行列式知识点汇总

1、行列式矩阵ka11ka21卅k*n1*21*11IIII*n1*12*22HI*n2IIIIHIIIIH*1n*2nIII*nnII， I kA I =k*11k*21IHk*n1k*12k*22IIIk*n2IIIIIIHIIIIk*1nk*11k*2nk*nn= knlAk*21k*m*12*22川*n2IIIIIIIII121n1k*12 川 k*22 l|lIII III k*n2 IIIk*1n k*2nHIk* nn J*11*12III*1n*11*12III*1nj*111*12III*1n*21 + b21*22 + b22III*2n + b2n*21*22III1*2n4

2、 -4-b21b22IIIb2nIIIIIIIIIIH ?.IIIIIIIII1 IIIJ出IIIIIIIII*n1*n2III*nn,*n1*n2HIV*nn1*n1*n2III*nnA*11+ b11*12 + b12III*1n +b1n *11*12III*1n ”bnb12IIIbm*21+ b21*22 + b22III*2n +b2n |_*21*22III*2nb21b22IIIb2nA =+IHIIIIIIIIIIIIIIIIIIHIIIIIIIIIIHIL*m1+ bm1*m2 + bm2卅*mn +bmn / *m1*m2III*mn bm1bm2HIbmn Jn阶行列式

3、中，共有 n!项，其中正、负各一半，右负项个数为偶数，必有n - 4伴随矩阵M ij为aij的余子式，Ay = (-1厂M耳为aij的代数余子式;k=i r a A JA k =ajk Aji -0 k = i jn元n阶非齐次线性线性方程组:即AX = B当|A|式0有且仅有唯一解 Xj = A j / Aa11x1川-ainXn=b1*21X i*22X2a2nXnllllllllllllllllll二 b2其中an1Xian2X2HI - annXnbn*11*12bjl!*21*22b2川IIIIIIIII*n1*n2bnH!aina2nIIIIannAj*11*12III*1n广An

4、A21IIIAn1*21*22III*2nnAA12A22IIIA n2IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII、*n1*n2III*nn丿;A 1nA2nIIIA nn丿A -(Aj为的代数余子式)nr(A) = n(1) aN=aa JAE -A可逆、A -1 A A =11IA r(A *) = 1r(A) = n 10r(A) v n-1f* b*n A =rd -b=A-1=12Jc d丿l-c * 丿*d-bs-c * 丿(5) A=耳1 X1*21 Xian1X1n元n阶齐次线性线性方程组:ai2X2 川 ainXn a22X2 III a2nXn lllllllllll

5、lllllll*.2X2川 annXn=0=0=0(1 )齐次线性方程组有非零解的充分必要条件：A =0(2)如果 A式0，齐次线性方程组只有唯一的零解(AA*n-1(kA) = k A(A* )T =(AT)*(A B)呗A01B0J代 ia0bJa|=|a2(AB )* = BA*(A)*=|An-2A转置矩阵及对称矩阵1范德蒙行列式a1f卡 *n-1a1*2川n 4*2III*nn-1 *n=(*j - 4 ) 1vj _n(AB)T=BTAT , A为对称矩阵= A =A ; A为反对称矩阵= aT=-A=阶数n为奇数时，| A = 0A和B均为对称矩阵， AB为对称矩阵的充要条件：A

6、B=BAA为正交矩阵时=A*也为正交矩阵；A为对称矩阵时= A*也为对称矩阵；Tn 1A为反对称矩阵时 =(A ) =(-1) A =A阶数n为奇数，A为对称矩阵；n为偶数时，A为反对称矩阵 A0 = E ； AO (k - 1)时不一定有 A =0矩阵A=（a j）n n可逆的充分必要条件：A 0 （A为非奇异矩阵）（可逆矩阵一定是方阵）（AB）-1二B-1A-1（2）（KA）-1=Ka-1(3) A可逆(AT)-1=(A-1)T分块矩阵A-1A-1A-1A-1-1 -1-A BDD-1oD-1(-1)mn |a|bfoACA-1A-1A-1-D-1CA-1Q1 。丿0、D-1/A1A- 1

7、1、/ -、A2-1A-12印A =”n A =r，a2At J、A；丿准对角矩阵1a2Z10 0x1 0 0Z10 0X-1 0 0X5 0 0r1 0 0A0 1 0=0 1 00 0 1=0 0 150 k 0=0-0kK 0 1；l-k 011 1 0；3 1 0丿n= r(AB)兰minr(A),r(B) (5) A,B 均为 n 阶方阵 n r(AB) r(A) +r(B) n(6) A为m汉n矩阵，B为n矩阵，当AB = 0时，r(A) + r(B)兰n n为A的列数(7) r(A) +r(B) r(A+B)，当 A+B=kE = r(A) + r(B) n由 r(AB) W m

8、in1；(3)若 A 可逆二 r(AB)=r(B)，若 B 可逆二 r(AB)=r(A)AB型bnbi2川 ds b21b22山b2snnnAB =(W ,C2 ,川叫)=(bi1%,为 02,川为 bisW)II!IllIIIIIIimimimbMS2 川 bns 丿表示AB的列向量组可由 A的列向量组线性表示二r(AB) r(A)AB 0表示B的列向量是齐次线性方程组 AX - 0的解AB =0 ( A 和 B 均非零矩阵)二 r(A) +r(B)兰 n 二 r(A) c n，r(B) c n=A的列秩nA的列向量线性相关，B的行秩nB的行向量线性相关等价A三B(1)向量组与它的极大无关组

9、等价；(2 )向量组的任意两个极大无关组之间等价；(3)两个等价的线性无关的向量组所含的向量的个数相冋向量组C( 102川0s可由向量组优2,川戸线性表示，则何化川皿)兰汕1見川P)向量组3 12川卩t可由向量组4 102川尹$线性表示，则(九叭,山,片)兰(02川s) 今r(A) = r(B)斗AmBAB =0= AB =人(忙沖2,11沖n )=(人为人駡,川人札)=(0,01丨,0)= A0孑 叭是方程组AX =O的解二(匕见川卩n r(A)A和B为任意两个非零矩阵，AB 0= A的列向量线性相关，B的仃向量线性相关A为mn矩阵，B为n汇m矩阵，当AB=E=A的行向量线性无关，B的列向量

10、线性无关线性方程组AX = B 有解二 r(A)=r(A)(1) r(A)=r(A)= r =n 唯一解；(2) r(A)=r(A)= r n无穷多个解；(3) r(A)式 r(A) 无解AX =B，其中设 A=(G102 川,叫)，X=(X1,X2,IH,Xs)T，B = (012,IH,0s)方程组有解二(1) r(A)=r(A|B)等同化川化尸(化川“ s|匕臭山邑)(2)P idJIlBs可由a iS川,5线性表示(Xi/川,Xs类似系数ki,k2|,ks)齐次线性方程组AX =0(1) r(A)= r = n 仅有零解；(2) r(A)= r n无穷多个解(包括零解)n如果方程的个数

11、 未知量的个数，即 A的行数 列数二AX = 0必有非零解A是mS矩阵,AX = 0有非零解二r(A)= r n 二A的列向量线性相关A列向量组线性无关二AX =0只有零解；A行向量组线性无关 n A 列向量组线性无关二 A X = 0只有零解r(A)=r(A T )=r(AA T)，若 AAT 列向量=r(A)二 AA TX =0只有零解设厲i%,川Qs线性无关，%芒2,川,化可以由Ct i02川型s线性表示，且(Bi#2川,Bs)=(眄弹2川0s)A n Pi2lls线性无关的充要条件是|A0如果口 Z2川0S是AX =0的基础解系，要使 为*2，川占s也是AX =0的基础解系U ,02川

12、，0s线性无关，且 Pi,02ll,0s 可由。iSHWs 线性表示，即 r(ai,CC2,lii，as)= r(ot i,a 2,111 Qs 为严2川，B s)向量目可以表为向量组00 2“ 0 s的线性表示法唯一的充分必要条件：G仆。2,11 ,Gs线性无关向量组a i,0(2，川,Gs线性无关，而向量组 ,0(2川0s,B线性相关二 向量B可以表为向量组Oti, a 2川，G s线性组合如果ni?12ILns为AX =0的解向量组的一个极大无关组，则称*1,口2，川4s为该方程组的一个基础解系只有当齐次线性方程组 AX =0存在非零解时，才会存在基础解系AX = 0中系数矩阵A的秩r(

13、A)= r 1, 2川2n可以表示任一个n维向量二1,2,|l（Cn与；1, ；2,川，；n等价 =，1,2,|l（,n线性无关充分必要条件：:j,2,|l（,可表示任一个n维向量 向量可以表为向量组：1/-2L-s的线性组合的充分必要条件：s元非齐次线性方程组有解向量组1,2l（,s的极大无关组所含的向量个数，为该向量的秩，记 r（1,2l（ Cs）向量组1,2l（,s线性无关=r（1,2l（ ,s） =SJ1,2,lH,s：r（ 12,s） = r12川s）（两个向量组等价，则两个向量组的极大无关组所含向量个数相等）恻 0川叫I =0= a = 0; H ka| = klUT Ct非零向量

14、化为单位向量或标准化向量的方法:10(II |施密特正交化方法向量组1,2l|,s线性相关二s元齐次线性方程组有解； 向量组：12L ：s线性无关二 s元齐次线性方程组仅有零解 在Rn中向量组 冷，2l（,s的线性相关的充分必要条件：2,川/ s中至少有一个向量可以表为其他向量的线性组合设是Rn中的一个线性无关的向量组，令a TB a TP：3132 3- 3: T ：1 X T ：21 1 2 2两个向量线性相关的充要条件：对应元素成比例向量组：-1/-2 JU : s的线性无关rj = （a1j,a2jLanj）T ，若将该向量组的每一个向丄 T |.;.二s1s 一 - s 一 ： T

15、：111* T |- 二s 二2:T ：2 -2 2：ss-1:丁 s-1 s-1- 1 , -21（, -s是一个正交向量组，且Rn中的几个向量：宀,，：“满足：（1 ） 1,2川n中任意两个向量都正交（2 4- j即:at=1=称二12，二n为Rn的一个标准正交基A 十121( ? n)，r t、a1+/n AtA =+1 1 T21Tntt1a a 2T:-22Tana25时T2an1,2,川n为标准正交基，A为正交矩阵量都增加m个分量，得到向量组： 行）Rn中的任意n+1个向量一定线性相关矩阵特征值和特征向量相似矩阵与矩阵可对角化设A为n阶矩阵，如果对于数 妬，存在非零列向量Rn，使得

16、Aa =，则称 打为A的一个特征值，口为A的属于特征值 人0的特征向量相似设A、B为n阶矩阵，如果存在一个 n阶可逆矩阵P,使得P AP=B=矩阵A与B相似，记AL B 性质：（1）（反身性）aL A （2）（传递性）aL B，bL C = aL C设A=(a j)为n阶矩阵，贝U 0为A的特征值，：为A的属于特征值0的特征向量的充 分必要条件：(1) -0为特征方程 卜E-A| 0根；(2) :为齐次线性方程组(，0E-A)X=O非零解 (1 )设o是A的一个特征值=是A2的一个特征值Xo对应的特征向量与其他特征值胡是Am的一个特征值对应的特征向量也相同1/打是A-1的一个特征值注：Am的特

17、征向量不一定是 A的A |/珀是A*的一个特征值丿特征向量(2) 设A是n阶矩阵=A与AT有相同的特征值二.特征向量不一定相同AL B= AtL BT,AmLI Bm ； IA =|B，r(A) =r(B) ； 当 A 可逆时,ABL BAu A(AB)A= BAA-1L B-1 相似矩阵都可逆或都不可逆 ； A，B具有相同特征值卩E-A=pE-B A、B有相同特征值,A和B不一定相似 f (A) J f (B) , |f(A)| =|f (B)(其中：f (A)为 n 阶方阵 A 的多项式)AL B，CL D二(1) A是实对称矩阵,B为对角矩阵，若aL B= A = B ；( 2 ) aL

18、 B,且B是实对称矩阵=A与B有相同秩和特征值，且A也是实对称矩阵(2) A经过行的初等变换变为B,则A的行向量组与B的行向量组等价B= PAA经过列的初等变换变为B,则A的列向量组与 B的列向量组等价B= AQ; A和B行列向量组都等价 = A三B(3)相似矩阵的特征向量是不一样的若为A的特征向量，A L B=B的特征向量是P J：(4)n阶矩阵A可逆的充分必要条件：它的任一特征值不等于零设A是n阶矩阵，dll m是A的m个不同的特征值，1,|1(：韦分别是A的属于ilm的特征向量=川：韦线性无关特征值和特征向量求矩阵:A1，2，川，S 乂11，22，1山人)=A =(1, 22，川，人)12,lH,n n矩阵A的所有特征值之和等于 、aiii勻1+2 V m =a11 a22 V ann ；矩阵a的所有特征值之积等于|a|M2IMm = a|(若A不可逆=0是A的特征向量)(n阶矩阵A可逆的充分必要条件：它的任一特征值不等于零)(1)实对称矩阵A的属于不冋特征值的特征向量相互正交；实对成矩阵对角化方法：(2)实对称矩阵必可对角化，即aL a(1)求特征方程| AE A=0的根扎1,几2川，兀n ；(3) n阶实对称矩阵A，则存在正交矩阵 Q,(2)每个特征值 九i，解齐次线性方程组 仇iE-A)X-0的基础解系；使得Q-1AQ成为对角矩阵二Q-