在新课程下应重视合情推理的教学与研究

1、在新课程下应重视合情推理的教学与研究数学教育家波利亚曾说过：“一个认真想把数学作为他终身事业的学生必须学习论证的推理，这是他的专业也是他那门学科的特殊标志。然而为了取得真正的成就他还必须学习合情推理，这是他创造性工作所赖以进行的那种推理。”推理是由一个或几个已知判断得出新的判断的思维形式。它有两类：一类是论证推理，另一类是合情推理。在以往的教学中只注重论证推理，忽略了合情推理。我认为要培养学生的创新能力，要为国家培养创造性的人才，必须大力加强对合情推理的教学与研究。一、正确认识合情推理的意义与特征所谓合情推理就是从具体的事实经验出发，通过观察、实验、类比、联想、归纳、猜想等到手段进行的一种推理

2、。这种推理的途径的从观察、实验入手，通过类比而产生联想，或通过归纳而做出猜想。这就是说，合情推理的条件与结论之间是以联想或猜想作为桥梁的。根据合情推理的含义，我认为，合情推理有两大特点：（1）似真性合情推理是从个别到普遍的推理，是从特殊到一般的推理，有时还是从一个普遍到另一个普遍的推理。所以合情推理的结果的真假不依赖于前提条件。再加上合情推理的结论与条件之间并无必然的联系。有时即使条件正确，由于推理者个人的原有认知结构的差异，有时还可能出现不正确的结论。因而，通过合情推理而得到的结论还有待于理论或实践的检验与证明。中得出：一般形式为22n +1，且它们恰好等于n =1、2、3、4的值。于是费尔

3、马通过归纳，做出了大胆的猜想：凡是形如22n+1的数数都是素数。多年之后,著名数学家欧拉发现了当n=5时，(22)16+1=6416700417，显然，它不是素数，从而推翻了费尔马的猜想。被誉为数学皇冠的一颗明珠的哥德巴赫猜想，也是合情推理的结果。哥德巴赫考察了下面一类等式：4=2+2 6=3+3 8=3+510=3+7=5+5 12=5+7 14=3+11=7+716=13+3=11+5 18=5+13=7+11 20=3+17=7+13之后，他通过归纳得到猜想：“任何大于2的偶数都可以表为两个素数的和”（简称为“1+1” ）。对于这个猜想（哥德巴赫在1742年给欧拉的信中正式提出的）举例容

4、易验证，但给出一般性的证明却异常困难。两百多年来，经过许多数学家的努力，创建了一些新的数学方法，取得了一系列的成就，我国已故的著名数学系家陈景润于1966年证明了简记为（1+2）的命题。这是到目前为此对这一猜想最接近的结果。可见，合情推理的结果不一定是正确的。2、创新性合情推理的创新性是指推理的思路或推理的过程具有新颖性和突破性。这种创新性主要来源于合情推理过程中的直觉和灵感。直觉是一种思维形式，它是在丰富的知识与经验的基础上，在短时间内直观地把握事物的本质、瞬间做出判断的思维形式。心理学家的研究成果表明：直觉是直接觉察事物的心理活动。在合情推理的过程中，无论是类比联想，还是归纳联想，往往要借

5、助于直觉思维。直觉思维表现为对数学问题能迅速做出相应的判断来。例如，对于方程（2x-4）2+=0能在算术根与平方等有关知识的基础上，于瞬间做出它的解是多少的判断来，靠的就是直觉。灵感也是一种思维形式。在合情推理中，这是一种很重要的思维形式。灵感是经过长期思维后的瞬间顿悟，是思维的信息迅速转化和急剧重组，形成新的信息系统，从而使思维出现新的突破。例如，俄国化学家门捷列夫给出的元素周期表，就“完成了科学史上的一个勋业”前苏联科学史家凯德洛夫曾经详尽的研究了门捷列夫的发现过程。据凯德洛夫介绍，门捷列夫的第一张元素周期表出现于1869年2月17日。虽然在此以前，门捷列夫曾经从各个方面研究过元素及其它化

6、合物的各种相互关系，但总不得要领。发现周期律的决定性观念是在很短的时间里产生的，那一天，门捷列夫动身离开彼德堡去办与周期律毫不相干的事情，就在一切准备就绪，提着箱子要上火车之际，一个天才的猜想在他的脑海里突然闪现，即原子按原子量系统化的原则，于是，在这种紧张的“思索时间不足”之中诞生了伟大的发现。门捷列夫当天就把元素周期表送往印刷厂发排，这是一个直觉闪现和顿悟的典型事例。由此可见，灵感的出现往往会带来一种崭新的思想、方法，从而使思维结果具有创新性。爱因斯坦曾经宣称“我相信直觉和灵感”。许多发明和创造的事实都证实了直觉和灵感在其创造过程中的决定作用，这就更加肯定了合情推理具有创造性的这一特征。二

7、、加强合情推理的教学是提高学生竞争能力的必然要求数学教育要培养学生分析问题和解决问题的能力，这是普遍性的要求。如果要培养和造就一批具有探索能力的人才，一批具有世界一流水平的科学技术专家，只有分析问题和解决问题的能力是不够的，必须具备发现问题的能力，因为不会发现问题，就只能永远跟在别人后面爬行。这就要求我们数学教师，在数学教学过程中，必须培养学生发现问题，大胆猜想的能力，让学生通过参加数学活动和数学学习过程，重蹈数学家当初发现数学知识的道路。只有这样，才能更有效的培养出一代具有发现能力和创造性的人才来。而这方面的培养，一个最有效的方法就是加强合情推理的教学。大家知道，论证推理本身并不能产生新思想

8、、新理论，而合情推理能产生新思想、新理论，甚至连“物理学家的归纳论证，律师的案情分析，历史学家的史料论证以及经济学家的统计论证都属于合情推理之列”。可见，在某些情况下，教学生学会合情推理、教会学生猜想远比教会学生论证推理、教证明要有意义得多。目前大量的数学教师在这一点上一直不够重视，对论证推理要求得比较多、比较重视，相反对合情推理的重视程度则比较低。因此，提高学生的合情推理能力是我们数学教师当前的教学中的一项重要任务，这更是当前我国教育大力倡导的创新教育向数学教育提出的要求。三、培养学生合情推理能力的途径合情推理的“似真性”特征告诉我们，它既有引导我们走向真理的一面，也有可能把人引入歧途的一面

9、，猜想只有通过严格的逻辑证明才能被肯定或否定，再加之逻辑思维与合情推理是科学思维的两个方面，所以，数学教学应遵循“既教证明，又教猜想”，即“通过合情推理提出猜想，利用演绎推理证明猜想正确与否”。事实上，在演绎推理的过程中，合情推理也在时刻发生着作用。那又怎样培养学生的合情推理能力呢？合情推理能力的发展不同于一般知识与技能的获得，它是一个缓慢的过程，而且有着自身的特点和规律：它不是教师“教会”的，也不是学生“学会”的，而是学生自己“悟”出来的。因此，培养学生合情推理能力的根本途径就是教师在教学中，努力给学生提供探索与交流的空间，引导学生“经历观察、实验、猜想、证明等数学过程”，即教师通过认真钻研

10、教材，挖掘教材，按照建构主义的理论，对教学内容、学习环境、师生行为等进行预测，把教学内容设计成一系列的具有探索性的问题，努力为同学们创造出一种“愤悱”的环境，让学生在“探索、猜想、交流”的过程中，在亲身“做数学”的“实际操作”中，使自己的合情推理能力“不知不觉”的在提高、在发展。 例如，“平方差公式”的教学可以设置如的问题串（见新课程教师学科培训丛书数学教学实施指南6970页），以引导学生不断地进行思考与探索：（1）计算并观察下面每组算式：88= 55= 1212=79= 46= 1113=（2）已知2525=625，那么2426= （3）你能举出一个类似的例子吗？（4）从上述过程中，你发现了

11、什么规律？你能用语言叙述这个规律吗？你能用代数式表达这个规律吗？（5）你能证明自己得到的规律吗？学生在这些问题的引导下，其探索过程可分为以下三步：（1）在对具体算式的观察、比较中，通过合情推理，得出猜想；（2）把所得到的猜想用数学符号或数学语言表达出来：如果aa=n 则(a1)(a+1)=n1（3）用多项式的乘法法则证明猜想的结果是正确的。这样，同学们就完成了对“平方差公式”的认知任务。学生对“平方差公式”的掌握显然不是老师“讲”的，而是学生自己“发现”的，这样他们对“平方差公式”的“感情”、“印象”要比教师直接讲出来“深刻”得多。再如，在教“日历中的数学”这一教学内容时，可以将学习过程设计成

12、下面的具有一定层次的问题系列：生活中，我们天天都在看挂历，同学们想过没有，挂历上的日期有哪些规律，你有兴趣来研究吗？教师用多媒体出示2004年的日历，用彩色显示5月中相邻的三个数。（1）横排的三个数有什么规律？能用代数式表示吗？（2）竖排的三个数有什么规律？能用代数式表示吗？（3）右对角线上的三个数有什么规律？能用代数式表示吗？（4）左对角线上的三个数有什么规律？能用代数式表示吗？（5）无论位置怎样的相邻三个数，中间的数与其它两个数又有怎样的关系？（6）给出横、竖相邻的九个数，它们的和与这九个数所组成的方框正中间的那个数有什么关系？这个关系在其它方框中还成立吗？（7）对于其它年的其它月份还有这

13、个规律吗？这样，同学们就完成了对“日历中的数学”这一内容的学习。学生在思考、分析、猜想、归纳、解答这些问题的过程中，完成了对这些知识的学习，多年的教学实践证明，这样的学习效果远比教师的直接讲授要好得多。又从考试这个角度来看，当前加强了对合情推理能力的考查。例如，2004年资阳市初中毕业暨升学考试的数学试题的23题：如图分别以RtABC三边为直径向形外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3（1）如图，分别以RtABC三边向形外作正方形，其面积分别用S1、S2、S3 表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？（2）如图分别以RtABC三边向形外作三个正三角形，其面

14、积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明。（3）若分别以RtABC三边向形外作一般三角形，其面积分别用S1、S2、S3 表示，为使 S1、S2、S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论；（4）类比（1）、（2）、（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论。我想我们的数学教师的教学如果能做到尽量地把教学内容以“问题”化的形式展示给学生，引导他们对所给的问题进行观察、分析、实验、猜想、验证，那么学生的合情推理能力必将得到“空前”的发展。这难道不是我们搞数学教育所追求的崇高境界吗？当然，强调重视合情推理的教学并不说明我们反对“逻辑思维”的训练，事实上，学生良好的数学思维习惯的形成，遇到问题能用“数学的方法”去解决，一点儿也离不开严密的逻辑推理，而且严密的逻辑推理，高度的模式抽象，正是数学区别于其它学科的主要特征。数学教学中引导学生学习运用数学模型法，公理化方法，抽象分析法等数学思想方