40.利用三角形的一个面积公式.巧解一类高考试题

1、 高考数学母题规划,助你考入清华北大！杨培明(电话数学丛书,给您一个智慧的人生！高考数学母题 母题(一-40):利用三角形的一个面积公式.巧解一类高考试题(740) 0087 利用三角形的一个面积公式.巧解一类高考试题 母题(一-40):(人教版数学.必修5习题1.2.b组1题(p24)证明三角形的面积公式:sabc=a2.解析:由正弦定理知:b=,c=abc的面积sabc=bcsina=sina=a2.点评:同理可得:sabc=a2=b2=c2;该公式证明简单,便于掌握;该公式结构对称,利于记忆;利用该公式,可巧解一类高考试题. 子题(1):(2005年湖北高考试题

2、)在abc中,己知tanb=,cosc=,ac=3,求abc的面积.解析:由tanb=,cosc=sinb=,cosb=,sinc=sina=sin(b+c)=sinbcosc+cosbsinc=+sabc=acsinb=sinb=b2=6+8. 注:该公式的实质是:在三角形中,己知一边和两内角的三角形面积公式,在解答题中,使用该公式需推证. 子题(2):(2009年安徽高考试题)(理)在abc中,sin(c-a)=1,sinb=.()求sina的值;()设ac=,求abc的面积.解析:在abc中,c-a(-,),所以,sin(c-a)=1c-a=;()由2a=-b(0a)cos2a=cos(

3、-b)1-2sin2a=sinbsina=;()由cosa=sinc=cosa=sabc=b2=3. 注:使用该公式的关键是由已知条件推出三内角的正弦值;包装三内角的正弦值是命制该类题型的常用方法. 子题(3):(2009年江西高考试题)在abc中,角a、b、c所对的边长分别为a、b、c,tanc=,sin(b-a)=cosc.()求a,c;()若sabc=3+,求a,c.解析:()由tanc=sinccosa-coscsina=coscsinb-sinccosbsin(c-a)=sin(b-c)c-a=b-c或c-a=-(b-c)a+b=2c或b-a=(不成立)c=,a+b=;又由sin(b

4、-a)=cosc=b-a=b=,a=;()由sabc=a2=3+a=2,同理可得:c=2. 注:已知三角形的二内角和三角形的面积,利用该面积公式,可快速求出三角形的三边长. 子题系列:1.(2009年北京高考试题)在abc中,内角a、b、c所对的边长分别为a、b、c,b=,cosa=,b=.()求sinc的值; 0088 母题(一-40):利用三角形的一个面积公式.巧解一类高考试题(740) ()求abc的面积.2.(2007年上海高考试题)在abc中,a,b,c分别是三个内角a,b,c的对边,若a=2,c=,cos=,求abc的面积.3.(2008年全国高考试题)(文)在abc中,cosa=

5、-,cosb=.()求sinc的值;()设bc=5,求abc的面积.4.(2008年全国i高考试题)(理)在abc中,cosb=-,cosc=.()求sina;()设abc的面积sabc=,求bc的长.5.(2014年山东高考试题)在abc中,角a,b,c所对的边分别是a,b,c.已知a=3,cosa=,b=a+.()求b的值;()求abc的面积.6.(2012年浙江高考试题)在abc中,内角a,b,c的对边分别为a,b,c.已知cosa=.sinb=cosc.()求tanc的值;()若a=,求abc的面积.7.(2014年浙江高考试题)(理)在abc中,内角a,b,c所对的边分别为a,b,c

6、.已知ab,c=,cos2a-cos2b=sinacosa-sinbcosb.()求角c的大小;()若sina=,求abc的面积.8.(2012年江西高考试题)在abc中,角a,b,c的对边分别为a,b,c,已知a=,bsin(+c)-csin(+b)=a.()求证:b-c=;()若a=,求abc的面积. 子题详解:1.解:()由cosa=sina=sinc=sin(a+)=;()sabc=b2=.2.解:由cos=cosb=sinb=sina=sin(b+)=sabc=a2=.3.解:()由cosa=-,cosb=sina=,sinb=sinc=;()由sabc=a2=.4.解:()由cos

7、b=-,cosc=sinb=,sinc=sina=;()由sabc=a2=a=.5.解:()由cosa=sina=sinb=cosa=b=3;()sabc=.6.解:()由cosa=sina=;又由cosc=sinb=sin(a+c)=sinacosc+cosasinc=cosc+sinctanc=;()由tanc=sinc=,cosc=sinb=sabc=a2=.7.解:()由已知得:(1+cos2a)-(1+cos2b)=sin2a-sin2bsin2a-cos2a=sin2b-cos2bsin(2a-)=sin(2b-)(abab)(2a-)+(2b-)=a+b=c=;()由a=c=ca

8、ccosa=sinb=sin(a+c)=sinacosc+cosasinc=sabc=acsinb=.8.解:()由sinb(sinc+cosc)-sinc(sinb+cosb)=sin(b-c)=1b-c=;()sabc=a2=.(2013年重庆高考试题)在abc中,内角a,b,c的对边分别为a,b,c,且a2=b2+c2+bc.()求a;()设a=,s为abc的面积,求s+3cosbcosc的最大值,并指出此时b的值.解析:()由a2=b2+c2+bccosa=-a=;()由s=a2 =3sinbsincs+3cosbcosc=3cos(b-c)当b=c,即b=时,s+3cosbcosc取最大值3.(2010年武汉大学自主招生数学试题)已知向量p=(sina,cosa),q=(cosb,sinb),且pq=sin2c,其中a、b、c分别为abc的三边a、b、c所对的角.()求角c的大小;()证明:pq=sin2c的充分必要条件是sec2c+tan2c=-2;()已知a=750,c=(cm),求abc的面积.解析:()pq=sin2csinacosb+cosasinb=sin2csin(a+b)=sin2csinc=2sinccosccosc=c=600;()sec2c+tan2c=-2+=-21+sin2c