数列知识点总结及题型归纳

1、数列例：1.已知等差数列A 15 B an 中， 30 C 31 Da7 a9 16，a4 1，则 a12 等于（）64一、数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作an ，在数列第一个位置的项叫第 1 项（或首项），在第二个位置的叫第 2 项，序号为 n 的项叫第 n 项（也叫通项）记作 an ； 数列的一般形式： a1，a2， a3 ， an ，简记作 an 。2.an 是首项a1 1 ，公差 d3的等差数列，如果 an 2005 ，则序号 n等于A)667B)668C)669D)670等差数列 an 2n 1,bn2n 1，则 an

2、为（2）通项公式的定义：如果数列 an的第n项与 n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式 就叫这个数列的通项公式。3.或“递减数列” ） （ 三 ） 、等差中项的概念：bn 为定义：如果 a， A ， b成等差数列，那么 A叫做 a与b的等差中项。例如：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，1，1 ，1 ，1 ，11， ， ， ， 2345a，填“递增数列”其中 A a b2说明： an 表示数列， an 表示数列中的第 n 项， an = f n 表示数列的通项公式； n 1,n 2k 1 an = （ 1） =n 1,n 2k 1.41 ， 1.414 ， 同一个数列的通项公式的形式不一定唯

3、一。例如，不是每个数列都有通项公式。例如， 1，1.4 ，3）数列的函数特征与图象表示：从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集例：1abA， b 成等差数列 A 即： 2an 1 an an 2206 全国 I ）设 an 是公差为正数的等差数列，若 a1 a2 a3 15，a1a2a3 80 ，则 a11 a12 a13 （）2anan man m )(k Z) ；A（四）、1）2）N （或它的有限子集）的函数 f （n） 当自变量 n 从 13）开始依次取值时对应的一系列函数值 f （1）, f （2）, f （3）, ， f （n） ，通常用 an来代替 f n ，其图象是一群孤立点

4、4）120 B 105等差数列的性质： 在等差数列在等差数列在等差数列在等差数列C 90 75an 中，从第 2 项起，每一项是它相邻二项的等差中项； an 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；an 中，对任意 m ，an 中，若 m，n ，p，N ， an am (n m)d ，an amd n m (m n) ；nmq N 且m n p q ，则 am an ap aq；（4）数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小 关系分：递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ （1）1，2，3，4，

5、5，6，（2）10, 9, 8, 7, 6, 5,（3） 1, 0, 1, 0, 1, 0,（4）a, a, a, a, a,（五） 、等差数列的前n 和的求和公式：Snn(a1 an)2na1 n(n 1)d 1n21 2 2(a1 d )n。2Sn An2 Bn( A, B为常数 )an 是等差数列anS1(n 1)Sn Sn 1(n 2)5）数列 an的前n项和Sn与通项 a n的关系：二、等差数列（ 一） 、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示。用递推公式表示

6、为an an 1 d(n 2)或 an1 an d(n 1)例：等差数列 an 2n 1 ， an an 1（ 二 ） 、等差数列的通项公式： an a1 （n 1）d ；说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性： d 0 为递增数列， d 0 为常数列， d 0 为递减数列。递推公式： Sn （a1 an）n （am an （m 1）n n 2 2例： 1. 如果等差数列 an 中， a3 a4 a5 12 ，那么 a1 a2 . a7A）14（B）21（C）28（ D）352. （2009湖南卷文）设 Sn是等差数列 an 的前 n项和，已知 a2 3，a6 11，则 S7等于（

7、）A 13B35C49D 633. （2009 全国卷理） 设等差数列 an 的前 n项和为 Sn，若 S9 72,则 a2 a4 a9=4. 若一个等差数列前 3项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和为 390，则这个数列有（）A.13 项 B.12 项 C.11 项 D.10 项5. 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 S12 21，则 a2 a5 a8 a116.2009 全国卷理）设等差数列an 的前 n 项和为 Sn，若 a5 5a3 则 S9 S57.已知 an 数列是等差数列，a1010 ，其前 10 项的和 S10 70 ，则其公差d 等于 (

8、)A 3B 13C.D. 2中项法：2an 1 an an 2 （ n N ）an 是等差数列通项公式法：an kn b （k,b为常数 ）an 是等差数列前 n 项和公式法：Sn An2 Bn （A,B为常数 ）an 是等差数列A. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断已知数列 an 的通项为 an2n 5 ，则数列 an 为 （ ）A. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断已知一个数列an 的前 n 项和 sn2n2 4，则数列 an 为（）A. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断已知一个数列an 的前

9、n 项和 sn22n2，则数列 an 为（）A. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断已知一个数列an 满足 an 2 2an 1 an 0 ，则数列 an 为（）A. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断数列 an 满足 a1=8， a42，且an 2 2an 1 an 0 ( nN）2.3.4.5.6.例： 1.已知数列 an 满足an an 1 2，则数列 an为 （ ）求数列 an 的通项公式；7（ 01天津理， 2）设 Sn是数列 an的前 n项和，且 Sn=n2，则an是（）A. 等比数列，但不是等差数列B. 等差数列，但不是

10、等比数列C. 等差数列，而且也是等比数列D. 既非等比数列又非等差数列（九）. 数列最值（1）a1 0，d 0时， Sn有最大值； a1 0，d 0时， Sn有最小值；2（ 2 ） Sn 最值的求法：若已知 Sn ， Sn 的最值可求二次函数 Sn an bn 的最值；可用二次函数最值的求法（5（06 全国 II ）设 Sn是等差数列 an的前n 项和，SS63 31 ，则n N ）；或者求出an 中的正、负分界项，即：若已知 an ，则 Sn最值时 n 的值（ n N ）可如下确定aann1 00或 aann1 00ABD10（ 八 ） 判断或证明一个数列是等差数列的方法：定义法：例： 1等

11、差数列 an 中， a1 0，S9 S12 ，则前项的和最大。2 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，已知8. （2009 陕西卷文）设等差数列an 的前 n项和为 sn, 若a6 s3 12,则 anS 9（00 全国）设 an为等差数列， Sn为数列 an的前 n 项和，已知 S77，S1575，Tn为数列 n n 的前 n 项和，求 Tn。（六）. 对于一个等差数列：（1）若项数为偶数，设共有 2n项，则 S偶 S奇 nd ； S奇 an ； S偶 an 1S奇n（2）若项数为奇数，设共有 2n 1项，则 S奇 S偶 an a中 ； 奇 。S偶 n 11. 一个等差数列共 2011

12、 项，求它的奇数项和与偶数项和之比 2. 一个等差数列前 20 项和为 75，其中奇数项和与偶数项和之比1：2，求公差 d3. 一个等差数列共有 10 项，其偶数项之和是 15，奇数项之和是 25，则它的首项与公差分别是 2 （七）. 对与一个等差数列， Sn,S2n Sn,S3n S2n仍成等差数列。 例： 1. 等差数列 an 的前 m项和为 30，前 2m项和为 100，则它的前 3m项和为（）A.130 B.170 C.210 D.2602. 一个等差数列前 n 项的和为 48，前 2n 项的和为 60，则前 3n 项的和为。3已知等差数列 an 的前 10 项和为 100，前 100

13、 项和为 10 ，则前 110 项和为4.设Sn为等差数列 an 的前n项和， S4 14， S10 S7 30，则S9 =an 1 an d （常数）（ n N ） an 是等差数列a3 12， S12 0，S13 0求出公差 d 的范围，指出 S1，S2， ，S12 中哪一个值最大，并说明理由。3（ 02 上海）设 an（nN*）是等差数列， Sn是其前 n 项的和，且 S5S8，则下列结论错误的是（ ）A.dS5D.S6与 S7均为 Sn的最大值4已知数列an 的通项 n 98 （ n N ），则数列 an n 99的前 30 项中最大项和最小项分别是5. 已知 an是等差数列，其中 a

14、1 31 ，公差 d 8。1）数列 an 从哪一项开始小于 0？2）求数列 an 前n项和的最大值，并求出对应n的值三、等比数列等比数列定义一般地， 如果一个数列从第二项起 ，每一项与它的前一项的比等于同一个常数 ，那么这个数列就叫做等比 数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母 q表示（q 0），即： an1：an q（q 0）（ 一 ） 、递推关系与通项公式递推关系： an 1 anq通项公式： an a1 qn 1推广：an am qn m1 在等比数列 an 中, a1 4,q 2，则 an2 在等比数列 an 中, a7 12,q 3 2, 则a19 .3. （07重庆文）在

15、等比数列 an中， a2 8， a164，则公比 q 为（ ）（A）2（ B）3（C）4（D）84.在等比数列 an 中， a22，a5 54，则 a8 =（ 十 ）. 利用 anS1（n 1） 求通项nSn Sn 1 （n 2）21.数列an的前 n项和 Sn n2 1（1）试写出数列的前 5项；（2）数列 an是等差数列吗？（ 3）你能写出 数列an 的通项公式吗？22.设数列 an的前 n项和为 Sn=2n ，求数列 an 的通项公式；23. （2010安徽文）设数列 an的前 n项和Sn n2，则a8的值为（ ）5. 在各项都为正数的等比数列 an 中，首项 a1 3，前三项和为 21

16、，则 a3 a4 a5 （ ）A 33 B 72 C 84 D 189（二） 、等比中项：若三个数 a, b, c成等比数列，则称 b为a与c的等比中项，且为 bac，注： b2 ac是成等比数列的必要而不充分条件 .例：1. 2 3和2 3的等比中项为 （ ）（A）1 （B） 1 （C） 1 （D）22.（2009重庆卷文）设 an 是公差不为 0的等差数列， a1 2且a1, a3,a6成等比数列， 则 an 的前n 项和 Sn =（）n2 7nn2 5n2n2 3n2ABCD n2 n443324） 、等比数列的基本性质，1.（1）若m n p q，则am an ap aq （其中m,n

17、, p, q N ）A） 15（B） 16 （C） 49（D） 6414、2005 北京卷）数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 a1=1， an 1Sn ， n=1，2， 3，求 a2，a3，a4的值及3数列 an 的通项公式2）qn m an，an2 an m an m （n N ） am3）an 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列 .4）an 既是等差数列又是等比数列an 是各项不为零的常数列78A. 2 B.3 C.3 D.32. 一个等比数列前n 项的和为48，前 2n 项的和为 60，则前 3n项的和为A 83 B 108 C 75D 633. 已知数列 an 是等比

18、数列，且 Sm 10，S2m 30，则 S3m例： 1在等比数列 an 中, a1和 a10是方程 2x2 5x 1 0的两个根 ,则 a4 a7 ( )5 2 1 1(A) (B) (C) (D)2 2 2 22. 在等比数列 an ，已知 a1 5， a9a10 100，则 a18 =（ 六 ） 、 等比数列的判定法3.等比数列 an 的各项为正数，且a5a6 a4a7 18,则log 3 a1 log3a2log3 a10 (A12B10 C 8 D 2+ log3 54. （2009 广东卷理）已知等比数列an 满足 an 0,n 1,2, ，a5 a2n 52 (n 3) ，则当n1

19、（ 1）定义法： an 1 q（常数） an 为等比数列； an（ 2）中项法： an 1 an an 2（an 0）an 为等比数列；（ 3）通项公式法： an k qn （ k , q为常数）an 为等比数列；（4）前 n 项和法： Sn k（1 qn ） （ k, q为常数）an 为等比数列。Sn k kqn （ k , q为常数）an 为等比数列。时， log2 a1 log2 a3log 2 a2n 12(n 1)2C.D.(n 1)2（ 四 ） 、等比数列的前n 项和，na1(q 1)Sna1(1 qn)a1 anq (q 1)1q1q例： 1.已知等比数列 an 的首相 a1 5

20、，B.A. n(2n 1)A. 等差数列B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断2. 已知数列 an2 满足 an 1 an an 2(an 0) ，则数列 an 为（）A. 等差数列B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断3. 已知一个数列an 的前 n 项和 sn2 2n 1，则数列 an 为（）A. 等差数列B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断例： 1.已知数列 an 的通项为 an 2n ，则数列 an 为 （ ）2（2006 年北京卷）设2A （8n 1）3（1996 全国文， 21）公比 q 2 ，则其前 n 项和 f (n

21、) 2 24 27 21023n 10 (nB2(8n 1 1)设等比数列 anSnN） ，则 f（n） 等于（ ）D 2（8n4 1）的前 n 项和为 Sn，若 S3S62S9，求数列的公比 q；C 2(8n 3 1)四、求数列通项公式方法（1）公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项 例： 1已知等差数列 an满足：a3 7,a5 a7 26， 求an；2. 等比数列 an 的各项均为正数，且22a1 3a2 1，a32 9a2a6，求数列 an 的通项公式（ 五 ）. 等比数列的前 n 项和的性质若数列 an 是等比数列， Sn是其前 n项的和， k N*，那么 Sk， S2k

22、 Sk ， S3k S2k成等比数列 S6S9例： 1. （2009 辽宁卷理）设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 S3 =3 ，则 S6 =23. 已知数列 an 满足 a1 2，a2 4且an 2 an an 12n N ），求数列 an 的通项公式；4. 已知数列 an满足 a1 2，且an 1 5n1 2(an 5n)(n N )，求数列 an 的通项公式；例：1. 已知数列an满足an1 2(n 1)5n an，a1 3，求数列 an的通项公式。15. 数列已知数列an满足a1,an4an1 1(n1). 则数列an的通项公式 =22)累加法1、累加法 适用于： an 1

23、 an f (n)a2 a1 f(1)a3 a2 f (2)若 an 1 an f (n) (n 2) ，则 3 2an 1 an f (n)n两边分别相加得 an 1 a1f (n)k111例： 1.已知数列 an满足a1, an 1 an 2 ，求数列 an的通项公式。2 4n2 12.已知数列an满足an1 an 2n 1，a1 1，求数列 an的通项公式。22.已知数列 an 满足 a1，3n， an 1an ，n1求 an 。3.已知 a1 3 ，an 13n 13n 2an(n 1) ，求 an 。( 4)待定系数法适用于 an 1 qan f (n)例：1. 已知数列 an中，a

24、1 1,an 2an 1 1(n 2) ，求数列 an 的通项公式。2.( 2006 ， 重 庆 , 文 ,14 ) 在 数 列 an 中 ， 若 a1 1,an 1 2an 3(n 1) ， 则 该 数 列 的 通 项3.已知数列 an 满足 a1 1,an 1 2an 1(n N* ).求数列 an 的通项公式；5)递推公式中既有 Sn3.已知数列an满足an1 an 2 3n 1，a1 3，求数列 an的通项公式。3)累乘法适用于： an 1 f (n)anS1,n 1分析：把已知关系通过 anSS1n,nSn11,n 2转化为数列 an 或 Sn的递推关系，然后采用相应的方法求解。1. ( 2005 北京卷)数列值及数列 an 的通项公式an 的前 n 项和为 Sn，且 a1=1，1an 1 3Sn ，n=1，2， 3，3，求 a2， a3， a4的an 1若anf(n) ，则 a2f (1)，a3f(2)，an 1 f (n)a1a2an2. (2005 山东卷)