 以提高课堂教学效果。以提高课堂教学效果。祝你圆满成功！ 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析

3、 2 目目 录录 3.1 3.1 平面立体的三面投影平面立体的三面投影 3.2 3.2 立体上直线的投影分析立体上直线的投影分析 3.3 3.3 立体上平面的投影分析立体上平面的投影分析 3.43.4 点、线、面间的相对几何关系点、线、面间的相对几何关系 3.53.5 同坡屋顶的画法同坡屋顶的画法 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 3 3.1 3.1 平面立体的三面投影平面立体的三面投影 由多个平面围成的立体，称为平面立体平面立体，简称平面体平面体， 也称多面体多面体。最简单的平面体有棱柱、棱锥、棱台棱柱、棱锥、棱台等。 第第3 3章章 平面立体的投影平

4、面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 4 3.1 3.1 平面立体的三面投影平面立体的三面投影 一、棱柱一、棱柱 棱柱是由两个互相平行的 多边形底面底面和若干个棱面棱面围成 的，相邻两棱面的交线称为棱棱 线线，所有的棱线都互相平行。 棱线垂直于底面的叫直棱柱直棱柱， 底面是正多边形的直棱柱叫正正 棱柱棱柱。 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 5 3.1 3.1 平面立体的三面投影平面立体的三面投影 一、棱柱一、棱柱 5秒后自动演播 棱柱投影图实例棱柱投影图实例 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 6 3.1 3.

5、1 平面立体的三面投影平面立体的三面投影 二、棱锥二、棱锥 棱锥是由多边形底面底面和若干 个汇交于顶点顶点的棱面棱面围成的，相 邻棱面的交线叫棱线棱线，所有的棱 线都通过锥顶。底面是正多边形 且锥顶位于通过底面中心而垂直 于底面的直线上，这样的棱锥叫 正棱锥正棱锥。 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 7 3.1 3.1 平面立体的三面投影平面立体的三面投影 二、棱锥二、棱锥 棱锥投影图实例棱锥投影图实例 5秒后自动演播 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 8 3.1 3.1 平面立体的三面投影平面立体的三面投影 三、

6、棱台三、棱台 棱锥被平行于底面的平面截割， 截面与底面间的部分为棱台。所以， 棱台的两个底面彼此平行且相似，所 有的棱线延长后交于一点。 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 9 3.1 3.1 平面立体的三面投影平面立体的三面投影 三、棱台三、棱台 棱台投影图实例棱台投影图实例 5秒后自动演播 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 10 3.1 3.1 平面立体的三面投影平面立体的三面投影 几种常见平面立体的两面投影图 三棱柱 四棱柱 四棱台 三棱锥 四棱锥 五棱锥 点击1次 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影

7、及线面投影分析及线面投影分析 11 3.2 3.2 立体上直线的投影分析立体上直线的投影分析 一、直线的投影一、直线的投影 一般情形下直线的投影仍为直线，特殊情形下，直线的投 影会积聚成点。所以，画直线的投影，需要画出直线两端点的 投影，然后连成直线的投影。 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 12 3.2 3.2 立体上直线的投影分析立体上直线的投影分析 直线与投影面的夹角，称为直线与投影面的倾角。对水 平投影面的倾角叫水平倾角，用表示；对正立投影面的倾角 叫正面倾角，用表示；对侧立投影面的倾角叫侧面倾角，用 表示。 直线在投影图上表现出来的特性，常与直

8、线对投影面的 倾斜状态有关。根据直线与投影面的倾斜状态，直线分为三 种类型：投影面平行线投影面平行线、投影面垂直线投影面垂直线、任意倾斜直线任意倾斜直线。 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 13 3.2 3.2 立体上直线的投影分析立体上直线的投影分析 二、与投影面成各种倾斜状态的直线二、与投影面成各种倾斜状态的直线 1. 投影面平行线投影面平行线 水平线水平线 （1）正面投影OX；（2）侧面投影OYW;(3)水平投影反映 线段实长和对V、W的倾角。 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 14 3.2 3.2 立体上直

9、线的投影分析立体上直线的投影分析 二、与投影面成各种倾斜状态的直线二、与投影面成各种倾斜状态的直线 1. 投影面平行线投影面平行线 正平线正平线 （1）水平投影OX；（2）侧面投影OZ;(3)正面投影反映线 段实长和对H、W的倾角。 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 15 3.2 3.2 立体上直线的投影分析立体上直线的投影分析 二、与投影面成各种倾斜状态的直线二、与投影面成各种倾斜状态的直线 1. 投影面平行线投影面平行线 侧平线侧平线 （1）水平投影OYH ；（2）正面投影OZ;(3)侧面投影反映 线段实长和对H、V的倾角。 第第3 3章章 平面立体

10、的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 16 3.2 3.2 立体上直线的投影分析立体上直线的投影分析 投影面平行线的投影特性归纳为： 平行于哪个投影面的直线，在它所平行的那个投影面上的 投影反映线段的实长和对另两投影面的倾角，另外的两投影则 平行于相应的投影轴。 单击开始自动演播 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 17 3.2 3.2 立体上直线的投影分析立体上直线的投影分析 二、与投影面成各种倾斜状态的直线二、与投影面成各种倾斜状态的直线 2. 投影面垂直线投影面垂直线 铅垂线铅垂线 （1）正面投影OX ；（2）侧面投影OYW;(3)水平投

11、影积聚 成一点。 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 18 3.2 3.2 立体上直线的投影分析立体上直线的投影分析 二、与投影面成各种倾斜状态的直线二、与投影面成各种倾斜状态的直线 2. 投影面垂直线投影面垂直线 正垂线正垂线 （1）水平投影OX ；（2）侧面投影OZ;(3)正面投影积聚 成一点。 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 19 3.2 3.2 立体上直线的投影分析立体上直线的投影分析 二、与投影面成各种倾斜状态的直线二、与投影面成各种倾斜状态的直线 2. 投影面垂直线投影面垂直线 侧垂线侧垂线 （1）正面

12、投影OZ ；（2）水平投影OYH;(3)侧面投影积聚 成一点。 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 20 3.2 3.2 立体上直线的投影分析立体上直线的投影分析 投影面垂直线的投影特性归纳为： 垂直于哪个投影面的直线，在它所垂直的那个投影面上的 投影积聚成一点，它的另外两个投影则垂直于相应的投影轴， 并反映线段的实长。 单击开始自动演播 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 21 3.2 3.2 立体上直线的投影分析立体上直线的投影分析 二、与投影面成各种倾斜状态的直线二、与投影面成各种倾斜状态的直线 3. 任意倾斜直

13、线（普通斜直线）任意倾斜直线（普通斜直线） 三个投影都是倾斜的线段，其投影长度都比实长短。 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 22 3.2 3.2 立体上直线的投影分析立体上直线的投影分析 三、直线上的点三、直线上的点 投影有从属性、定比性:k、k 、k 分别在sa、s a 、s a 上，且 sk:ka=s k :k a =s k :k a =SK:KA。 自动演播 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 23 3.2 3.2 立体上直线的投影分析立体上直线的投影分析 三、直线上的点三、直线上的点 投影有从属性、定比性:

14、k、k 、k 分别在sa、s a 、s a 上，且 sk:ka=s k :k a =s k :k a =SK:KA。 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 24 3.2 3.2 立体上直线的投影分析立体上直线的投影分析 三、直线上的点三、直线上的点 例例3-1 已知侧平线SB上的点K的正面投影k,求其水平投影k。 已知方法一，利用从属性方法二，利用定比性 下页解答 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 25 3.2 3.2 立体上直线的投影分析立体上直线的投影分析 三、直线上的点三、直线上的点 例例3-1 已知侧平线SB上

15、的点K的正面投影k,求其水平投影k。 已知方法一，利用从属性方法二，利用定比性解：解： 单击开始自动演播 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 26 3.2 3.2 立体上直线的投影分析立体上直线的投影分析 四、两直线间的相对几何关系四、两直线间的相对几何关系 平行：AB与CD 相交：AB与BC 交错：AB与CE 它们既不平行也不相交 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 27 3.2 3.2 立体上直线的投影分析立体上直线的投影分析 四、两直线间的相对几何关系四、两直线间的相对几何关系 1. 平行平行 AB与CD平行，则

16、各同面投影保持平行，即 abcd , abcd , abcd 10秒后自动演播 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 28 3.2 3.2 立体上直线的投影分析立体上直线的投影分析 四、两直线间的相对几何关系四、两直线间的相对几何关系 1. 平行平行 AB与CD平行，则各同面投影保持平行，即 abcd , abcd , abcd 任意倾斜直线，只要abcd, abcd,自然就有abcd ，所 以只需任两个投影有平行关系，即能说明空间直线是平行的。但对 于投影面的平行线，必需在它们所平行的那个投影面上的投影有平投影面的平行线，必需在它们所平行的那个投影面上的投

17、影有平 行关系，才能说明问题行关系，才能说明问题。 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 29 3.2 3.2 立体上直线的投影分析立体上直线的投影分析 四、两直线间的相对几何关系四、两直线间的相对几何关系 2. 相交相交 AB与BC相交，各同面投影均相交，且各投影的交点符合同 一点的投影规律。 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 30 四、两直线间的相对几何关系四、两直线间的相对几何关系 2. 相交相交 AB与BC相交，各同面投影均相交，且各投影的交点符合同 一点的投影规律。 3.2 3.2 立体上直线的投影分析立体上

18、直线的投影分析 10秒后自动演播 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 31 3.2 3.2 立体上直线的投影分析立体上直线的投影分析 四、两直线间的相对几何关系四、两直线间的相对几何关系 2. 相交相交 AB与BC相交，各同面投影均相交，且各投影的交点符合同 一点的投影规律。 任意倾斜二直线的任两个投影的交点符合一点的投影规律，即能 认定二直线是相交的。但对于二直线中有一条是某个投影面的平行二直线中有一条是某个投影面的平行 线，则必需看该直线所平行的那个投影面上的投影才能说明问题。线，则必需看该直线所平行的那个投影面上的投影才能说明问题。 第第3 3章章

19、平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 32 3.2 3.2 立体上直线的投影分析立体上直线的投影分析 四、两直线间的相对几何关系四、两直线间的相对几何关系 3. 交错交错 交错二直线的某个同面投影可能出现平行，也可能出现相交， 但投影的交点不符合点的投影规律。 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 33 3.2 3.2 立体上直线的投影分析立体上直线的投影分析 四、两直线间的相对几何关系四、两直线间的相对几何关系 3. 交错交错 交错二直线的某个同面投影可能出现平行，也可能出现相交， 但投影的交点不符合点的投影规律。 单击开始自动演播 第

20、第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 34 3.2 3.2 立体上直线的投影分析立体上直线的投影分析 四、两直线间的相对几何关系四、两直线间的相对几何关系 3. 交错交错 交错直线同面投影的交点， 不是同一个点的两投影。 交错直线同面投影的交点，不 是同一个点的两投影。 交错直线的两投影可能平行，但 不可能三投影都出现平行。 交错直线的两投影可能平行，但 不可能三投影都出现平行。 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 35 3.2 3.2 立体上直线的投影分析立体上直线的投影分析 四、两直线间的相对几何关系四、两直线间的相对

21、几何关系 3. 交错交错 交错直线同面投影的交点，是二交错直线上一对重影点的投影。 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 36 3.2 3.2 立体上直线的投影分析立体上直线的投影分析 四、两直线间的相对几何关系四、两直线间的相对几何关系 3. 交错交错 交错直线同面投影的交点，是二交错直线上一对重影点的投影。 重影点投影的可见性由它们与投影面的距离判定重影点投影的可见性由它们与投影面的距离判定。 单击开始自动演播 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 37 3.2 3.2 立体上直线的投影分析立体上直线的投影分析 四、两

22、直线间的相对几何关系四、两直线间的相对几何关系 4. 两直线垂直两直线垂直 直角投影法则：直角投影法则：相交垂直或交错垂直的两直线，当其中之一 为投影面平行线时，它们在所平行的那个投影面上的投影，反映 垂直关系。 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 38 3.2 3.2 立体上直线的投影分析立体上直线的投影分析 四、两直线间的相对几何关系四、两直线间的相对几何关系 4. 两直线垂直两直线垂直 例例3-2 如图，矩形的一边AB为水平线，试画全矩形ABDC的二 投影。 已知 下页解答 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 3

23、9 3.2 3.2 立体上直线的投影分析立体上直线的投影分析 四、两直线间的相对几何关系四、两直线间的相对几何关系 4. 两直线垂直两直线垂直 例例3-2 如图，矩形的一边AB为水平线，试画全矩形ABDC的二 投影。 解：解： 按对边平行关系画全abdc; 按邻边垂直关系画出ac; 按对边平行关系画全abdc。 单击开始自动演播 已知 作图 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 40 3.2 3.2 立体上直线的投影分析立体上直线的投影分析 五、直线的辅助投影五、直线的辅助投影 掌握了点的辅助投影的求法，就能作直线的辅助投影。本节的 任务是解决如何选择辅助投

24、影面，表现在投影图上就是如何选择 辅助投影轴，这要看需要解决的问题是什么。主要有两类： 1. 原投影不反映线段实长、倾角的直线原投影不反映线段实长、倾角的直线,需要其辅助投影反映线需要其辅助投影反映线 段的实长、倾角；段的实长、倾角； 2. 原投影无积聚性的直线原投影无积聚性的直线,需要其辅助投影有积聚性。需要其辅助投影有积聚性。 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 41 3.2 3.2 立体上直线的投影分析立体上直线的投影分析 五、直线的辅助投影五、直线的辅助投影 1. 原投影不反映线段实长、倾角的直线原投影不反映线段实长、倾角的直线,需要其辅助投影反映

25、需要其辅助投影反映 线段的实长、倾角线段的实长、倾角 单击开始自动演播 建立与AB平行且垂直于H 的辅助投影面V1 在投影图上表现为 O1X1与ab平行 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 42 3.2 3.2 立体上直线的投影分析立体上直线的投影分析 五、直线的辅助投影五、直线的辅助投影 1. 原投影不反映线段实长、倾角的直线原投影不反映线段实长、倾角的直线,需要其辅助投影反映需要其辅助投影反映 线段的实长、倾角线段的实长、倾角 直角三角形法直角三角形法 如果辅助投影轴的选择恰使一个端点的辅助投影与其旧投影重 合，则得出简便的作图方法，即直角三角形法。

26、第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 43 3.2 3.2 立体上直线的投影分析立体上直线的投影分析 五、直线的辅助投影五、直线的辅助投影 2. 2. 原投影无积聚性的直线原投影无积聚性的直线, ,需要其辅助投影有积聚性需要其辅助投影有积聚性 单击开始自动演播 对于投影面平行线，只需作一次辅助投影对于投影面平行线，只需作一次辅助投影 建立H1垂直于AB,则它就同 时垂直于V 表现在投影图上即作 O1X1垂直于ab 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 44 3.2 3.2 立体上直线的投影分析立体上直线的投影分析 五、直线

27、的辅助投影五、直线的辅助投影 2. 2. 原投影无积聚性的直线原投影无积聚性的直线, ,需要其辅助投影有积聚性需要其辅助投影有积聚性 而对于任意倾斜直线，则需要作两次辅助投影而对于任意倾斜直线，则需要作两次辅助投影 单击开始自动演播 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 45 3.3 3.3 立体上平面的投影分析立体上平面的投影分析 一、平面的投影一、平面的投影 平面立体的表面是平面多边形，画出这些多边形的顶点、边线 的投影就表示了立体的各个表面。 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 46 3.3 3.3 立体上平面的投

28、影分析立体上平面的投影分析 一、平面的投影一、平面的投影 但从确定平面的位置来说，通常仅仅知道平面的一些几何成分 就够了。例如，给出不在同一直线上的三个点、一条直线和直线 外一点、相交两直线、平行两直线、任意的平面图形等，都可以 确定一个平面，作出确定平面的这些几何成分的投影，就在投影 图上表示了一个平面。今后，也经常使用几何抽象的方法表示一 个平面。 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 47 3.3 3.3 立体上平面的投影分析立体上平面的投影分析 平面与投影面的夹角，是用平面角来度量的，称为平面对 投影面的倾角。与水平投影面的倾角叫水平倾角，用表示；

29、与正立投影面的倾角叫正面倾角，用表示；与侧立投影面的 倾角叫侧面倾角，用表示。 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 48 3.3 3.3 立体上平面的投影分析立体上平面的投影分析 一、平面的投影一、平面的投影 平面在投影图上表现出来的特性，常与平面对投影面的倾斜状 态有关。根据平面对投影面的倾斜状态，可将平面分成：投影面投影面 平行面平行面、投影面垂直面投影面垂直面、任意倾斜平面任意倾斜平面（普通斜平面）。 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 49 3.3 3.3 立体上平面的投影分析立体上平面的投影分析 二、各种倾斜

30、状态的平面二、各种倾斜状态的平面 1. 投影面平行面的投影特性投影面平行面的投影特性 按所平行的投影面分别取名为： 水平面水平面（H）、正平面正平面（V）、侧平面侧平面（W） 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 50 3.3 3.3 立体上平面的投影分析立体上平面的投影分析 二、各种倾斜状态的平面二、各种倾斜状态的平面 1. 投影面平行面的投影特性投影面平行面的投影特性 水平面水平面：水平投影反映实形，其余二投影积聚成与投影轴平 行的直线。 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 51 3.3 3.3 立体上平面的投影分析

31、立体上平面的投影分析 二、各种倾斜状态的平面二、各种倾斜状态的平面 1. 投影面平行面的投影特性投影面平行面的投影特性 正平面正平面：正面投影反映实形，其余二投影积聚成与投影轴平 行的直线。 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 52 3.3 3.3 立体上平面的投影分析立体上平面的投影分析 二、各种倾斜状态的平面二、各种倾斜状态的平面 1. 投影面平行面的投影特性投影面平行面的投影特性 侧平面侧平面：侧面投影反映实形，其余二投影积聚成与投影轴平 行的直线。 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 53 3.3 3.3 立体

32、上平面的投影分析立体上平面的投影分析 投影面平行面的投影特性，可归纳成： 投影面的平行面，在它所平行的那个投影面上的投影反映 实形，另外的两投影分别积聚成平行于投影轴的直线。 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 54 3.3 3.3 立体上平面的投影分析立体上平面的投影分析 二、各种倾斜状态的平面二、各种倾斜状态的平面 2. 投影面垂直面的投影特性投影面垂直面的投影特性 按所垂直的投影面分别取名为： 铅垂面（H ）、正垂面（V）、侧垂面（W ） 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 55 3.3 3.3 立体上平面的投影

33、分析立体上平面的投影分析 二、各种倾斜状态的平面二、各种倾斜状态的平面 2. 投影面垂直面的投影特性投影面垂直面的投影特性 铅垂面铅垂面：水平投影积聚成倾斜直线，且反映、，其余二 投影为相仿形。 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 56 3.3 3.3 立体上平面的投影分析立体上平面的投影分析 二、各种倾斜状态的平面二、各种倾斜状态的平面 2. 投影面垂直面的投影特性投影面垂直面的投影特性 正垂面正垂面：正面投影积聚成倾斜直线，且反映、，其余二 投影为相仿形。 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 57 3.3 3.3

34、立体上平面的投影分析立体上平面的投影分析 二、各种倾斜状态的平面二、各种倾斜状态的平面 2. 投影面垂直面的投影特性投影面垂直面的投影特性 侧垂面侧垂面：侧面投影积聚成倾斜直线，且反映、，其余二 投影为相仿形。 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 58 3.3 3.3 立体上平面的投影分析立体上平面的投影分析 投影面垂直面的投影特性，可归纳成： 投影面的垂直面，在它所垂直的那个投影面上的投影积聚 成倾斜的直线，并反映该平面与另两个投影面的倾角；它的另 外两投影，都是原平面图形的相仿形。 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分

35、析 59 3.3 3.3 立体上平面的投影分析立体上平面的投影分析 二、各种倾斜状态的平面二、各种倾斜状态的平面 3. 任意倾斜平面的投影特性任意倾斜平面的投影特性 各投影均为原图形的相仿形。 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 60 3.3 3.3 立体上平面的投影分析立体上平面的投影分析 二、各种倾斜状态的平面二、各种倾斜状态的平面 3. 任意倾斜平面的投影特性任意倾斜平面的投影特性 各投影均为原图形的相仿形。 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 61 3.3 3.3 立体上平面的投影分析立体上平面的投影分析 三、

36、平面内的直线三、平面内的直线 1. 在平面内作直线在平面内作直线 直线在平面内的几何条件：通过平面内的两点；通过平面 内一点且平行于面内另一直线。 例例3-4 3-4 MN是三角形平面内的一条直线，已知mn，求mn。 点击1次 已知已知作图过程分解作图过程分解 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 62 3.3 3.3 立体上平面的投影分析立体上平面的投影分析 三、平面内的直线三、平面内的直线 1. 在平面内作直线在平面内作直线 直线在平面内的几何条件：通过平面内的两点；通过平面 内一点且平行于面内另一直线。 例例3-4 3-4 MN是三角形平面内的一条直线

37、，已知mn，求mn。 单击开始自动演播 已知已知作图动画作图动画 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 63 3.3 3.3 立体上平面的投影分析立体上平面的投影分析 三、平面内的直线三、平面内的直线 2. 平面内的投影面平行线平面内的投影面平行线 它既符合直线在平面内的几何条件，又具有投影面平行线的投 影特性。此外，除投影面平行面外，其他平面内同一投影面的平 行线还是一组互相平行的直线，它们的同面投影有相同的方向。 同一投影面的平行线是互相平行的直线 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 64 3.3 3.3 立体上平面

38、的投影分析立体上平面的投影分析 四、平面的辅助投影四、平面的辅助投影 解决的仍是如何选择辅助投影面，即如何摆放辅助投影轴的问 题。 1. 原投影无积聚性的平面原投影无积聚性的平面,需要其辅助投影有积聚性需要其辅助投影有积聚性 取面内投影面平行线的垂直平面为辅助投影面 投影图上表现为投影轴垂直于投影面平行线的相应投影 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 65 3.3 3.3 立体上平面的投影分析立体上平面的投影分析 四、平面的辅助投影四、平面的辅助投影 解决的仍是如何选择辅助投影面，即如何摆放辅助投影轴的问 题。 1. 原投影无积聚性的平面原投影无积聚性的平

39、面,需要其辅助投影有积聚性需要其辅助投影有积聚性 单击开始自动演播 作图动画作图动画作图结果作图结果 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 66 3.3 3.3 立体上平面的投影分析立体上平面的投影分析 四、平面的辅助投影四、平面的辅助投影 解决的仍是如何选择辅助投影面，即如何摆放辅助投影轴的问 题。 2. 原投影不反映实形的平面原投影不反映实形的平面,需要其辅助投影反映实形需要其辅助投影反映实形 对于投影面垂直面，选择平行于该平面的投影面可达目的 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 67 3.3 3.3 立体上平面的投

40、影分析立体上平面的投影分析 应用例子：应用例子：求斜切棱柱顶面的实形。 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 68 3.3 3.3 立体上平面的投影分析立体上平面的投影分析 四、平面的辅助投影四、平面的辅助投影 2. 原投影不反映实形的平面原投影不反映实形的平面,需要其辅助投影反映实形需要其辅助投影反映实形 对于任意斜平面，需要先求出有积聚性的辅助投影， 再求有实形性的辅助投影 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 69 3.4 3.4 点、线、面间的相对几何关系点、线、面间的相对几何关系 一、平面内的点一、平面内的点 几

41、何条件：点在线上，线在面上，则点必在面上。 例例3-6 点M是ABC平面上的点，已知其正面投影m，求水平 投影m。 解解 作图动画作图动画 已知已知 单击开始自动演播解解 作图结果作图结果 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 70 3.4 3.4 点、线、面间的相对几何关系点、线、面间的相对几何关系 一、平面内的点一、平面内的点 几何条件：点在线上，线在面上，则点必在面上。 例例3-7 点M是侧垂面ABC上的点，已知其正面投影m，求水平 投影m。 已知已知 解解 作图动画作图动画单击开始自动演播解解 作图结果作图结果 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体

42、的投影及线面投影分析及线面投影分析 71 3.4 3.4 点、线、面间的相对几何关系点、线、面间的相对几何关系 一、平面内的点一、平面内的点 几何条件：点在线上，线在面上，则点必在面上。 例例3-8 补全平面四边形ABCD的水平投影abcd。 已知已知 解解 作图动画作图动画 单击开始自动演播解解 作图结果作图结果 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 72 3.4 3.4 点、线、面间的相对几何关系点、线、面间的相对几何关系 一、平面内的点一、平面内的点 几何条件：点在线上，线在面上，则点必在面上。 例例3-9 完成任意斜平面的水平投影。 已知已知 解解

43、作图动画作图动画 单击开始自动演播解解 作图结果作图结果 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 73 二、平面立体上的点和直线二、平面立体上的点和直线 1. 平面体表面的可见性平面体表面的可见性 可见性的判断和表示规则： （1）各投影的外形轮廓线总是可见的； （2）位于可见表面或表面的可见区域的点、线是可见的，反之 则不可见； （3）不可见表面与不可见表面的交线是不可见的； （4）可见线用实线表示，不可见线用虚线表示，二者投影重合 时只画实线。 虚实重合只画实线 3.4 3.4 点、线、面间的相对几何关系点、线、面间的相对几何关系 两不可见表面的交线不可见

44、第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 74 3.4 3.4 点、线、面间的相对几何关系点、线、面间的相对几何关系 二、平面立体上的点和直线二、平面立体上的点和直线 2. 平面体表面上的点和直线平面体表面上的点和直线 例例3-10 求作四棱柱表面上A、B、C三点的其余投影。 已知已知 解解 作图动画作图动画 单击开始自动演播解解 作图结果作图结果 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 75 3.4 3.4 点、线、面间的相对几何关系点、线、面间的相对几何关系 二、平面立体上的点和直线二、平面立体上的点和直线 2. 平面体表面

45、上的点和直线平面体表面上的点和直线 例例3-11 已知三棱锥表面上点M的正面投影m，求M的其余二投 影。 已知已知 解解 作图动画作图动画 单击开始自动演播解解 作图结果作图结果 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 76 3.4 3.4 点、线、面间的相对几何关系点、线、面间的相对几何关系 二、平面立体上的点和直线二、平面立体上的点和直线 2. 平面体表面上的点和直线平面体表面上的点和直线 例例3-12 已知三棱锥表面上线KMN的正面投影kmn，求M的其 余二投影。 已知已知 解解 作图动画作图动画 单击开始自动演播解解 作图结果作图结果 第第3 3章章

46、平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 77 3.4 3.4 点、线、面间的相对几何关系点、线、面间的相对几何关系 三、直线与平面、平面与平面平行三、直线与平面、平面与平面平行 1. 直线与平面相互平行直线与平面相互平行 几何条件：直线平行于面内一条直线，则直线与平面平行。 单击开始自动演播 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 78 3.4 3.4 点、线、面间的相对几何关系点、线、面间的相对几何关系 三、直线与平面、平面与平面平行三、直线与平面、平面与平面平行 1. 直线与平面相互平行直线与平面相互平行 检查直线与平面是否平行，看能否在

47、平面内作出与直线平行的 直线。 如果平面的某投影有积聚性，只要积聚投影与直线的同面投影 平行，则线、面必然平行。 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 79 3.4 3.4 点、线、面间的相对几何关系点、线、面间的相对几何关系 三、直线与平面、平面与平面平行三、直线与平面、平面与平面平行 1. 直线与平面相互平行直线与平面相互平行 例例3-15 过面外一点M作水平线使与平面ABC平行。 已知已知 解解 作图动画作图动画单击开始自动演播解解 作图结果作图结果 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 80 3.4 3.4 点、线

48、、面间的相对几何关系点、线、面间的相对几何关系 三、直线与平面、平面与平面平行三、直线与平面、平面与平面平行 2. 平面与平面相互平行平面与平面相互平行 几何条件：两平面内各有一对相交直线对应平行，则两平面相 互平行。 相交直线对应平行， 则平面平行 平行直线对应平行， 则平面不一定平行 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 81 3.4 3.4 点、线、面间的相对几何关系点、线、面间的相对几何关系 三、直线与平面、平面与平面平行三、直线与平面、平面与平面平行 2. 平面与平面相互平行平面与平面相互平行 要判断两平面是否平行，就检查两平面内是否存在相交而对应

49、 平行的直线对。 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 82 3.4 3.4 点、线、面间的相对几何关系点、线、面间的相对几何关系 三、直线与平面、平面与平面平行三、直线与平面、平面与平面平行 2. 平面与平面相互平行平面与平面相互平行 两平面如果同面投影都有积聚性，则只需看积聚投影是否平行 即可说明问题。 两平面平行两平面不平行 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 83 3.4 3.4 点、线、面间的相对几何关系点、线、面间的相对几何关系 三、直线与平面、平面与平面平行三、直线与平面、平面与平面平行 2. 平面与平面相

50、互平行平面与平面相互平行 平面分析示例：平面分析示例： 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 84 3.4 3.4 点、线、面间的相对几何关系点、线、面间的相对几何关系 四、直线与平面、平面与平面相交四、直线与平面、平面与平面相交 相交问题是求解共有元素的问题，即求交点、交线的问题;同时 还要区分出可见性。 1. 相交的任何一方有积聚投影的情况相交的任何一方有积聚投影的情况 利用积聚投影直接找到交点或交线的一个投影。 例例3-17 求直线AB与铅垂面P的交点K， 并分清可见性。 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 85

51、3.4 3.4 点、线、面间的相对几何关系点、线、面间的相对几何关系 四、直线与平面、平面与平面相交四、直线与平面、平面与平面相交 1. 相交的任何一方有积聚投影的情况相交的任何一方有积聚投影的情况 利用积聚投影直接找到交点或交线的一个投影。 例例3-17 求直线AB与铅垂面P的交点K，并分清可见性。 作图过程作图过程分清可见性分清可见性 5秒后自动演播 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 86 3.4 3.4 点、线、面间的相对几何关系点、线、面间的相对几何关系 四、直线与平面、平面与平面相交四、直线与平面、平面与平面相交 1. 相交的任何一方有积聚投影

52、的情况相交的任何一方有积聚投影的情况 利用积聚投影直接找到交点或交线的一个投影。 例例3-18 求铅垂线DE与平面ABC的交点K，并分清可见性。 已知已知作图作图分清可见性分清可见性 自动演播 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 87 3.4 3.4 点、线、面间的相对几何关系点、线、面间的相对几何关系 四、直线与平面、平面与平面相交四、直线与平面、平面与平面相交 1. 相交的任何一方有积聚投影的情况相交的任何一方有积聚投影的情况 利用积聚投影直接找到交点或交线的一个投影。 例例3-193-19 求铅垂面P与任意斜平面ABC的交线，并分清可见性。 第第3

53、3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 88 3.4 3.4 点、线、面间的相对几何关系点、线、面间的相对几何关系 四、直线与平面、平面与平面相交四、直线与平面、平面与平面相交 1. 相交的任何一方有积聚投影的情况相交的任何一方有积聚投影的情况 利用积聚投影直接找到交点或交线的一个投影。 例例3-193-19 求铅垂面P与任意斜平面ABC的交线，并分清可见性。 单击开始自动演播已知已知作图作图分清可见性分清可见性 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 89 3.4 3.4 点、线、面间的相对几何关系点、线、面间的相对几何关系 单击开

54、始自动演播 四、直线与平面、平面与平面相交四、直线与平面、平面与平面相交 1. 相交的任何一方有积聚投影的情况相交的任何一方有积聚投影的情况 例例3-203-20 长方体被铅垂面P和正垂面Q切割，作出P与Q的交线MN 的投影。 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 90 3.4 3.4 点、线、面间的相对几何关系点、线、面间的相对几何关系 四、直线与平面、平面与平面相交四、直线与平面、平面与平面相交 2. 相交的任何一方都没有积聚投影的情况相交的任何一方都没有积聚投影的情况 方法一：方法一：建立辅助投影面，使相交的某一方的辅助投影有积聚 性。 例例3-213

55、-21 求任意倾斜直线DE与任意倾斜平面ABC的交点K， 并分清可见性。 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 91 四、直线与平面、平面与平面相交四、直线与平面、平面与平面相交 2. 相交的任何一方都没有积聚投影的情况相交的任何一方都没有积聚投影的情况 方法一：方法一：建立辅助投影面 例例3-213-21 求任意倾斜直线DE与任意倾斜平面ABC的交点K， 并分清可见性。 3.4 3.4 点、线、面间的相对几何关系点、线、面间的相对几何关系 5秒后自动演播 已知已知作图作图 重播 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 92

56、 四、直线与平面、平面与平面相交四、直线与平面、平面与平面相交 2. 相交的任何一方都没有积聚投影的情况相交的任何一方都没有积聚投影的情况 方法一：方法一：建立辅助投影面 例例3-213-21 求任意倾斜直线DE与任意倾斜平面ABC的交点K， 并分清可见性。 3.4 3.4 点、线、面间的相对几何关系点、线、面间的相对几何关系 已知已知作图作图 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 93 3.4 3.4 点、线、面间的相对几何关系点、线、面间的相对几何关系 四、直线与平面、平面与平面相交四、直线与平面、平面与平面相交 2. 相交的任何一方都没有积聚投影的情况

57、相交的任何一方都没有积聚投影的情况 方法二：方法二：利用辅助平面求交点、交线。 求交点的步骤： （1）包含直线（DE）作辅助平面（P）； （2）求辅助平面与已知平面（ABC）的交线（）； （3）求交线与已知直线的交点，此即所求。 单击开始自动演播 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 94 3.4 3.4 点、线、面间的相对几何关系点、线、面间的相对几何关系 四、直线与平面、平面与平面相交四、直线与平面、平面与平面相交 2. 相交的任何一方都没有积聚投影的情况相交的任何一方都没有积聚投影的情况 方法二：方法二：利用辅助平面求交点、交线。 例例3-223-22 求任意斜直线与任意斜平面的交点，并分清可见性。 5秒后自动演播 已知已知作图作图分清可见性分清可见性 第第3 3章章 平面立体的投影平面立体的投影及线面投影分析及线面投影分析 95 3.4 3.4 点、线、面间的相对几何关系点、线、面间的相对几何关系 四、直线与平面、平面与平面相交四、直线与平面、平面与平面相交 2. 相交的任何一方都没有积聚