数值计算方法试题集及答案

1、数值计算方法复习试题一、填空题:1、答案:4-10A =一14-10-14_,则人的2分解为1-4-10-1/4115/4-1.0-4/15 1J56/15_A =3、/=-1, f=2, /（3） = 1 ,则过这三点的二次插值多项式中F的系数为，拉格朗日插值多项式为答案：4,4、近似值x* =0.231关于真值x = 0.229有（2 ）位有效数字;5、设/（X）可微，求方程兀=fM的牛顿迭代格式是（）；答案，+1心-心）1一广（）6、对/（）= + x + 1，差商 /0,1,2,3 =（10,1,2,3,4 =（q ）.7、计算方法主要研究（截断）误差和（舍入）误差；8、用二分法求非线

2、性方程f （x）=0在区间（a,b）内的根时，二分n次后的误差限为 h-a诃 ）;10、已知f=2, f（2） = 3, f（4） = 5.9,则二次Newton插值多项式中x2系数为 （0.15）；11. 解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为（A的各阶顺序主子式均不为零）。_）n346y = 10 H1 _12、为了使计算-I U-1）- （x-1）的乘除法次数尽量地少，应将该表必獰为步16y = 10+(3+(4 6/)r)/, / =达式改写为x-1_,为了减少舍入误差，应将表达式2V2001 -V1999 改写为 /20该迭代格式的迭代矩阵的谱半径q(m)=_E_。15

3、、设 /()= J(1)= ,/= 46,则 /心)=_/a)= 一班尤一2)_, /(a)的二次牛顿插值多项式为 弘(劝=16x +7x(1)。16、求积公式/(A)d2A/(XA)的代数精度以(高斯型)求积公式为最高，具有(2/2 + 1)次代数精度。21、如果用二分法求方程F+X-4 = 在区间1,2内的根精确到三位小数，需对分(10)次。0%1S(x)=丄(x l)3 +a(x l)2 + 以x l) + c lx32是三次样条函数，则=(3), b= (3人 c= (123、/()(x)2 时工(理+3儿(力=42 jt-o( x +x +3)。24、25、区间匕切上的三次样条插值函

4、数S(x)在。,切上具有直到2阶的连续导数。26、改变函数fM = 4my(乳1 )的形式，使计算结果较精确/W=V7TT+V7.27、若用二分法求方程/W = 在区间1,2内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分 次。1628 、 写岀求解方程组 旷1 =1一1.6疳上=0屮=2 + 0.4严，迭代矩阵为.54%! +1 .6x2 = 1-+ V - 2 的 Gauss-Seidel 迭代公式0 -1.6,0 -0.64，此迭代法是否收敛收敛0A31、设32、设矩阵33、若/(兀)=3兀4+ 2兀 + 1,则差商 /2,4,8,16,32=34、线性方程组的最小二乘解为36、设矩阵二、单项选

5、择题:分解为A = LU 9则2 =1、Jacobi迭代法解方程组Ax=b的必要条件是（A. A的各阶顺序主子式不为零C.ciu h 0J = 12,2、设一31-7，则。（小为（)A.B. 5C.112T2|T.）。B. 0(A) 0(B)/(x0)/z(x) 0(C) 0(D) /(x0)/V) 019、为求方程x3-x2-l=0在区间1.3,1.6内的一个根，把方程改写成下列形式, 并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A )。A2 = ,迭代公式:和=(A)21J忑_x = 1 + 丄，迭代公式：忑+1 = 1 + 丄(B)vx(qX? =1 +十,迭代公式：xk+l =(1 +屛

6、)心2X3 一1 = %迭代公式：耳+ =1+(D)x：+h+121、解方程组Ax = b的简单迭代格式严 =BUg收敛的充要条件是()。(1) 0(A) 1,(4)Q(B)123、有下列数詔X00.511.522.5f(x)-2-1.750.2524.25所确左的宙值多项式的次数是()o(1)二次; (2)三次： (3)四次： (4)五次25、取血21732讣算x =，下列方法中哪种最好？()16 1628 16-73 .23). (4+ 2/3) :()(/3 +1)4 o27、由下列数念进行Newton插值:所确左的插值多项式禹最髙次数是()11.522.533.5/(曲)-10.52.

7、55.08.011.5(A)5；(B)4；(C) 3：(D) 2。29、计算血的Newton迭代格式为()16(A)xk 3Xi. | = +人2? Y(B)Zxk 2(C)仏产亍+ *(D)30、用二分法求方程x+4x2-10 = 0在区间【1，2内的实根，要求误差限为 2,则对分次数至少为（）（A）10；（B）12；（C）&（D）9_ _壬灿伙）=32、设厶（X）是以 =鸟伙=0,1,9）为节点的Lagrange插值基函数，贝IJ（）（A）（B） k ；（C） i :（D） lo35、已知方程x?-2x-5 = 0在x = 2附近有根，下列迭代格式中在xo = 2不收敛的是（2工；+5(A

8、)+产 V2x* +5; (B)Y 叫；(C)X=xkxk 5 .(D)36、由下列数据X01234/(X)1243-5确左的唯一插值多项式的次数为（）（A）4：（B）2：（C）l；（D）3o三、是非题（认为正确的在后面的括弧中打,否则打）1、已知观察值（引力）（山02,，加），用最小二乘法求n次拟合多项式“（X）时，Pn（x）的次数门可以任意取。2、用1-T近似表示cosx产生舍入误差。（兀一必）（兀一勺）3、（-勺）（“ -勺）表示在节点Xi的二次（拉格朗日）插值基函数。（）4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。( )31-2535、矩阵加 12具有

9、严格对角占优。四、计算题：4%j + 2x2 + x3 = 11v % + 4x2 + 2x3 = 181、用高斯-塞德尔方法解方程组2坷+心+5心=22，取八=（0,0,0）/，迭代 四次（要求按五位有效数字计算）。16答案：迭代格式屮+1)Al兀严=*（18 “严_2屮） 兄申=*（22-2龙;z-x严）kV?严000012.75003.81252.537520.209383.17893.680530.240432.59973.183940.504202.48203.70192、已知1345f(xi2654分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求/（X）的三次插值多项式并求 /（2）的近似值（保

10、留四位小数）。T 彳、o（x-3）（x-4）（x-5）（x-l）（x-4）（x-5）M（x） = 2+ 6答案：（1 一 3）（1 - 4）（1 一 5）（3 一 1）（3 一 4）（3 一 5）+ 5 (x_ l)(x_3)(x_5) + 4 (x-l)(x-3)(x-4)(4 一 1)(4 3)(4 5)(5 -1)(5 - 3)(5 - 4)差商表为兀y.一阶均差二阶均差三阶均 差1236245-1-154-101/416E(x)= N3(x) = 2 + 2(x l)-a l)(x 3) + 1(x l)(x 3)(x 4) 4/M55、已知21012/(兀)42135求/(X)的二次

11、拟合曲线几(切，并求广()的近似值。答案：解:1y.220244-816-816121-11-22201000003131113342548161020015100343415g()+ IO4 = 1510t/| = 3正规方程组为10+34=41103114 =心=711014PiM10311 .=+ X + JC71014Pi(X)=311+ x1073广(0)up；(0) =百6、已知sinx |x间04 0.8的函数表0.40.50.60.70.80389420.717360.479430.564640.64422如用二次插值求sinO.63891的近似值，如何选择节点才能使误差最小？

12、并求该近似值。答案：解：应选三个节点，使误差16l/?2(x) IS 哼 I I3!尽量小，即应使尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点0.5,0.6,0.7最好，实际计算结果Sin 0.638910.596274,且Sin 0.63891 -0.59627411(0.63891 -0.5)(0.63891 -9 - 0.6)(0.63891 -0.7)|3! 0.55032 x 1047、构造求解方程丁+102 = 0的根的迭代格式冷+严0久 = 0,1,2,，讨论其收敛性，并将根求出来，必+】-心1107。答案：解：令 /(x) = eA+10x-2, /(0) = -20且

13、/V) = eA+100对VxG(-co, + co)f故f(x) = 0在(0j)内有唯一实根将方程 f(x) = 变形为x = (2-ex)10则当xw(Ql)时恥)=令2一旳，0。)話吒1故迭代格式x“+i = (2-eA,1)收敛。取Ao = 0 5 ,计算结果列表如下：n01230.035 1270.096 4240.089 877X尬0.5872785325n456716X0.090 595w9930.090 5173400.090 5259500.090 525008且满足 I 乃一心広 000 95 V 10所以 x* a 0.090 525 008Xi + 2x2 +3x3

14、= 14v 2X + 5x2 + 2x3 = 18 &利用矩阵的少分解法解方程组3x1+x2+5x3 = 20o 11 23A = LU =2 11-4答案：解：3 -5 1-24令=方得丿=（14,-10,-72）r, Ux = yx = （1,2,3卩3%j + 2x2 +10x3 = 15 1 OX -4x2 一 x3= 59、对方程组2坷+10七-4兀3=8（1）试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由；（2）取初值*“=（0,0,0V,利用（1）中建立的迭代公式求解，要求|x（/；+i）_x（*）|oo10-3o解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优10“ 一4七一心=5

15、 2xl + 10x2 一 4兀3 = 83“ + 2x2 + IO = 15故对应的高斯一塞徳尔迭代法收敛迭代格式为即小=丄（4理）41 102才+5)护=丄(_2旷1)4- 10 14址)+8)芒+i）=丄（_3屮旳2谱E+ 15)取“(0)=(0,00)7 ”经7步迭代可得： a兀=(0.999 991 459,0.999 950 326 J.000 010”10、已知下列实验数据16Xi1.361.952.16fM16.84417.37818.435试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。解：当0xl时，/0)=7，则|厂(绷3,且卜&有一位整数.要求近似值有5位有效数字，只须误差卜

16、O1111附)(/)卜卷少|厂()|只要即可,解得= 67.308力所以=68,因此至少需将0,1 68等份。11.用列主元素消元法求解方程组一41 -15 -42 1-12解:2 1111 .21111 _5-43-125-43-120128013179555TT5T0131790128T5T55553-12一41-1153-12-41 匚_斤 -52心213791313J回代得1612、取节点心=0,山=：0.5宀求函数f (x) = eA在区间0川上的二次插值多项式巴(并佔讣误差。解:_1 (x 0)(x 0.5)+ e x-(1一0)(1-05) =2(x - 0.5)(x -1) -

17、 W(x-1) + 2elx(x - 0.5)fW = er(x) = max I fn(x)匕 1又.ve|0,lIR.(x) 1=1 eTx 一P2(x)l Ix(x-0.5)(x-l)l 故截断误差 引15、用牛顿(切线)法求盯的近似值。取xo=1.7?计算三次，保留五位小数。 解：盯是/(%) =，-3 = 0的正根，ffM = 2xy牛顿迭代公式为兀；3+1 = _ 一x“+i = + - ( = 0丄2,)2心,即2 2xn取x0=1.7/列表如下:n123xn1.732351.732051.7320516、已知/(-1)=2, /(1)=3, /(2)=-4,求拉格朗日插值多项式

18、乙及/5)的近似值, 取五位小数。解严込吕寻科嚮捋*卅/(1.5)L2(1.5) =”41673051 -31X2一 1J 14丿宀丿严丿18、用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组取2=(0。0几列表计算三次,保留三位小数。 解：Gauss-Seidel迭代格式为:16”汗+l)- 兀-卍）+5）3兀2-叶-1)X3-丄（晔+】）+垮+1）-8)4301 -3 系数矩阵U T11严格对角占优，故Gauss-Seidel迭代收敛.取x（o）=（000）T,列表计算如下:k屮V；11.6670.889-2.19522.3980.867-2.38332.4610.359-2.52620、（

19、8分）用最小二乘法求形如y = +加的经验公式拟合以下数据:1925303819.032.349.073.3解： = spantx2 t 1192解方程组其中1 1 1252312382_AC = Ary43391 3391 3529603=19.0 32.3 49.0 73.3173.6179980.70.92555770.0501025C =解得：22、（15分）方程/一兀一1 = 在X = l5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）所以 d = 0.9255577. b = 0.0501025 牙=+ _Lv=畅门对应迭代格式&+I = 技 +1 : （2对应迭代格式X = F -

20、 1对应迭代格式A- = 一 1。判断迭代格式在=1-5的收敛性，选一种收敛格式计算 x = 1.5附近的根，精确到小数点后第三位。1 -2解：0心尹，0（1斗。咲1,故收敛：:(3)16选择(1)：兀=15,=1.3572 x2 =1.3309 勺=1.3259%4 =1.3249花=132476, x6 =1.3247243_ 24 _4 =34-1f =30-14.9一 2423、（8分）已知方程组AX = f ,其中（1）列岀Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。（2）求岀Jacobi迭代矩阵的谱半径。解:Jacobi迭代法:兀严)=土(24_3甥)=1(30-

21、3+)x!*+,)=丄(一24 +沪)4R = 0丄2,3,Gauss-Seidel 迭代法:垮+“ =丄(24-3卅)4垮+” =土(30-3岸旳+斗)如 =_24 + x；z)k=0丄2,3,0Bj =-D-*(L + (/)= -%0-%。0 % 0乎)56932、（12分）以100,121,144为插值节点，用插值法计算皿的近似值，并利用余项估计误差。 用Newton插值方法：差分表：=10.7227555110000.047611190-0.000094112110.04347361183442Q 10+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)16R =(115-100X115-121X115-1441 3 二-100 2 xl5x6x290.001636833、(10分)用Gauss列主元消去法解方程组:%! + 4x2 + 2x3 = 2401.414212.82843、00.81650 7最小二乘解：(-1.33333,2.00000)