线性代数PPT全集[基本功课]

1、课程简介课程简介 线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系 问题问题. 线性关系是指数学对象之间的关系是以一次形式线性关系是指数学对象之间的关系是以一次形式 来表达的来表达的. 最简单的线性问题就是解线性方程组最简单的线性问题就是解线性方程组. 行列式和矩阵为处理线性问题提供了有力的工具，行列式和矩阵为处理线性问题提供了有力的工具， 也推动了线性代数的发展也推动了线性代数的发展. 向量概念的引入，形成了向向量概念的引入，形成了向 量空间的概念，而线性问题都可以用向量空间的观点加量空间的概念，而线性问题都可以用向量空间的观点加 以讨论以讨论. 因此

2、向量空间及其线性变换，以及与此相联系因此向量空间及其线性变换，以及与此相联系 的矩阵理论，构成了线性代数的中心内容的矩阵理论，构成了线性代数的中心内容. 1教书育人 它的特点是研究的变量数量较多，关系复杂，方法上它的特点是研究的变量数量较多，关系复杂，方法上 既有严谨的逻辑推证、又有巧妙的归纳综合，也有繁既有严谨的逻辑推证、又有巧妙的归纳综合，也有繁 琐和技巧性很强的数字计算，在学习中，需要特别加琐和技巧性很强的数字计算，在学习中，需要特别加 强这些方面的训练。强这些方面的训练。 2教书育人 第一章第一章 行列式行列式 第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 第三章第三章 矩阵的初等变换矩阵的

3、初等变换 及线性方程组及线性方程组 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 基础基础 基本内容基本内容 用向量的观点讨论用向量的观点讨论 基本问题并介绍向基本问题并介绍向 量空间的有关内容量空间的有关内容 第五章第五章 相似矩阵及二次相似矩阵及二次 型型 矩阵理论矩阵理论 3教书育人 一、二元线性方程组与二阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式 用消元法解二元用消元法解二元( (一次一次) )线性方程组线性方程组: : 第一章第一章 行列式行列式 2222121 1212111 bxaxa bxaxa (1) (2) (1) a22:a11a22x1 + a12a22x2 = b1

4、a22, (2) a12:a12a21x1 + a12a22x2 = b2a12, 两式相减消去两式相减消去x2, 得得 (a11a22 a12a21) x1 = b1a22 b2a12; 1.1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式 4教书育人 ; 212221121122211 baabxaaaa ）（ ，得，得类似地，消去类似地，消去 1 x , 211211221122211 abbaxaaaa ）（ 时，时，当当0 21122211 aaaa方程组的解为方程组的解为 ， 21122211 212221 1 aaaa baab x ）（3. 21122211 211211 2 aaaa a

5、bba x 由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定. 5教书育人 由四个数排成二行二列（横为行、竖为列）由四个数排成二行二列（横为行、竖为列） 的数表的数表 )4( 2221 1211 aa aa )5( 4 2221 1211 21122211 aa aa aaaa 行行列列式式，并并记记作作 ）所所确确定定的的二二阶阶称称为为数数表表（表表达达式式 即即 . 21122211 2221 1211 aaaa aa aa D 6教书育人 11 a 12 a 22 a 12 a 主对角线主对角线 副对角线副对角线 2211a a . 2112a a 二阶行列式的计算二阶行列式的计算 若记若

6、记 , 2221 1211 aa aa D . , 2222121 1212111 bxaxa bxaxa 对于二元线性方程组对于二元线性方程组 系数行列式系数行列式 7教书育人 . , 2222121 1212111 bxaxa bxaxa , 2221 1211 aa aa D 8教书育人 . , 2222121 1212111 bxaxa bxaxa , 222 121 1 ab ab D . , 2222121 1212111 bxaxa bxaxa , 2221 1211 aa aa D 9教书育人 . , 2222121 1212111 bxaxa bxaxa , 222 121

7、1 ab ab D . , 2222121 1212111 bxaxa bxaxa . 221 111 2 ba ba D 10教书育人 则二元线性方程组的解为则二元线性方程组的解为 , 2221 1211 222 121 1 1 aa aa ab ab D D x . 2221 1211 221 111 2 2 aa aa ba ba D D x 11教书育人 . 12 ,1223 21 21 xx xx 求解二元线性方程组求解二元线性方程组 解解 12 23 D)4(3 , 07 11 212 1 D,14 12 123 2 D ,21 D D x 1 1 , 2 7 14 D D x 2

8、 2 . 3 7 21 12教书育人 二、三阶行列式 333231 232221 131211 )5( 339 aaa aaa aaa 列的数表列的数表行行个数排成个数排成设有设有 ,312213332112322311 322113312312332211 )6( aaaaaaaaa aaaaaaaaa 333231 232221 131211 aaa aaa aaa （6 6）式称为数表（）式称为数表（5 5）所确定的）所确定的. . 13教书育人 3231 2221 1211 aa aa aa . 312213332112322311 aaaaaaaaa (1)(1)沙路法沙路法 三阶行

9、列式的计算三阶行列式的计算 322113312312332211 aaaaaaaaa D 333231 232221 131211 aaa aaa aaa D . .列标列标 行标行标 333231 232221 131211 aaa aaa aaa D 14教书育人 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 332211 aaa . 322311 aaa 注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号 说明说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式 322113

10、 aaa 312312 aaa 312213 aaa 332112 aaa 15教书育人 如果三元线性方程组如果三元线性方程组 ; , , 3333232131 2323222121 1313212111 bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 的系数行列式的系数行列式 333231 232221 131211 aaa aaa aaa D , 0 利用三阶行列式求解三元线性方程组利用三阶行列式求解三元线性方程组 2 2. . 三阶行列式包括三阶行列式包括3!3!项项, ,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行, , 不同列的三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积, ,其中三项为正其中三

11、项为正, ,三项为三项为 负负. . 16教书育人 ; , , 3333232131 2323222121 1313212111 bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa , 33323 23222 13121 1 aab aab aab D 若记若记 333231 232221 131211 aaa aaa aaa D 或或 1 2 1 b b b 17教书育人 ; , , 3333232131 2323222121 1313212111 bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa , 33323 23222 13121 1 aab aab aab D 记记 , 33323 232

12、22 13121 1 aab aab aab D 即即 18教书育人 ; , , 3333232131 2323222121 1313212111 bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 333231 232221 131211 aaa aaa aaa D 19教书育人 ; , , 3333232131 2323222121 1313212111 bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa , 33331 23221 13111 2 aba aba aba D 得得 ; , , 3333232131 2323222121 1313212111 bxaxaxa bxaxaxa bxa

13、xaxa 333231 232221 131211 aaa aaa aaa D 20教书育人 ; , , 3333232131 2323222121 1313212111 bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa , 33331 23221 13111 2 aba aba aba D 得得 ; , , 3333232131 2323222121 1313212111 bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa . 33231 22221 11211 3 baa baa baa D 21教书育人 , 33331 23221 13111 2 aba aba aba D . 33231 2

14、2221 11211 3 baa baa baa D 则三元线性方程组的解为则三元线性方程组的解为: , 1 1 D D x , 2 2 D D x . 3 3 D D x 333231 232221 131211 aaa aaa aaa D , 33323 23222 13121 1 aab aab aab D 22教书育人 2-43- 122- 4-21 D 计算三阶行列式计算三阶行列式 按对角线法则，有按对角线法则，有 D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 .14 23教书育人 . 0 94 32 111 2 x x求解方程求解方程

15、方程左端方程左端 12291843 22 xxxxD , 65 2 xx 解得解得由由05 2 xx 3.2 xx或或 24教书育人 例例4 4 解线性方程组解线性方程组 . 0 , 132 , 22 321 321 321 xxx xxx xxx 由于方程组的系数行列式由于方程组的系数行列式 111 312 121 D 111 132 121 111 122 131 5 , 0 25教书育人 同理可得同理可得 110 311 122 1 D, 5 101 312 121 2 D ,10 011 112 221 3 D, 5 故方程组的解为故方程组的解为: , 1 1 1 D D x, 2 2

16、 2 D D x. 1 3 3 D D x 26教书育人 二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方 程组引入的程组引入的. 对角线法则对角线法则二阶与三阶行列式的计算二阶与三阶行列式的计算 . 21122211 2221 1211 aaaa aa aa ,312213332112322311 322113312312332211 aaaaaaaaa aaaaaaaaa 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 三、小结 27教书育人 使使求一个二次多项式求一个二次多项式,xf .283, 32, 01 fff 28教书育人 解解设所求

17、的二次多项式为设所求的二次多项式为 , 2 cbxaxxf 由题意得由题意得 , 01 cbaf , 3242 cbaf ,28393 cbaf 得一个关于未知数得一个关于未知数 的线性方程组的线性方程组,cba, 又又 , 020 D.20,60,40 321 DDD 得得, 2 1 DDa, 3 2 DDb1 3 DDc 29教书育人 故所求多项式为故所求多项式为 . 132 2 xxxf 30教书育人 1.2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数 引例引例: 用用1, 2, 3三个数字三个数字, 可以组成多少个没有重可以组成多少个没有重 复数字的三位数？复数字的三位数？ 这是一个大家熟知的问

18、题这是一个大家熟知的问题, 答案是答案是: 3! = 6. 将此问题将此问题推广推广: 把把n个不同的元素按先后次序排成个不同的元素按先后次序排成 一列一列, 共有多少种不同的排法共有多少种不同的排法. 定义定义: 把把 n 个不同的元素排成一列个不同的元素排成一列, 叫做这叫做这 n 个个 元素的元素的全排列全排列(或或排列排列). n 个不同的元素的所有排列的种数个不同的元素的所有排列的种数, 通常用通常用 Pn 表表 示示, 称为称为排列数排列数. Pn = n (n1) (n2) 2 1 = n! 一、全排列一、全排列 31教书育人 二、排列的逆序数二、排列的逆序数 定义定义: 在一个

19、排列在一个排列 i1 i2 is it in 中中, 若数若数 isit, 则称这两个数组成一个则称这两个数组成一个逆序逆序. 例如例如: 排列排列32514 中中, 我们规定各元素之间有一个标准次序我们规定各元素之间有一个标准次序. 以以 n 个不个不 同的自然数为例同的自然数为例, 规定规定由小到大为标准次序由小到大为标准次序. 3 2 5 1 4 逆序逆序 逆序逆序 逆序逆序 定义定义: 一个排列中所有一个排列中所有逆序逆序的总数称为此的总数称为此排列的排列的 逆序数逆序数. 前面的数比前面的数比 后面的数大后面的数大 32教书育人 3 2 5 1 4 逆序数为逆序数为31 010 故此

20、排列的逆序数为故此排列的逆序数为: 3+1+0+1+0 = 0+1+0+3+1 = 5. 例如例如: 排列排列32514 中中, 计算排列逆序数的方法计算排列逆序数的方法 逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列; 逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列. 方法方法1: 分别计算出排在分别计算出排在1,2, , n 前面比它大的数前面比它大的数 码的个数并求和码的个数并求和, 即先分别算出即先分别算出 1,2, , n 这这 n 个元素个元素 的逆序数的逆序数, 则所有元素的逆序数的总和即为所求排列则所有元素的逆序数的总和即为所求排列 的逆序数的逆序数.33教

21、书育人 方法方法2: 依次计算出排列中每个元素依次计算出排列中每个元素前面比它大前面比它大的的 数码的个数并求和数码的个数并求和, 即算出排列中每个元素的逆序数即算出排列中每个元素的逆序数, 则所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数则所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数. 方法方法3: 依次计算出排列中每个元素依次计算出排列中每个元素后面比它小后面比它小的的 数码的个数并求和数码的个数并求和, 即算出排列中每个元素的逆序数即算出排列中每个元素的逆序数, 则所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数则所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数. 34教书育人 例例1: 求排列求排列32

22、514的逆序数的逆序数. 解解: 在排列在排列32514中中, 3排在首位排在首位, 则则3的逆序为的逆序为0; 2的前面比的前面比2大的数只有一个大的数只有一个3, 故故2的逆序为的逆序为1; 3 2 5 1 4 0 1 0 3 1 没有比没有比5大的数大的数, 故其逆序为故其逆序为0; 个个, 故其逆序为故其逆序为3; 4的前面比的前面比4大的数有大的数有1个个, 故逆序为故逆序为1. 5的前面的前面 1的前面比的前面比1大的数有大的数有3 即即 于是排列于是排列32514的逆序数为的逆序数为 t = 0+1+0+3+1 = 5. 35教书育人 解解: 此排列为此排列为偶排列偶排列. 例例

23、2: 计算下列排列的逆序数计算下列排列的逆序数, 并讨论其奇偶性并讨论其奇偶性. (1) 217986354. 2 1 7 9 8 6 3 5 4 0 1 0 0 1 3 4 4 5 于是排列于是排列217986354的逆序数为的逆序数为: t = 0+1+0+0+1+3+4+4+5 = 18. (2) n(n1)(n2) 21 解解: n (n1) (n2) 2 1 012(n1)(n2) , 2 1 nn t = 0+1+2+ +(n2)+(n1) 于是排列于是排列n(n1)(n2) 21的逆序数为的逆序数为: 36教书育人 此排列当此排列当 n=4k, 4k+1 时为偶排列时为偶排列;

24、当当 n=4k+2, 4k+3 时为奇排列时为奇排列. (3) (2k)1(2k1)2(2k2)3(2k3) (k1)(k +1)k. (2k) 1 (2k1) 2 (2k2) 3 (2k3) (k1) (k+1) k 解解: 0121233(k1) (k1) k t = 0+1+1+2+2+ +(k1)+(k1)+k 于是排列于是排列(2k)1(2k1)2(2k2) (k1)(k +1)k的逆序数为的逆序数为: . 2 1 2 2 kk kk 此排列当此排列当 k 为偶数时为偶排列为偶数时为偶排列, 当当 k为奇数时为为奇数时为 奇排列奇排列. 37教书育人 1. n个不同的元素的所有排列种

25、数为个不同的元素的所有排列种数为n!个个; 2. 排列具有奇偶性排列具有奇偶性; 3. 计算排列逆序数常用的方法计算排列逆序数常用的方法. 三、小结三、小结 38教书育人 1.3 n 阶行列式的定义阶行列式的定义 333231 232221 131211 aaa aaa aaa D 322113312312332211 aaaaaaaaa 332112322311312213 aaaaaaaaa 一、概念的引入一、概念的引入 三阶行列式三阶行列式 说明说明(1) 三阶行列式共有三阶行列式共有6项项, 即即3!项项. 说明说明(2) 每项都是位于不同行不同列的三个元素每项都是位于不同行不同列的三

26、个元素 的乘积的乘积. 说明说明(3) 每项的正负号都取决于位于不同行不同每项的正负号都取决于位于不同行不同 列的三个元素的列标排列的逆序数列的三个元素的列标排列的逆序数(行标为标准排列行标为标准排列). 39教书育人 例如例如 a13a21a32, 将行下标标准排列将行下标标准排列, 列下标排列列下标排列312 的逆序数为的逆序数为 .)1( 321 321 333231 232221 131211 ppp t aaa aaa aaa aaa t (312)=1+1=2, 偶排列偶排列. a13a21a32 的前面取的前面取+号号. 例如例如 a11a23a32, 将行下标标准排列将行下标标

27、准排列, 列下标排列列下标排列132 的逆序数为的逆序数为 t (132)=0+1=1, 奇排列奇排列. a11a23a32的前面取的前面取号号. 其中其中是对列下标的所有排列求和是对列下标的所有排列求和(3!项项), t 是列下标是列下标 排列排列 p1p2p3 的逆序数的逆序数. 40教书育人 二、二、n 阶行列式的定义阶行列式的定义 定义定义: 设由设由 n2 个数排成一个个数排成一个 n 行行 n 列的数表列的数表 作出表中位于不同行不同列的作出表中位于不同行不同列的 n 个数的乘积个数的乘积, 并冠以并冠以 符号符号(1)t, 得到形如得到形如 其中其中 p1p2 pn 为自然数为自

28、然数1, 2, , n 的一个排列的一个排列, t 为排列为排列p1p2 pn的逆序数的逆序数. n nppp t aaa 21 21 )1( 的项的项, nnnn n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 41教书育人 所有这所有这 n! 项的代数和项的代数和 n nppp t aaa 21 21 )1( 称为称为(由上述数表构成的由上述数表构成的) n 阶行列式阶行列式. nnnn n n aaa aaa aaa D 21 22221 11211 记作记作 简记作简记作 det(aij). 数数 aij 称为行列式称为行列式 det(aij) (第第 i 行第行第 j

29、列列) 的元素的元素. n nppp t aaaD 21 21 )1( 即即 42教书育人 说明说明1. 行列式是一种特定的算式行列式是一种特定的算式, 它是根据求解它是根据求解 方程个数和未知量个数相同的线性方程组的需要而定方程个数和未知量个数相同的线性方程组的需要而定 义的义的; 说明说明2. n 阶行列式是阶行列式是 n! 项的代数和项的代数和; 说明说明3. n 阶行列式的每项都是位于不同行阶行列式的每项都是位于不同行, 不同不同 列列 n 个元素的乘积个元素的乘积, n nppp aaa 21 21的符号为的符号为(1)t; 说明说明4. 一阶行列式的符号一阶行列式的符号 | a |

30、 = a, 不要与绝对值不要与绝对值 符号相混淆符号相混淆, 一般不使用此符号一般不使用此符号. 43教书育人 0004 0030 0200 1000 例例1: 计算对角行列式计算对角行列式. 0004 0030 0200 1000 解解: 分析分析.展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是, 4321 4321pppp aaaa , 0 1 1 p a 从而这个项为零从而这个项为零, 同理可得同理可得: p2=3, p3=2, p4=1. 所以只能所以只能 p1=4; 若若p1 4, 则则 43211 4321 t .24 即行列式中非零的项为即行列式中非零的项为: (1) t (432

31、1) a14 a23 a32 a41 即即 44教书育人 例例2: 计算计算上三角行列式上三角行列式. 00 0 222 11211 nn n n a aa aaa 解解: 分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是 . 21 21 n nppp aaa 所以非零的项只可能是所以非零的项只可能是: a11 a22 ann . 从最后一行开始讨论非零项从最后一行开始讨论非零项. 显然显然 pn=n, pn1=n1, pn2=n2, , p2=2, p1=1, nn nt aaa 2211 12 1 . 2211nn aaa nn n n a aa aaa 00 0 222 11211

32、即即 45教书育人 8000 6500 1240 4321 D 显然显然 = 1 4 5 8 nnnnnn nnnn aaaa aaa aa a 121 111211 2221 11 0 00 000 . 2211nn aaa 同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式 46教书育人 对角行列式对角行列式 ; 21n n 2 1 n 2 1 ( -1)321) 12 1. n t n n (1 2(1) 12 1 n n .1 21 2 1 n nn 47教书育人 例例5: 设设 nnnn n n aaa aaa aaa D 21 22221 11211 1 nn n n n n n n n n

33、 ababa baaba babaa D 2 2 1 1 2 22221 1 1 1 1211 2 证明证明: D1=D2. 中中b的指数正好是的指数正好是 a的行标与列标的差的行标与列标的差 2 D 48教书育人 证证: 由行列式定义有由行列式定义有 n n n ppp nppp pppt nnnn n n aaa aaa aaa aaa D 21 21 21 21 21 22221 11211 1 1 49教书育人 n n n n ppp pnpp nppp pppt baaa 21 21 21 21 ()2()1 21 1 nn n n n n n n n n ababa baaba b

34、abaa D 2 2 1 1 2 22221 1 1 1 1211 2 n n n n ppp pppn nppp pppt baaa 21 21 21 21 21 21 1 50教书育人 由于由于 p1+ p2+ + pn= 1 + 2 + + n, .1 21 21 21 212 n n n nppp ppp pppt aaaD 所以所以 .1 2211 21 21 21 DaaaD n n n nppp ppp pppt 故故 51教书育人 行列式是一种根据特殊需要而定义的行列式是一种根据特殊需要而定义的特定算式特定算式. n 阶行列式共有阶行列式共有n!项项, 每项都是位于不同行每项都

35、是位于不同行, 不同列的不同列的 n 个元素的乘积个元素的乘积, 正负号由下标排列的逆序数决定正负号由下标排列的逆序数决定. 三、小结三、小结 52教书育人 1211 123 111 211 x x x x xf 已知多项式已知多项式 1211 123 111 211 x x x x xf 求求 x3 的系数的系数. 思考题解答思考题解答 含含 x3 的项有仅两项的项有仅两项, 即即 对应于对应于 = x3+ (2x3) 故故 x3 的系数为的系数为(1). (1)t(1234)a11a22a33a44+ (1)t(1243)a11a22a34a43 53教书育人 一、对换的定义一、对换的定义

36、 1.4 对对 换换 定义定义: 在排列中在排列中, 将任意两个元素对调将任意两个元素对调, 其余元素其余元素 不动不动, 这种作出新排列的手续叫做这种作出新排列的手续叫做对换对换 将相邻两个元素对调将相邻两个元素对调, 叫做叫做相邻对换相邻对换. a1 a2 al a b b1 bm a1 a2 al b a b1 bm a1 a2 al a b1 bm b c1 cn a1 a2 al b b1 bm a c1 cn 例如例如 54教书育人 二、对换与排列奇偶性的关系二、对换与排列奇偶性的关系 定理定理1: 一个排列中的任意两个元素对换一个排列中的任意两个元素对换, 排列改排列改 变奇偶性

37、变奇偶性. 对换对换 a与与b 即除即除 a, b 外外, 其它元素的逆序数不改变其它元素的逆序数不改变. 证明证明: 先考虑相邻对换的情形先考虑相邻对换的情形. a1 a2 al a b b1 bma1 a2 al b a b1 bm 例如例如 因此因此, 相邻对换排列改变奇偶性相邻对换排列改变奇偶性. 当当 ab 时时, 对换后对换后 a 的逆序数不变的逆序数不变, b 的逆序数增加的逆序数增加1; 55教书育人 a1a2alab1bmbc1cna1a2albb1bmac1cn 对一般对换的情形对一般对换的情形, 例如例如 对换对换 a与与b 经过经过m次相邻对换次相邻对换, 排列排列a1

38、a2alab1bmbc1cn对对 换为换为a1a2alabb1bmc1cn,再经过 再经过m+1次相邻对换次相邻对换, 对对 换为换为a1a2albb1bmac1cn, 共经过了共经过了2m+1次相邻对换次相邻对换. 所以所以, 由相邻对换的结果知由相邻对换的结果知: 一个排列中的任意两一个排列中的任意两 个元素对换个元素对换, 排列改变奇偶性排列改变奇偶性. 56教书育人 次相邻对换次相邻对换m nml ccbbabaa 111 次相邻对换次相邻对换1 m nml ccabbbaa 111 111 , lmn abaa bbcc 次相邻对换次相邻对换12 m 111 , lmn aa bbc

39、cba . abnml ccbbbaaa 111 ab ab 对一般对换的情形对一般对换的情形, 例如例如 a1a2alab1bmbc1cna1a2albb1bmac1cn 对换对换 a与与b 57教书育人 推论推论: 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数奇排列调成标准排列的对换次数为奇数, 偶偶 排列调成标准排列的对换次数为偶数排列调成标准排列的对换次数为偶数. 证明证明: 由定理由定理1知知, 对换的次数就是排列奇偶性的对换的次数就是排列奇偶性的 变化次数变化次数,而标准排列是偶排列而标准排列是偶排列(逆序数为逆序数为0), 论成立论成立. 因此因此, 推推 58教书育人 下面讨论下面讨论行

40、列式的另一种定义行列式的另一种定义形式形式. 对于行列式的任一项对于行列式的任一项 ,1 21 21 nji npjpippp t aaaaa 其中其中12ijn为自然排列为自然排列, 其逆序数其逆序数0, t 为列标排列为列标排列 p1p2pipjpn的逆序数的逆序数, ,1 21 21 nij npipjppp t aaaaa 成成与与 ji jpip aa对换元素对换元素 59教书育人 ,1 21 21 nij npipjppp t aaaaa 此时此时, 行标排列行标排列12jin的逆序为奇数的逆序为奇数, 而列标而列标 排列排列p1p2pjpipn的逆序也改变了一次奇偶性的逆序也改变

41、了一次奇偶性. 换后换后行标排列逆序与列标排列逆序之和行标排列逆序与列标排列逆序之和的的奇偶性不变奇偶性不变, 即即t(1jin)+t(p1pjpipn)与与t(p1pipjpn)具具 有相同的奇偶性有相同的奇偶性. 因此因此, 对对 nji npjpippp t aaaaa 21 21 1 故故 60教书育人 一般地一般地, 经过若干次对换行列式的任一项乘积元经过若干次对换行列式的任一项乘积元 素的位置后得到的符号仍为素的位置后得到的符号仍为(1)t. 因此因此, 总可以经过总可以经过 若干次对换行列式的任一项若干次对换行列式的任一项, 得得 ,11 2121 2121 nqqq s npp

42、p t nn aaaaaa 其中其中 s 为行下标排列为行下标排列 q1q2 qn 的逆序数的逆序数. 61教书育人 nqqq s n aaaD 21 21 1 定理定理2: n 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为 其中其中s为行标排列为行标排列q1q2qn的逆序数的逆序数, 并按行标排列求和并按行标排列求和. 定理定理3: n 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为 nnq pqpqp t aaaD 2211 1 其中其中 t 为行标排列为行标排列 p1p2pn与列标排列与列标排列 q1q2qn的逆的逆 序数之和序数之和. 并按行标排列并按行标排列(或列标排列或列标排列)求和求和. 因此因此

43、, 我们可以得到行列式的另一种定义形式我们可以得到行列式的另一种定义形式: 根据以上讨论根据以上讨论, 还可以如下定义还可以如下定义 62教书育人 例例1: 试判断试判断 a14a23a31a42a56a65 和和a32a43a14a51a25a66 是否六阶行列式中的项是否六阶行列式中的项. 解解: a14a23a31a42a56a65的行标为顺序排列的行标为顺序排列, 列标排列列标排列 的逆序数为的逆序数为:t(431265)=0+1+2+2+0+1=6(偶数偶数) 所以所以 a14a23a31a42a56a65是六阶行列式中的项是六阶行列式中的项. 将将a32a43a14a51a25a6

44、6的行标按标准次序排列的行标按标准次序排列, 则其则其 列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为: t (452316) = 0+0+2+2+4+0 = 8 (偶数偶数) 所以所以 a32a43a14a51a25a66 不是六阶行列式中的项不是六阶行列式中的项. 63教书育人 解解: 将将a23a31a42a56a14a65的行标按标准次序排列的行标按标准次序排列, 则则 其列标排列的逆序数为其列标排列的逆序数为: t (431265) = 0+1+2+2+0+1 = 6 (偶数偶数) 所以所以 a23a31a42a56a14a65 的前边应带正号的前边应带正号. 例例2: 在六阶行列式中在六阶行

45、列式中, 下列两项各应带什么符号下列两项各应带什么符号. (1) a23a31a42a56a14a65; (2) a32a43a14a51a66a25 . 64教书育人 项项a32a43a14a51a66a25的行下标与列下标的逆序数之的行下标与列下标的逆序数之 和为和为 t (341562)+t (234165) =(0+0+2+0+0+4)+(0+0+0+3+0+1)= 6+4 = 10 (偶数偶数) 所以所以 a32a43a14a51a66a25的前边应带正号的前边应带正号. 65教书育人 例例3: 用行列式的定义计算用行列式的定义计算 n n Dn 0000 00001 00200 0

46、1000 解解: 由于行列式由于行列式Dn每行每列中仅有一个非零元素每行每列中仅有一个非零元素, 所所 以以 Dn =(1)t a1 n-1 a2 n-2 an-1 1 an n Dn = (1)t 12(n1)n = (1)t n!即即 而而t = t (n1)(n2)21 n = 0+1+2+ +(n3)+(n2)+0 = (n1)(n2)/2 !.1 2 21 nD nn n 所以所以 66教书育人 三、小结三、小结 1. 对换排列中的任意两个元素对换排列中的任意两个元素, 排列改变奇偶性排列改变奇偶性. 2. 行列式的三种定义方法行列式的三种定义方法: nqqq s n aaaD 21

47、 21 1 nnq pqpqp r aaaD 2211 1 n nppp t aaaD 21 21 1 其中其中 r 为行标排列为行标排列 p1p2pn与列标排列与列标排列 q1q2qn的逆的逆 序数之和序数之和. 并按行标排列并按行标排列(或列标排列或列标排列)求和求和. 67教书育人 思考题思考题 证明在全部证明在全部 n 阶排列中阶排列中(n 2), 奇偶排列各占一半奇偶排列各占一半. 思考题解答思考题解答 证证: 设在全部设在全部 n阶排列中有阶排列中有s个奇排列个奇排列, t 个偶排列个偶排列, 则则 s + t = n！现来证！现来证 s = t . 若若将所有将所有 s个奇排列的

48、前两个数作对换个奇排列的前两个数作对换, 则这则这 s 个个 奇排列全变成偶排列奇排列全变成偶排列, 故必有故必有s = t = 若若将所有将所有 t 个偶排列的前两个数作对换个偶排列的前两个数作对换, 则这则这 t 个个 偶排列全变成奇排列偶排列全变成奇排列, 如此产生的如此产生的 s 个偶排列不会超个偶排列不会超 过所有的过所有的 s 个奇排列个奇排列, 所以所以 t s . 过所有的过所有的 t 个偶排列个偶排列, 所以所以 s t . 如此产生的如此产生的 t 个奇排列不会超个奇排列不会超 2 !n 68教书育人 1.5 行列式的性质行列式的性质 一、行列式的性质一、行列式的性质 行列

49、式行列式DT称为行列式称为行列式D的的转置行列式转置行列式. nn a a a 22 11 n n a aa 2 112 21 21 nn aa a D 2 121 n n a aa nn aa a 21 12 nn T a a a D 22 11 记记 将将D的行列互换就得到的行列互换就得到 T D 69教书育人 证明证明: 记行列式记行列式 D=det(aij) 的转置行列式为的转置行列式为: 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等, 即即DT = D. , 21 22221 11211 nnnn n n T bbb bbb bbb D 按定义按定义 .11 2121 212

50、1 nppp t nppp tT nn aaabbbD 即即 bij=aji ( i, j=1, 2, , n), 70教书育人 .1 21 21 nppp t n aaaD 又由行列式的另一种表示得又由行列式的另一种表示得, 所以所以, DT = D, 结论成立结论成立 说明说明: 性质性质1行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位, 因此因此 行列式的性质凡是对行成立的结论行列式的性质凡是对行成立的结论, 对列也同样成立对列也同样成立. 71教书育人 互换行列式的两行互换行列式的两行(列列), 行列式变号行列式变号. 设行列式设行列式 , 21 22221 11211 nn

51、nn n n bbb bbb bbb nnninjn pnpipjp nij aaaa aaaa aaaa D 1 1 11111 1 72教书育人 nnnjnin pnpjpip nji aaaa aaaa aaaa D 1 1 11111 是由行列式是由行列式 互换互换 i, j (i j 时，时，0, ij a 则称则称 A 为为上三角矩阵上三角矩阵. 若当若当 ij 时时 205教书育人 1 12 2ijijijinnj ca ba ba b 1 1 i ikkj k a b n ikkj k i a b 0 ik a 0 kj b 0. 即即 C为上三角矩阵为上三角矩阵. 206教书

52、育人 定义定义设设 A 是是 n 阶方阵，阶方阵，k 个个 A 的连乘积称为的连乘积称为 A 的的 k 次幂，记作次幂，记作, k A 即即 k k AAAA 个 当当 m，k 为正整数时，有为正整数时，有 mkm+k A AA() mkmk AA 当当AB不可交换时，一般不可交换时，一般() kkk ABA B 当当AB可交换时，可交换时，( ) kkkkk ABA BB A 207教书育人 定义定义 设设( ) 1 110 kk kk f xa xaxa xa 是是 x 的的 k 次多项式，次多项式，A 是是 n 阶方阵，则称阶方阵，则称 ( ) 1 110 kk kk f Aa AaAa

53、 Aa E 为方阵为方阵 A 的的 n 次多项式次多项式. 208教书育人 若若 f(x)，g(x) 为多项式，为多项式，A、B为为 n 阶方阵，则阶方阵，则 f(A) g(A) = g(A) f(A) 当当 AB 不可交换时，一般不可交换时，一般 f(A) g(B) = g(B) f(A) 209教书育人 特别当矩阵为对角阵特别当矩阵为对角阵 =diag( 1, 2, n ) 时时, 则则 f( )=a0E + a1 +ak k, 1 2 01 1 2 1 1 1 n k k k k n aa a 210教书育人 1 2 () () . () n f f f 211教书育人 方阵方阵A的多项

54、式可以类似一般多项式一样相乘或分的多项式可以类似一般多项式一样相乘或分 解因式解因式. 例如例如 (E + A)(2 E A) = 2 E + A A2, (E A)3 = E 3A + 3A2 A3. 因为单位矩阵因为单位矩阵 E 与任意同阶方阵可交换，所以有与任意同阶方阵可交换，所以有 1122211 () n nnnnnn nnn AkE AC kAC k ACkAk E 212教书育人 解解: 00 10 01 00 10 01 2 A . 00 20 12 2 2 2 ., 00 10 01 k AA求求设设 例例4: 00 10 01 00 20 12 2 2 2 23 AAA 3

55、 23 23 00 30 33 213教书育人 由此归纳出由此归纳出 2 00 0 2 1 1 21 kk kk k A k kk kkk k 214教书育人 用数学归纳法证明用数学归纳法证明. 当当k=2时时, 显然成立显然成立. 假设假设, 当当k=n时结论成立时结论成立, 对对 k=n+1时时, 00 10 01 00 0 2 1 1 21 1 n nn nnn nn n nn n AAA 215教书育人 1 1 11 00 10 2 1 1 n nn nnn n nn n 所以对于任意的所以对于任意的 k 都有都有: . 00 0 2 1 1 21 k kk kkk k k kk k

56、A 也可利用二项式也可利用二项式 定理展开计算定理展开计算. 216教书育人 10100010 01010001 00001000 AEB 记记 于是于是 () nn AEB 11222333nnnnnn nnnn ECBCBCBC B 注意到：注意到： 2 010010 001001 000000 B 001 000 000 217教书育人 3 010010010 001001001 000000000 B 001010 000001 000000 000 000 000 即当即当 3n 时，时， n BO 所以所以 218教书育人 () nn AEB 11222nnn nn ECBCB 1

57、122 100010001 010001000 001000000 nnn nn CC 1122 11 0 00 nnn nn nn n n CC C 219教书育人 四、矩阵的转置四、矩阵的转置 定义定义: 把矩阵把矩阵A 的行列互换的行列互换, 所得到的新矩阵所得到的新矩阵, 叫叫 做做矩阵矩阵A 的转置矩阵的转置矩阵, 记作记作AT. 例如例如: , 854 221 A ; 82 52 41 T A .618 T B, 6 18 B 220教书育人 (1) (AT)T = A; (2) (A+B)T = AT + BT; (3) ( A)T = AT; (4) (AB)T = BTAT;

58、 转置矩阵的运算性质转置矩阵的运算性质 一般地一般地 1211 ()T TTT kkk A AAA AA 221教书育人 证明（证明（4） 设设 (),(),(), ijm sijs nijm n AaBbABCc () TT ijn m B ADd 首先容易看到首先容易看到()TAB与与 TT B A 为同型矩阵为同型矩阵. 因为因为 1 , s ijikkj k ca b 所以所以()TAB的第的第 i 行第行第 j 列列 的元素为的元素为 1 , s jijkki k ca b 222教书育人 又因为又因为 T B 中第中第 i 行的元素为行的元素为 B 中第中第 i 列的元素列的元素

59、12 , iisi bbb T A 中第中第 j 列的元素为列的元素为 A 中第中第 j 行的元素行的元素 12 , jjjs aaa 于是于是 TT B A 的第的第 i 行第行第 j 列元素为列元素为 1122ijijsijs b ab ab a 1 s jkki k a b 故故()T TT ABB A 223教书育人 解法解法1: 因为因为 102 324 171 231 102 AB , 101317 3140 . 103 1314 170 T AB 例例5: 已知已知, 102 324 171 , 231 102 BA求求(AB)T. 所以所以 解法解法2: 21 30 12 13

60、1 027 241 . 103 1314 170 (AB)T=BTAT 224教书育人 例例6：设设() ijn n Aa （1） 2 A 的第的第 i 行第行第 j 列的元素为列的元素为 （2） T AA 的第的第 i 行第行第 j 列的元素为列的元素为 （3） T A A的第 的第 i 行第行第 j 列的元素为列的元素为 1 n ikkj k a a 1 n ikjk k a a 1 n kikj k a a 225教书育人 设设A = ( aij )为为 n 阶方阵阶方阵, 对任意对任意 i, j, 如果如果aij = aji 都成立都成立, 则称则称A为为; 如果如果aij = aji