数值计算课后答案2汇编

1、学习 - 好资料习题二解答1用二分法求方程 x3-2x2-4x-7=0 在区间 3 ，4内的根，精确到 10-3 ，即误差不超过 1 10 3。2分析：精确到 10 -3 与误差不超过 10-3 不同。解：因为 f(3) -100，f(4)=9 0，所以，方程在区间 3，4上有根。由x* xnbn anb a 4 3 1110 322n2n2n2有 2n-11000，又为 210 1024 1000，所以 n11，即只需要二分 11 次即可。列表讨论如下：nanbnxnf(x n)的符号1343.50023.50043.75033.5003.7503.62543.6253.7503.68853

2、.6253.6883.65763.6253.6573.64173.6253.6413.63383.6253.6333.62993.6293.6333.631103.6313.6333.632113.6313.6323.632x * x11=3.632。指出：（ 1）注意精确度的不同表述。精确到10 -3 和误差不超过 10 -3 是不同的。（ 2）在计算过程中按规定精度保留小数，最后两次计算结果相同。如果计算过程中取4 位小数，结果取3 位，则如下表：nnbnxnf(x n)的符号a1343.500023.500043.7500更多精品文档学习 - 好资料33.50003.75003.6250

3、43.62503.75003.687553.62503.68753.656363.62503.65633.640773.62503.64073.632983.62503.63293.629093.62903.63293.6310103.63103.63293.6320113.63103.63203.6315（ 3）用秦九韶算法计算f(x n)比较简单 。1* 求方程 x3-2x 2-4x-7=0 的隔根区间。解：令 yx32x24x7 ，则 y 3x24x 4 (3x 2)( x 2)当 y 3x24 x4(3x2)( x 2)0 时，有 x12 , x2 2。3函数单调区间列表分析如下：x(

4、- ,2)2(2,2)2(2,+ )333y+00+y149 1527因为 y(2 )1490, y( 2) 150 ，所以方程在区间 (2 , 2) 上无根；3273因为 y(2 )1490，而函数在 (, 2 ) 上单调增，函数值不可能变号，所以3273方程在该区间上无根；因为 y( 2)150 ，函数在 (2,+)上单调增，所以方程在该区间上最多有一个根，而(3)=-100，所以方程在区间 (3,4)有一个根。所以，该方程有一个根，隔根区间是 (3.4)。2证明 1xsin x0 在0,1 内有一个根，使用二分法求误差不大于110 42的根，需要迭代多少次？更多精品文档学习 - 好资料分

5、析：证明方程在指定区间内有一个根，就是证明相应的函数在指定区间有至少一个零点。解：令 f (x)1x sin x ，因为 f (0)10sin 0 1 0, f (1) 1 1 sin1sin1 0 ，则 f (0) f (1)0，由零点定理，函数f(x) 在 0,1 区间有一个根。由x * xnbn anb a 1 0 1110 422n2n2n2有 2n-110000，又为 2101024，213 819210000所以 n15，即需要二分 15 次。指出：要证明的是有一个解而不是唯一解，因此不必讨论单调性。3试用迭代公式 xk 1xk220, x0 1 ，求方程 x32x210x 20

6、0 的2xk 10根，要求精确到 10 5 。分析：精确到 105 即误差不超过 110 52解：令 f ( x) x32x210 x20列表进行迭代如下：xkf (xk )01-711.538463.7596421.29502-1.5238031.401820.7031141.35421-0.3066751.375300.1372161.36593-0.0606771.370090.0270581.36824-0.0119891.369060.00531更多精品文档学习 - 好资料101.36870-0.00228111.368860.00110121.36879-0.00038131.36

7、8820.00025141.368813.99210151.368813.9921055指出：精确到 10 5 可以从两个方面判定。第一，计算过程中取小数到10 5 位，最后两个计算结果相同，终止计算。第二，计算过程中取小数到10 6，当xk 1xk110 5 终止计算。2本题采用第一种方法。4将一元非线性方程 2cos x ex0 写成收敛的迭代公式， 并求其在 x0 0.5附近的根，要求精确到 10 2 。解：2cos x ex0 改写为 2 cos xex2cos x12 cosx1 0，则exexxx2cos x1，设ex()2 cos x1g xxex有xx2(sin xcosx)2

8、 2 sin(x)g ( x)2 sinxe2 cosxe1411( ex )2exex更多精品文档学习 - 好资料在 x0 0.5 处，因为2 2sin(0.5)g ( . )14.10 50 9615e0.52 cosxk所以迭代法 g( xk 1 ) xk1在 x00.5 的邻域内收敛。exk列表迭代如下：xk005107120693069此时2cos .e0.69.。0 690 006145为求方程 x3x210在 x01.5附近的一个根，设将方程改为下列等价形式，并建立相应的迭代公式：(1)x112 ,迭代公式 xk1112 ;xxk1( 2) x31x2 ,迭代公式 xk1(1xk

9、2 )3 ;(3) x2x1,迭代公式 xk111 .1( xk 1)2试分析每种迭代公式的收敛性，并取一种公式求出具有4 位有效数字的近似值。解：（ 1）因为 x11，所以迭代函数为 g( x) 11，则x2x2g ( x)(12)(x 2 )2x 3 ， g (1.5)21.5 32 321 满足局部x1.53.375收敛性条件，所以迭代公式xk 1112 具有局部收敛性。xk11（ 2）因为 x (1x2 )3 , 所以迭代函数为 g( x)(1x2 )3, 则g ( x)1(112x222x2,x2 )3x(1 x2 ) 3133(x2 )33 1更多精品文档学习 - 好资料( . )

10、.满足局部收敛性条件, 所以迭代公式2 1 521g1 50 4563(11.52 )31xk 1 (1xk2 )3 具有收敛性。（ 3）因为 x1，所以迭代函数为g( x )111 ，则( x1) 2( x1)2g ( x)1131 ( x 1) 21 ( x 1) 2 ，221 ( .31( .) 23.1不满足收敛性条件，所以迭代公式g1 51 511 41422.20 5xk 11不具有收敛性。1( xk 1)2用迭代公式 xk1112列表计算如下：xkxk01511444214803145741471514626146871464814679146510 146611 1465所以，

11、方程的近似根为x*1.465 。6设( x)xC ( x23) ，应如何取 C 才能使迭代公式 xk 1( xk ) 具有局部收敛性？更多精品文档学习 - 好资料解：设 C为常数，因为( x )xC( x23) ，所以 ( x)12Cx ，要使迭代公式具有局部收敛性，需( x0 )12Cx01，此时即有 112Cx0 1 ，也即1 Cx0 0 。即只要 C 取满足如上条件的常数，就可以使得迭代公式具有局部收敛性。指出：本题的一般形式为：设(x)xCf (x) ，应如何取C 才能使迭代公式 xk 1( xk ) 具有局部收敛性？显然，( x)xCf ( x) 是迭代格式xk 1( xk ) 相应

12、的迭代函数，因此该迭代格式要求解的方程是x(x)xxCf ( x)f (x)0 。也就是说，这是如何选择 C，构造一个求解方程f(x)=0 的收敛的迭代格式的问题。因为(x)xCf ( x) ，所以( x)1Cf ( x) ，要使迭代格式收敛，需(x)1Cf (x)1解之得2Cf ( x)0 ，即 C 与 f (x) 异号，且 Cf ( x)2 。下面的讨论利用了本题的特殊条件，求出了具体的结果：因为( x )xC( x23 )，所以当xxC ( x23) 时，有 C (x23)0 ，则x3 ，即函数( x)xC( x23) 的不动点为 x*3 。而 ( x) 1 2Cx ，根据局部收敛性定理

13、，当(3)12C 3110时，迭代格式收敛到3 ；c3当(3)12C (3) 10 c1 时，迭代格式收敛到3 。3更多精品文档学习 - 好资料7用牛顿法求方程 x3 3x 1 0 在初始值 x0 2 邻近的一个正根，要求 xk 1 xk 10 3 。解: 因为 x3 3x 1 0所以有 f (x)x33x1，相应的迭代公式为xk 1xkxk33xk12xk313xk233xk23取 x0=2 为迭代的初始近似值。迭代的结果列表如下：k0123xk21.88891.87951.8794因为 x3x2 0.0001110 3 , 符合计算的精度要求 , 所以2x*x31.8794 。8用牛顿法解

14、方程 1c0 ，导出计算数 c 的倒数而不用除法的一种简单x的迭代公式。用此公式求0.324 的倒数，设初始值 x0 3，要求计算有 5 位有效数字。解：对于方程 1c0 ，有 f (x )1 c ，相应的迭代公式为xx1cxk 1xkxk2xkcxk2 。1xk2应用该迭代公式求0.324 的倒数，列表计算如下xk0313084230864330864所以1.。.3 08640 324指出：更多精品文档学习 - 好资料如果将方程 1c0 改写为等价的 cx10 ，则有 f ( x)cx 1 ，相应的迭x代公式为xk 1cxk11xkcc无法展开迭代。9设 a 为已知数，试用牛顿法导出求n a

15、 的迭代公式，并求极限limnaxk1。k(naxk )2解：设 a 为正实数， n 为自然数，由牛顿法，方程f ( x)xna0 的解为xk 1xkf (xk )f (xk )xkxkna nxknxknanxkn1nxkn 1(n 1)xknanxkn11( n1)xka1 nnxk此即求 na 的迭代公式。由此，则naxkna1 ( n1)xkan 1 n a1 (n1)xkax1kn lim1limnxklimnn2n2n2k(a xk )k(a xk )k(a xk )1( n1)a(1n) xk1n1limnnk2(1)(axk )1 ( n1)a(1n) xn limnk2(na

16、xk )k1 ( a(1n)(n) xk n 1 limn2(1)klim a(1n)a(1n)na(1 n)1nnk1 n12(na)n12a2xk2lim xkk指出：更多精品文档学习 - 好资料本题中，表面上是 k的问题，但实际上却是 xkna 的问题， xk , xk 1 才是极限过程中实际的变量。本质上。本题实际上是求极限n a xn1( n 1) xkan a1 (n 1)xk ax1k n 1a nxn 1limklimklimn(na xk )2(na xk )2(na xk )2kkkn a1 ( n 1)x ax1 n limnn2xna(ax)由于讨论的是0 型不定式，且

17、不定式的分母上有2 次的“0”因子，因此两次0应用罗必塔法则。解二：首先证明一个定理：定理：设 f ( x* )0, f( x* )0 ，又设 f(x)在 x* 的某个邻域内具有连续的二阶导数，则牛顿迭代法具有局部收敛性，且有。limxk1x*f( x* )。*2*k( xkx )f(x)证明：因为 g(x)xf ( x)f ( x)所以 g (x)xf ( x)f ( x) f( x)f (x)f (x)2因为 f(x)在邻域内具有连续的二阶导数，所以g (x) 在邻域内连续，且*)f (x* ) f ( x* )0g ( xf ( x* )2由局部收敛性定理，牛顿迭代法具有局部收敛性。对

18、g (x)f ( x)xf ( x)*f( x* )g ( x )f( x* )由收敛阶定理，若f ( x) f ( x)2求导，根据条件有f (x)f ( x* ) 0 ，则 g ( x* )f ( x* )0 ，牛顿迭代法二阶收f ( x* )敛，若 f ( x* )0 ，则 g ( x* )f ( x* )0 ，牛顿迭代法有更高的收敛阶。f ( x* )因为牛顿迭代法有二阶收敛性，所以f ( x* )limxk 1x*g (x* )f ( x* )f ( x* )。*2*k( xkx )2!2!2 f (x )更多精品文档学习 - 好资料显然如果 x* 是方程 f(x)=0的单根，则 f

19、 ( x)( xx* )(x) ，且 ( x* )0 。此时 f ( x)(x) ( xx* ) ( x) ，则 f ( x* )( x* )0 ，可见定理中的条件 “ f ( x* )0, f( x* ) 0”可以等价替换为 “ x* 是方程 f(x)=0的单根”对本题来说，f ( x) xna ， x* na 是方程的单根，所以f ( x) nx n 1 , f ( n a ) n( n a)n 10f (x) n(n 1)xn 2 , f ( n a) n(n 1)( n a ) n 2则limn axk 1limxk 1n an(n1)(na )n 2n11n。(naxk )2na)2

20、2n(na )n 12na2nakk( xk指出：应用分组分解法进行因式分解，分子、分母约去“0 ”因子，就可以按连续函数的极限性质求解了。10用快速弦截求方程x33x10 在初始值 x02 邻近的实根（取 x11.9 ，要求精确到 10 3 ）。解: 因为 x3 3x 1 0所以有 f ( x)x33x1 ，相应的迭代公式为xk 1f (xk )xk 1 )xk(xkf ( xk )f (xk 1 )取 x0=2 为迭代的初始近似值。迭代的结果列表如下：kxkxk-xk-1f(x k)f(x k)- f(x k-1)021119-0.10.159-0.841218811-0.01890.01

21、30-0.146318794-0.00170.0001-0.0129418794因为 x4x3 0.0000110 3 , 符合计算的精度要求 , 所以2x*x41.8794 。更多精品文档学习 - 好资料指出：本教程所说快速弦截法是通常所说的弦截法（割线法），而它所说弦截法是通常的单点弦截法。11、分别用下列方法求方程 4cos xex 在 x04邻近的根， 要求有三位有效数字。（ 1）用牛顿法，取 x04；（ 2）用弦截法，取 x04, x1；2（ 3）用快速弦截法，取 x04, x1。2解：方程 4cos xex 变形为 ex4cos x 0 ，则 f ( x)ex4cos x, f(x

22、)ex4sin x 。牛顿法、弦截法、快速弦截法公式分别为（ 1）牛顿法xk 1xkf (xk )xkexk4cos xk；f(xk )exk4sin xk（ 2）弦截法xk 1xkf ( xk )0.785) ；( xkf ( xk ) 1.81（ 3）快速弦截法xk 1 xkf ( xk )(xk xk 1 ) 。f ( xk )f (xk 1)取 3 位有效数字，分别计算得kxk牛顿法弦截法快速弦截法0078507850785115915715721411331333139140138413913814051391396138139补充题更多精品文档学习 - 好资料（一）1、确定方程 x

23、5+x-100 的根的个数，找出隔根区间。2、用二分法求方程f(x)=x 3 2x-5=0 在2，3的根的近似值，要求误差不超过 0.005。3、用二分法求方程f(x)=x 3 2x-5=0 在2，3的根的近似值，要求误差不超过 0.05。4、用二分法求方程f ( x)sin xx20 的非零实近似根，使误差不超过 102。45、分析方程 f ( x)sin xx的根的分布情况， 并用二分法求正根的近似022值，使误差不超过 10。6、估计用二分法求方程 f(x)=x 34x2-10=0 在1，2内的根的近似值，为使误差不超过 105 时所需要的二分次数。分析与解答1、令 yx5x10 ,y5

24、x41,显然 y0 ,而且函数没有不可导点,所以，函数在区间(,) 上是单调增的，故方程最多有一个根。因为 y(0)100, y(2)240 ，所以方程在（ 0，2）区间有一个根，（0，2）即为方程的隔根区间。2、因为 f(2)=7 0，f(3)=280，实际上本方程在指定范围内无根。但如果不加判定，也可以计算出一个值来。 所以，用二分法求方程的根必须先行判定。要特别注意的是，完整的二分法的过程是，第一步代入初值，第二步判断是否有解，第三步在有解的前提下求出解来。不进行判断就形式地套用二分法的过程是不可以的，同样地，如果因为无解就放弃讨论也是不正确的。3、因为 f(2)= 10，f(3)=16

25、0，所以方程在区间上有解。x* xnbn anba3 21 0.05 ，所以， 2n20，n=5。22n2n2nx * 2.10x24、画出 y=sinx 和 y的曲线，可以看出，4两条曲线除了原点外，在第一象限有且只有一个交点。交点的横坐标介于1.5 与 2 之间（显然，更多精品文档学习 - 好资料() 2，所以在 点， 2 1.，5sin( 2)=1， 2124f(x) 0，而当 x 2 时， x21 ，sinx 1,所以在2 点，4f(x) 0。5、画出 y=sinx 和 yx 的曲线，可以看出，两条曲线除了原点外，在第一2象限有且只有一个交点。交点的横坐标介于 1.8 与 1.9 之间

26、（根据图像，用计算器计算估计，当 sinx 的值从大于 x 的值变为小于时，隔根区间就找到了） 。2*要求 xxn0.01，可以求出用二分法计算的次数。在区间 1.8，1.9上，因为bn anb a1.9 1.80.10.01x* xn2n2n2n2所以， n=4。具体计算过程如下nnbnxnf(x n)的符号a11.81.91.8521.851.91.87531.8751.91.887541.88751.91.89所以， x* x41.89指出：确定求根区间和根的初始近似值，应用MATLAB 工具，用交轨法是重要的途径，可以先确定大致范围，再缩小区间重新画图精细化。在用普通的手工画草图的方法

27、画交轨图的时候，可以借助于计算器使得隔根区间更短，但这种方法只对简单问题有效。*5，即2 115，所以n5。6、xxn102102n2n10因为 21532768， 21665537，217 131072，所以 n=17。（二）更多精品文档学习 - 好资料1、对于方程 3x2ex0，为求最大正根与最小正根的近似值，试分别确定迭代函数 g(x)及区间 a,b，使得当 x0a,b 时，相应的迭代过程 xk+1 =g(xk)收敛到要求的根。2、证明：当 x0=1.5 时，迭代法xk 1410和 xk 1110 xk3xk2都收敛于方程 f(x)=x 3+4x2-10=0 在区间 1，2内的唯一实根 x * ，分别用上述迭k+15k 10 的近似根 。代法求满足精度 x x3、为求方程 f(x)=x 3x210 在 x01.5