第2讲应力状态基本概念

1、第2讲应力状态基本概念 塑性力学塑性力学 第二讲第二讲 Lesson Two 2021-5-29第2讲应力状态基本概念2 塑性力学主要学习内容塑性力学主要学习内容 o应力状态分析应力状态分析 o应变状态分析应变状态分析 o变形力学方程变形力学方程 o滑移线场理论滑移线场理论 o工程法工程法 o上界定理上界定理 塑性加工力学塑性加工力学 基础部分基础部分 塑性加工力学问题塑性加工力学问题 求解方法部分求解方法部分 2021-5-29第2讲应力状态基本概念3 主要内容 Main Content o应力状态基本概念应力状态基本概念 o斜面上任一点应力状态分析斜面上任一点应力状态分析 o应力张量应力张

2、量 第二讲第二讲 应力状态分析应力状态分析 Lesson Two o 主应力及主切应力主应力及主切应力 2021-5-29第2讲应力状态基本概念4 基本假设 o变形体是连续的，不存在微观结构，是宏观变形体是连续的，不存在微观结构，是宏观 的，材料是均匀的，各向同性。的，材料是均匀的，各向同性。 o变形体性能及变形行为存在随机现象，性能变形体性能及变形行为存在随机现象，性能 是确定的。是确定的。 2021-5-29第2讲应力状态基本概念5 外力外力 体积力体积力 表面力表面力 重力重力 惯性力惯性力 电磁力电磁力 特点：分布在物体体积的外力，它作用特点：分布在物体体积的外力，它作用 在物体内部的

3、每一个质点上在物体内部的每一个质点上 特点：分布在物特点：分布在物 体表面的外力体表面的外力 作用力（主动力）作用力（主动力） 正压力正压力 约束反力约束反力 摩擦力摩擦力 2021-5-29第2讲应力状态基本概念6 o塑性加工时，由于体积力与加工中的作用力塑性加工时，由于体积力与加工中的作用力 比较起来很小，在实际工程计算中一般可以比较起来很小，在实际工程计算中一般可以 忽略。但在高速加工时，金属塑性流动的惯忽略。但在高速加工时，金属塑性流动的惯 性力应该考虑。性力应该考虑。 o一般塑性加工只分析作用力、正压力、摩擦一般塑性加工只分析作用力、正压力、摩擦 力的作用状态。力的作用状态。 202

4、1-5-29第2讲应力状态基本概念7 2021-5-29第2讲应力状态基本概念8 o作用力作用力 塑性加工设备的可动工具部分对工件塑性加工设备的可动工具部分对工件 所作用的力。又称主动力。所作用的力。又称主动力。 可以实测或理论计可以实测或理论计 算，用于验算设备强度和设备功率。算，用于验算设备强度和设备功率。 o正压力正压力 沿工具和工件接触面法向阻碍工件整沿工具和工件接触面法向阻碍工件整 体移动或金属流动的力，其方向垂直于接触面，体移动或金属流动的力，其方向垂直于接触面， 并指向工件。并指向工件。 o摩擦力摩擦力 沿工具和工件接触面切向阻碍金属流沿工具和工件接触面切向阻碍金属流 动的力，其

5、方向平行于接触面，并与金属质点动的力，其方向平行于接触面，并与金属质点 流动方向或流动趋势相反。流动方向或流动趋势相反。 2021-5-29第2讲应力状态基本概念9 内力和应力 o内力内力 o在外力作用下的物体，内部将产生抵抗变形在外力作用下的物体，内部将产生抵抗变形 的力称为内力。的力称为内力。 o内力可以用截面法把它表示出来内力可以用截面法把它表示出来。 2021-5-29第2讲应力状态基本概念10 PPP BA dF Pd F P S F lim 0 o应力应力 S称为作用在面素称为作用在面素 上的上的全应力全应力 F 2021-5-29第2讲应力状态基本概念11 全应力的分解方式全应力

6、的分解方式 o一种沿法向、切向分解一种沿法向、切向分解 o一种可以沿坐标轴分解为一种可以沿坐标轴分解为Sx、Sy、Sz 正应力：正应力： 切应力：切应力： F N F lim 0 F T F lim 0 2021-5-29第2讲应力状态基本概念12 一点的应力向量不仅取决于该一点的应力向量不仅取决于该 点的位置，还取决于截面的方位。点的位置，还取决于截面的方位。 2021-5-29第2讲应力状态基本概念13 o如果截面的法向与如果截面的法向与 某坐标轴重合，则某坐标轴重合，则 该截面上的切应力该截面上的切应力 还可以沿其余两坐还可以沿其余两坐 标轴分解。标轴分解。 2021-5-29第2讲应力

7、状态基本概念14 o对于包含某对于包含某 点的微六面点的微六面 体体素上，体体素上， 每一面素上每一面素上 作用有三个作用有三个 应力分量，应力分量， 其中一个正其中一个正 应力，两个应力，两个 切应力。切应力。 2021-5-29第2讲应力状态基本概念15 应力莫尔(Mohr)圆 321 2 1 y z x 3 3 2 1 2 31 max max O1 O2 O3 2 32 2 21 2 31 O1：l=0，m、n 变化（变化（，）轨迹）轨迹 O2：m=0，l、n 变化（变化（，）轨迹）轨迹 O3：n=0，m、l 变化（变化（，）轨迹）轨迹 2021-5-29第2讲应力状态基本概念16 2

8、021-5-29第2讲应力状态基本概念17 10.2 斜面上任一点应力状态分析斜面上任一点应力状态分析 o要想了解一点的应力状态必须知道过该点任要想了解一点的应力状态必须知道过该点任 意截面上的应力分布。但是过该点的截面有意截面上的应力分布。但是过该点的截面有 无穷多个，我们没有办法一一列举。为此必无穷多个，我们没有办法一一列举。为此必 须采用其他方式进行描述。须采用其他方式进行描述。 2021-5-29第2讲应力状态基本概念18 一点的应力向量不仅取决于该一点的应力向量不仅取决于该 点的位置，还取决于截面的方位。点的位置，还取决于截面的方位。 2021-5-29第2讲应力状态基本概念19 o

9、通过变形体内任意点垂直坐标轴截取三个相互垂直的截面通过变形体内任意点垂直坐标轴截取三个相互垂直的截面 和与坐标轴成任意角度的倾斜截面，这四个截面构成一个和与坐标轴成任意角度的倾斜截面，这四个截面构成一个 四面体素四面体素 2021-5-29第2讲应力状态基本概念20 z x y o x y z xy yz yx xz zy zx Sn n Snx Sny Snz n n B A C ds 2021-5-29第2讲应力状态基本概念21 o该微分斜面面积为该微分斜面面积为ds，外法线方向的方向余弦，外法线方向的方向余弦 为：为： cos(n,x)=l 、cos(n,y)=m 、cos(n,z)=n

10、 o三个垂直坐标面的面积可以表示为：三个垂直坐标面的面积可以表示为： ldsxnSS ABCOBC ,cos mdsynSS ABCOAC ,cos ndsznSS ABCOBA ,cos x z a a g g n 1 222 nml 方向余弦有：方向余弦有： 2021-5-29第2讲应力状态基本概念22 o由于变形体处于平衡状态，对于任意体素都有由于变形体处于平衡状态，对于任意体素都有 三个方向的受力平衡，即三个方向的受力平衡，即 0X 0Y 0Z 在在x方向：方向： 在在y方向：方向： 在在z方向：方向： 0ndsmdsldsdsS zxyxxnx 0ndsmdsldsdsS zyyxy

11、ny 0ndsmdsldsdsS zyzxznz 2021-5-29第2讲应力状态基本概念23 o整理后可得方程整理后可得方程 o用矩阵表示为用矩阵表示为 nmlS nmlS nmlS zyzxznz zyyxyny zxyxxnx n m l S S S zyzxz zyyxy zxyxx nz ny nx （） 2021-5-29第2讲应力状态基本概念24 o把微分斜面上的合应力把微分斜面上的合应力Sn，向法线，向法线n方向投影，便可求方向投影，便可求 出微分斜面上的正应力，或将出微分斜面上的正应力，或将Snx、Sny、Snz分别投影到分别投影到 法线法线n上，也同样得到微分斜面上的正应力

12、，即上，也同样得到微分斜面上的正应力，即 o将将Snx、Sny、Snz带入上式得带入上式得 o微分面上的剪应力为微分面上的剪应力为 nSmSlS nznynxn nlmnlmnml zxyzxyzyxn 222 222 222 nnn S 2021-5-29第2讲应力状态基本概念25 o若坐标轴为主轴，则与坐标轴垂直的截面上的切应若坐标轴为主轴，则与坐标轴垂直的截面上的切应 力为零，则由力为零，则由 可得可得 而而 所以所以 nlmnlmnml zxyzxyzyxn 222 222 2 3 2 2 2 1 nml n 22 3 22 2 22 1 nmlSn 22 2 13 22 2 32 2

13、2 2 21 2 lnnmml n 2021-5-29第2讲应力状态基本概念26 o综上可知，变形体内任意点的应力状态可以通综上可知，变形体内任意点的应力状态可以通 过该点且平行于坐标面的三个微分面上的九个过该点且平行于坐标面的三个微分面上的九个 应力分量来表示。应力分量来表示。 o或者说，通过变形体内任意点垂直于坐标轴所或者说，通过变形体内任意点垂直于坐标轴所 截取的三个相互垂直的微分面上各应力截取的三个相互垂直的微分面上各应力 已知已知 时，便可确定该点的应力状态。时，便可确定该点的应力状态。 x y z yxxy zyyz xzzx ij 2021-5-29第2讲应力状态基本概念27 应

14、力边界条件方程 o如果该四面体素的斜面如果该四面体素的斜面 恰好为变形体的外表面恰好为变形体的外表面 上的微面素，并假定此上的微面素，并假定此 面素单位面积上的作用面素单位面积上的作用 力在坐标轴方向的分力力在坐标轴方向的分力 分别为分别为px、py、pz，则，则 nmlp nmlp nmlp zyzxzz zyyxyy zxyxxx 2021-5-29第2讲应力状态基本概念28 o应力边界条件方程的物理意义：应力边界条件方程的物理意义： o建立了过外表面上任意点，单位表面力与过建立了过外表面上任意点，单位表面力与过 该点垂直坐标轴截面上应力分量的关系。该点垂直坐标轴截面上应力分量的关系。 2

15、021-5-29第2讲应力状态基本概念29 课堂练习 o已知变形体某点应力状态如图所示，当斜面法已知变形体某点应力状态如图所示，当斜面法 线方向与三个坐标轴夹角余弦线方向与三个坐标轴夹角余弦 时，求该斜面上的全应力时，求该斜面上的全应力S，全应力在坐标轴上，全应力在坐标轴上 的分量的分量Sx、Sy、Sz及斜面上的法线应力及斜面上的法线应力 n和切应和切应 力力 n。 31nml 2021-5-29第2讲应力状态基本概念30 o解：首先确定各应力分量解：首先确定各应力分量 x=10、 y=10、 z=0、 xy= yx= 5、 xz= zx=5、 yz= zy=0 （单位（单位MPa） 。由。由

16、 3 5 3 1 0 3 1 0 3 1 5 3 15 3 1 0 3 1 10 3 1 5 3 20 3 1 5 3 1 5 3 1 10 nmlS nmlS nmlS zyzxzz zyyxyy zxyxxx 3 26 5 222 zyx SSSS 2021-5-29第2讲应力状态基本概念31 3 40 3 1 )52521010( 222 222 nlmnlmnml zxyzxyzyxn 14 3 5 9 350 3 40 3 650 2 22 nn S 2021-5-29第2讲应力状态基本概念32 321 321 321 333 222 111 nnn mmm lll nml nml

17、nml zyzxz zyyxy zxyxx zzyzx yzyyx xzxyx 应力坐标变换公式应力坐标变换公式 其中其中li、mi、ni为新坐标轴在原坐标系下的方向余弦。为新坐标轴在原坐标系下的方向余弦。 xyz xl1m1n1 yl2m2n2 zl3m3n3 2021-5-29第2讲应力状态基本概念33 y x y u ux uy ux uy o 2021-5-29第2讲应力状态基本概念34 10.3.2 应力张量应力张量 o在斜面上的应力分析中，我们得到在斜面上的应力分析中，我们得到 nmlS nmlS nmlS zyzxznz zyyxyny zxyxxnx n m l S S S z

18、yzxz zyyxy zxyxx nz ny nx 用矩阵表示为用矩阵表示为 2021-5-29第2讲应力状态基本概念35 o变形体内任意点的应力状态可以通过该点且平变形体内任意点的应力状态可以通过该点且平 行于坐标面的三个微分面上的九个应力分量来行于坐标面的三个微分面上的九个应力分量来 表示。表示。 o根据这九个应力分量的特点，我们可以采用一根据这九个应力分量的特点，我们可以采用一 种新的方法来表示它们，如下表所示。种新的方法来表示它们，如下表所示。 x y z yxxy zyyz xzzx 2021-5-29第2讲应力状态基本概念36 zyzxz zyyxy zxyxx x 面面 y 面面

19、 z 面面 x方向方向 y方向方向 z方向方向 2021-5-29第2讲应力状态基本概念37 o去掉表中虚线，则变成矩阵，并可用一个符去掉表中虚线，则变成矩阵，并可用一个符 号表示该矩阵。号表示该矩阵。 zyzxz zyyxy zxyxx T ij 2021-5-29第2讲应力状态基本概念38 o该矩阵的特点：该矩阵的特点： o由材料力学剪切应力互等定律，有由材料力学剪切应力互等定律，有 则此矩阵为一对称矩阵。则此矩阵为一对称矩阵。 o该对称矩阵称为该对称矩阵称为二阶对称应力张量二阶对称应力张量，矩阵中，矩阵中 的元素称为的元素称为应力张量分量应力张量分量。 yxxy zyyz xzzx zy

20、zxz zyyxy zxyxx 2021-5-29第2讲应力状态基本概念39 o张量在力学中是一个十分重要的概念。张量在力学中是一个十分重要的概念。 o标量是一个仅由标量是一个仅由数的大小数的大小表征的量，如温表征的量，如温 度、质量、能量等。度、质量、能量等。 o矢量是由矢量是由数的大小数的大小和和方向方向来表征的量，如来表征的量，如 力、速度等，它可由空间中的有向线段表示。力、速度等，它可由空间中的有向线段表示。 o张量则是由张量则是由数的大小、方向数的大小、方向和和方位方位来表来表 征的量，如应力张量、应变速度张量等。征的量，如应力张量、应变速度张量等。 2021-5-29第2讲应力状态

21、基本概念40 o标量可以表示在数轴上，数的大小有正负之分。标量可以表示在数轴上，数的大小有正负之分。 不存在坐标变换，可以称之为零阶张量。不存在坐标变换，可以称之为零阶张量。 o矢量在坐标系中可以分解，随着坐标系选取的矢量在坐标系中可以分解，随着坐标系选取的 不同，矢量的分量也随之发生变化。存在坐标不同，矢量的分量也随之发生变化。存在坐标 变换。变换。 jiji uau jjii uau ij a为正交矩阵，有为正交矩阵，有 ji T ijij aaa 1 矢量可以称之为一阶张量矢量可以称之为一阶张量 2021-5-29第2讲应力状态基本概念41 o而张量相当于矢量的某种集合，既包含了每而张量

22、相当于矢量的某种集合，既包含了每 一矢量的大小和方向，还体现了这些矢量之一矢量的大小和方向，还体现了这些矢量之 间的相互关系。其与坐标系的选取有关，存间的相互关系。其与坐标系的选取有关，存 在坐标变换。在坐标变换。 , , 321 uuuT zzz yyy xxx uuu uuu uuu 321 321 321 njmnimij aa jnmnmiij aa 具有如此坐标变换的张量称为二阶张量具有如此坐标变换的张量称为二阶张量 2021-5-29第2讲应力状态基本概念42 o直角坐标系下的应力张量直角坐标系下的应力张量 ij zyzxz zyyxy zxyxx T 2021-5-29第2讲应力

23、状态基本概念43 o柱坐标系下的应力张量 ij rz rrzr zrzz T 2021-5-29第2讲应力状态基本概念44 10.4 主应力及主切应力主应力及主切应力 o10.4.1 主应力的概念主应力的概念 o通过坐标变换可以找到只有正应力的通过坐标变换可以找到只有正应力的 坐标面，此坐标轴称为主轴，此应力坐标面，此坐标轴称为主轴，此应力 称为称为主应力主应力，该坐标面为，该坐标面为主平面主平面。 2021-5-29第2讲应力状态基本概念45 2021-5-29第2讲应力状态基本概念46 2021-5-29第2讲应力状态基本概念47 主应力的求解主应力的求解 o如果取微分面如果取微分面ABC

24、为主为主 微分面，即该微分面上微分面，即该微分面上 只有主应力而没有切应只有主应力而没有切应 力。这时，作用在此面力。这时，作用在此面 上的全应力就是主应力。上的全应力就是主应力。 用用 表示主应力，则它表示主应力，则它 在各坐标轴上的投影为在各坐标轴上的投影为 nS mS lS nz ny nx 2021-5-29第2讲应力状态基本概念48 o代入到斜面应力方程中有代入到斜面应力方程中有 nmlnS nmlmS nmllS zyzxznz zyyxyny zxyxxnx 0 0 0 nml nml nml zyzxz zyyxy zxyxx 整理后可得整理后可得 又有又有1 222 nml

25、（*） （*） 2021-5-29第2讲应力状态基本概念49 o由上面四个方程可求出主应力由上面四个方程可求出主应力 及其方向余及其方向余 弦弦l、m、n。显然，前三个方程构成一个齐。显然，前三个方程构成一个齐 次方程组，显然不能有次方程组，显然不能有l = m = n = 0这样的这样的 解。如要方程组有其他解时，必须取该方程解。如要方程组有其他解时，必须取该方程 组的系数行列式为零，即组的系数行列式为零，即 0 zyzxz zyyxy zxyxx 2021-5-29第2讲应力状态基本概念50 o展开此行列式，得展开此行列式，得 2 )( zyx 3 )( 1zyx I )( 222 zxy

26、zxyxzzyyx 0 2 222 xyzzxyyzxzxyzxyzyx 令令 )( 222 2zxyzxyxzzyyx I 222 3 2 xyzzxyyzxzxyzxyzyx I 则有则有 0 32 2 1 3 III 2021-5-29第2讲应力状态基本概念51 o三次方程式称为应力状态特征方程。此方程三次方程式称为应力状态特征方程。此方程 的三个根就是三个主应力，而这三个主应力的三个根就是三个主应力，而这三个主应力 均为实根。由因式分解可知均为实根。由因式分解可知 0 321 0 321133221 2 321 3 由代数学可知，具有相同的根的方程是全等方由代数学可知，具有相同的根的方

27、程是全等方 程，因此该式与应力状态特征方程全等。有程，因此该式与应力状态特征方程全等。有 展开后得展开后得 2021-5-29第2讲应力状态基本概念52 应力张量不变量应力张量不变量 zyx I 1 321 222 2zxyzxyxzzyyx I 133221 222 3 2 xyzzxyyzxzxyzxyzyx I 321 对同一点应力状态，三个主应力的数值是一定的，而对同一点应力状态，三个主应力的数值是一定的，而 与过该点的坐标系的选择无关，不管应力分量怎样随坐与过该点的坐标系的选择无关，不管应力分量怎样随坐 标系改变。那么标系改变。那么I1、I2、I3 是不随坐标系改变的，分别称是不随坐

28、标系改变的，分别称 为一次、二次和三次应力常量，或称为应力张量不变量。为一次、二次和三次应力常量，或称为应力张量不变量。 2021-5-29第2讲应力状态基本概念53 主应力的特点主应力的特点 o三个主应力所作用的主微分面是相互垂直的三个主应力所作用的主微分面是相互垂直的 o将主应力将主应力 1代入（代入（*）式中的任何两个方程，）式中的任何两个方程， 并与（并与（*）式联立，可以求解出主应力）式联立，可以求解出主应力 1的的 方向余弦方向余弦l1、m1、n1，同理，可以求解出主，同理，可以求解出主 应力应力 2及及 3的方向余弦的方向余弦l2、m2、n2及及l3、m3、 n3 。 o每两个主

29、应力的方向余弦之间满足以下关系每两个主应力的方向余弦之间满足以下关系 0 212121 nnmml l 0 323232 nnmmll 0 131313 nnmmll 2021-5-29第2讲应力状态基本概念54 o三个主应力均为实根三个主应力均为实根 o主应力具有极值性质主应力具有极值性质 o三个主应力中的最大值赋给三个主应力中的最大值赋给 1，最小值赋给，最小值赋给 3，并按大小顺序排列，并按大小顺序排列 1 2 3，则过该，则过该 点任意微分斜面上的正应力中，点任意微分斜面上的正应力中， 1为最大值，为最大值， 3为最小值。为最小值。 2021-5-29第2讲应力状态基本概念55 主坐标

30、系主坐标系 o因为三个主应力两两相互垂直，若取坐标轴因为三个主应力两两相互垂直，若取坐标轴 与主应力方向一致，则构成主坐标系，其坐与主应力方向一致，则构成主坐标系，其坐 标轴称为主轴。标轴称为主轴。 2 1 2(y) 3(z) 1(x) 3 2021-5-29第2讲应力状态基本概念56 o在主坐标系下斜面上的应力为在主坐标系下斜面上的应力为 nnmlS mnmlS lnmlS n n n 333 222 111 00 00 00 n m l S S S n n n 3 2 1 3 2 1 00 00 00 或或 2 3 2 2 2 1 nml n 正应力正应力 3 2 1 00 00 00 T

31、 为主应力张量为主应力张量 2021-5-29第2讲应力状态基本概念57 10.4.2 主切应力和最大切应力主切应力和最大切应力 o主切应力主切应力 o任意微分斜面上的切应力也有极大值和最大值。任意微分斜面上的切应力也有极大值和最大值。 极值切应力又称为主切应力。极值切应力又称为主切应力。 o在主坐标系下，任意微分斜面上的切应力在主坐标系下，任意微分斜面上的切应力 o上式中消去上式中消去n，得到，得到 n与与l、m的函数关系的函数关系 22 2 13 22 2 32 22 2 21 2 lnnmml n 2 3 2 32 2 31 2 3 22 3 2 2 22 3 2 1 2 mlml n 2021-5-29第2讲应力状态基本概念58 o当微分面转动时，切应力随之变化。我们所求当微分面转动时，切应力随之变化。我们所求 的是，当的是，当l、m、n为何值时，微分面上的切应力为何值时，微分面上的切应力 取极值。由二元函数取极值。由二元函数f(x,y)求极值的方法可求得求极值的方法可求得 微分面上的切应力的极值。微分面上的切应力的极值。 0 2 0 2 323 2 32 2 31 2 3 2 2 313 2 32 2 31 2 3 2 1 mmlmmf lmlllf 2 3 2 32 2 31 2 3 22 3 2 2 22 3 2 1 2