上学期拓扑学考试试卷及答案

1、大学拓扑学考试试卷参考答案（ A ）、选择题 （将正确答案填入题后的括号内 ,每题 3 分，共 15 分）1、 1、已知 Xa,b, c, d,e,下列集族中，（）是 X 上的拓扑 .A.TX, a, a,b, a,c,eB.TX,a,b,c, a,b,d, a,b,c,eC.TX,a, a,bD.TX,a,b, c, d, e2、设 X a,b,c,d ，拓扑 T X, , a, b,c,d,则X的既开又闭的非空真子集的个数为（）A.1B.2C. 3 D. 43、在实数空间中，整数集 Z 的内部 Z o 是（ ）A. B. Z C.R-Z D. R4、 已知X是一个平庸拓扑空间，A是X的子集

2、,则下列结论中正确的是（）A.若 A,则 AdB.若 A x°,则 Ad XC.若 A=X1,X2,则 AdX A D.若 A X1,X2,则 Ad A5、平庸空间的任一非空真子集为 （）A. 开集 B. 闭集 C. 既开又闭 D. 非开非闭 二、简答题（每题 3分，共 15分）1、A2空间2、TI空间：3、不连通空间4、序列紧致空间5、正规空间三、判断，并给出理由（ 20 分，每题 5 分，判断 2分，理由 3 分）1、从拓扑空间 X 到平庸空间 Y 的任何映射都是连续映射（）2、设拓扑空间 X 满足第二可数性公理，则 X 满足第一可数性公理（ ）3、 设A为平庸空间X （ X多于

3、一点）的一个单点集，贝U Ad（）4、 Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭集（）四、证明题（共 50 分）1、设 X,Y,Z 都是拓扑空间. f :X Y , g:Y Z 都是连续映射， 试证明gof :X Z也是连续映射。（10分）2、 设f : XY是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映射.则f （X）是Y的一个连通子集 . （10分）3、 设X是HauSdOrff空间，f : X X是连续映射.证明A x Xlf（X） x是X 的闭子集. （10分）4、设 X 为非空集合，令T余可数A| A X C,其中C为至多可数集试证：（1） X,T余可数是一个拓扑空间；（5分）（2）

4、若 X 不可数， X, T余可数 是连通空间； （5分）（3）X,T余可数为TI但非T2空间；（5分）（4）X,T余可数 是Lindel?ff空间（提示：即证X的任一个开覆盖有至多可数覆盖）。（5 分）大学拓扑学考试试卷参考答案（ A）注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上一、选择题 （将正确答案填入题后的括号内 ,每题 3 分，共 15 分）1、C 2、B 3、A 4、A 5、 D二、简答题（每题 3分，共 15分）1、 A2 空间 答案：一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个满足第二 可数性公理的空间，简称为 A2 空间.2、Ti空间：答案：设 X 是一个拓扑空间，如果 X

5、 中的任意两个不相同的点中每一个点都 有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间 X是Ti空间.3、不连通空间答案：设 X 是一个拓扑空间，如果 X 中有两个非空的隔离子集 A,B ,使得 A B X ,则称X是一个不连通空间.4、序列紧致空间答案：设 X 是一个拓扑空间 . 如果 X 中的每一个序列都有一个收敛的子序列， 则称拓扑空间 X 是一个序列紧致空间 .5、正规空间：答案：设 X 是一个拓扑空间，如果 X 中的任何两个无交的闭集都各自有一个 开邻域，它们互不相交，则称 X 是正规空间 .三、判断，并给出理由(20分，每题5分，判断2分，理由3分)1、从拓扑空间X到平庸空间Y的任何映射都是

6、连续映射()答案:理由：设f : X Y是任一满足条件的映射，由于 Y是平庸空间，它中的开集只有Y,易知它们在f下的原象分别是X,均为X中的开集，从而f : X Y连续2、 设拓扑空间X满足第二可数性公理，则 X满足第一可数性公理()答案：理由:设拓扑空间X满足第二可数性公理，B是它的一个可数基，对于每一个X X , 易知B X B B| X B是点X处的一个邻域基，它是 B的一个子族所以是可数 族，从而X在点X处有可数邻域基，故X满足第一可数性公理.3、 设A为平庸空间X ( X多于一点)的一个单点集，贝U Ad()答案：×理由：设A y,则对于任意X X,x y , X有唯一的一

7、个邻域X，且有 y X (A X),从而X (A X) ,因此X是A的一个凝聚点，但对于y的唯一 的邻域X ,有X (Ay) 所以有AdXA .4、HaUSdorff空间中的每一个紧致子集都是闭集.()答案：理由：设A是HaUSdOrff空间X的一个紧致子集，则对于任何 X X ,若X A ,则 易知X不是A的凝聚点，因此A A ,从而A是一个闭集.四、证明题(共50分)1、证：设W是Z的任意一个开集，由于g : Y Z是一个连续映射，从而g 1(W) 是Y的一个开集，由f : X Y是连续映射，故f 1(g 1(W)是X的一开集，因此(gof) 1(W) f 1(g 1(W)是X的开集，所以

8、gof :XZ是连续映射.2、证明：如果f(X)是Y的一个不连通子集，则存在 Y的非空隔离子集 代B使得f (X) A B,于是f1(A),f1(B)是X的非空子集，并且：11i1(f 1(A) f 1(B) (f 1(B) f 1(A)(f 1(A) f 1(B) (f 1(B) f 1(A)f 1(A B) (A B)所以f 1(A), f 1(B)是X 的非空隔离子集 此外， III1f (A) f (B) f (A B) f (f (X) X ,这说明X不连通，矛盾.从而 f (X)是Y的一个连通子集.3、证明：对于X AC ,则f (x) X ,从而f(x),x有互不相交的开邻域U和

9、V， 设W f 1 (U) V ,则W是X的开邻域，且X W Ac,故 AC是开集，从而A是 闭集4、证明：(1)10由T余可数勺定义，2设A，A T余可数，(1)A 或A ,贝 1A A A ,A ,则AX 根据de Morga公式，有AAXG X C2T余可数此外，X XT余可数T余可数G,A X C2,其中C1, C2为至多可数集XCIC2T余可数30设A T余可数，不失一般性，令A X C ,其中C为至多可数集，则AXC X C T余可数由10 2° 30可知，T余可数为X上的一个拓扑。注意 X CIX C2XC1 C 2对任意p,q X) P q ,则U P= X q与Uq X P分别为P与q的开邻域, 且 q UP , P Uq ,因此，X, T余可数 为T1空间。设UP为P的任何开邻域，Uq为q的任何开邻域，则UP = X ClIUq X C2 ,其中Cl，C2均为X的至多可数子集，并且UPI UqX C1 I X C2X C1UC2所以，X,T余可数非T2空间。 设A是