9.3.1椭圆的标准方程

1、数学学科教案设计(首页)班级:课时：2授课时间:第( )页课题：931 椭圆的标准方程目的要求:了解椭圆的概念及标准方程的推导过程，理解椭圆标准方程中参数的几何 意义，会根据题目条件建立椭圆的标准方程.重点难点:教学重点是理解椭圆的标准方程及参数的几何意义，掌握建立椭圆方程的 方法.教学难点是了解椭圆标准方程的推导过程，并掌握建立椭圆标准方程的方 法与技巧.教学方法及教具:采用讲授法、讨论法与直观演示法相结合完成教学，多媒体设备与作图工 具辅助教学.教学反思:作业或思考题:(1)读书部分： 复习教材中 9.3.1 ;(2)书面作业：修改课堂练习并完成学习手册第143页中强化练习1 2.教学过程

2、教师活动学生活动设计意图时间*揭示新知识之前学习了直线方程、圆的方程，在我们日常生活 中还有哪些特殊的图形？例如地球绕着太阳公转的轨 迹是椭圆，鸭蛋的纵切面图形也近似一个椭圆.能否通过椭圆方程研究其性质呢？本次课来研究 这个问题.*创设情景新知识导入 观察与思考如图9-11所示,取一条定长的细绳,把它的两端固定在画板上的Fi和F2两点，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在画板上慢慢移动， 由此可得出一个什么图形？由此就可以画出一个椭圆.结论与点Fi和F2的距离的和等于这条绳长的点轨迹 是椭圆.*观察思考探索新知椭圆的概念在平面内与两个定点F1, F2的距离的和等于常数（大

3、于| FiF2 | ）的点的轨迹叫做 椭圆.两个定点叫做 椭 圆的焦点，两焦点的距离叫做 焦距.椭圆的标准方程如图9-12所示，取过焦点 Fi , F2的直线为X轴, y八B2 M线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系.设M（X, y ）是椭圆上Ai任意一点，椭圆的焦距为2c（c：0 ）, M 与 Fi 和 F2 的图 9 12介绍说明倾听了解点明教 学内容03分钟播放 课件 质疑引导分析归纳讲解强调观看 课件 思考自我建构探研理解记忆通过动 手实际 操作， 学生容 易接受 椭圆的 概念， 自然进 入新知 识的学 习与探 索.通过前 面的观 察，引 导学生 归纳并 理解椭 圆的概 念.

4、05分钟22分钟数学学科教案设计(副页)教学过程教师活动学生活动设计意图距离的和等于正常数 2a，则Fi , F2的坐标分别是L，0),(C, 0).则有MFi|+|MF2|=2a .根据两点的距离公式，得/x +c)2 +y2 +J(x-c)2 +y2 =2a .将这个方程移项，两边平方，得:(x +c)2 +y2 =4a2 -4aJ(x -c)2 +y2 +(x-c)2 + y2化简，得a2 -ex=aj(x -c)2 +y2 .归纳讲解强调探研理解记忆根据求 曲线方 程的步 骤，与 学生一 起推导 椭圆的 标准方 程，并 帮助学 生理解 方程中 参数的 几何意 义.两边再平方,42a -

5、2a cx +22c2,22,22c2x2= ax2 2a2cx +a2c2 +a2y2.整理，得(a2 -c2)x2 +a2y2 =a2(a2 -C2).由椭圆定义可知：2a A 2c，即a AC ,所以a2 -c20 .设 a2 c2 =b2(b AO)，得b2x2 +a2y2 =a2b2 .两边除以a2b2，得2 2务+占=1 ( a Ab aO )(1)a b反之，可以证明，如果 M(x, y )的坐标满足方程因此，方程(1)是椭 椭圆的标准方程.它所Fi(p, 0 )、F2(c, 0 ),(1),那么点M 定在椭圆上. 圆的方程.通常把这个方程叫做 表示的焦点在x轴上，焦点是、宀中

6、222这里c =a -b .数学学科教案设计（副页）教学过程如图913所示，如果椭圆的焦点在是 F1（0, -c ）, F2（O, c ），只要将方程（1 ）的x、y互换，就可 以得到它的方程，这时方程为2 2a+b2=1 （a Ab a0）这个方程也是椭圆的标准方程.yA2A2Lb ok7y轴上，焦点图 9 13教师活动归纳讲解学生活动探研理解设计意图说明：因为椭圆的焦点无论在 x轴还是在y轴上, 它们的方程都含有两个参数 a , b，所以要建立椭圆方 程需要两个条件.强调记忆通过焦 点在y 轴上的 椭圆方 程的讲 解，帮 助学生 理解焦 点在不 同的轴 上椭圆 方程形 式的不 同.25分钟

7、*巩固知识典型例题例题1平面内两个定点的距离是 16，求到这两个定点的距离的和是 20的点的轨迹方程.解：由椭圆的定义知，所求点的轨迹是椭圆，两个定点是焦点，用F1、F2表示.取过点F1和F2的直线为x质疑分析思考回答轴，线段F1F2的垂直平分线为 y轴.由 2a =20, 2c =16，得2 2 2 2a =10, c 8 , b a c 10=36，即 b = 6 .讲解理解通过例 题的讲 解，帮 助学生 掌握根 据椭圆 的概念 建立椭 圆方程 的常规 方法.因此，这个椭圆的标准方程是2汁1,例题2 22_+L=1100362写出适合下列条件的椭圆的标准方程:（1）a =3，焦点为 F1（

8、-/5, 0 卜 F2（J?, 0 ）;b =4，焦点为 F1（0, -3 ）、F2（O, 3 ）；* （3）焦点在x轴上，焦距为4，且通过点（-3, 26 ）;第（ ）页教学过程教师活动学生活动设计意图* （4）通过两点（亚,_1 和 |1, LV 丿解：（1）由已知条件得a =3, c=75，焦点在质疑分析思考回答上，贝y b =J = J32 (j =2 .2 2因此所求椭圆的标准方程是2 +占=1,322 2即1.94讲解理解通过例 题的讲 解，帮 助学生 掌握建 立椭圆 方程的 常规方 法与技 巧.（2）由已知条件得 b=4, c=3，焦点在y轴上,贝y a =&2 +c2 = J4

9、2 +32 =5 .因此所求椭圆的标准方程是2 2x y 一 +二-12 2 一452 2即 x_+z=11625* (3)因为焦点在x轴上,所以可设所求的椭圆方程为2 2-丄T2 丁 21. a b由焦距2c =4，得C =2，即a2 -b2 =4 .又因通过点（,），将它代入椭圆方程得整理，得2 .2 ,|a -b =4,由、联立方程组 （9+24解得 a2 =36, b2 =32 .教学过程2 2 因此，所求椭圆的标准方程是L 丄 =1.3632* （4）因不知焦点在x轴还是在y轴上，故设所求的2 2椭圆方程为+L=1 .若根据已知条件求得M NM N 0，则椭圆的焦点在 x轴上；若根据

10、已知条件 求得0 cM cN，则椭圆的焦点在 y轴上.又因经过两点（返-1和i1,空 J 2丿，所以教师活动学生活动设计意图M N ,匚+4=1.M解得 M =4, N =2 .因此，所求的椭圆方程为例题3分别求椭圆A:2 2丄亠1.422 2=1与椭圆B :542 2+=1的焦点.45解：由54知，椭圆A的焦点在x轴上，椭圆B的 焦点在y轴上.由 a2=5,b2=4,得 C =Ja2 b2 =(54=1,因此，椭圆A的两个焦点分别为（4 0 ）和（1, 0 ）,椭圆B的两个焦点分别为（0, -1押（0, 1 ）.*运用知识跟踪练习跟踪练习1 已知 MBC的周长为24 ,且I BC I =8，求 MBC的顶点A的轨迹方程.跟踪练习 2写出适合下列条件的椭圆的标准方程:质疑分析讲解思考回答理解通过例 题的讲 解，帮 助学生 掌握根 据椭圆 方程求 其焦点 坐标的 常规方 法.(1)* (4)数学学科教案设计(副页)教学过程b =2，焦点为 Fi(_1, 0 ), F2(1, 0 )；= y/6 , c=2，焦点在y轴上;焦点在通过点跟踪练习3x轴上，b=6，且通过点(4, 2 );(-/3,逅 和曲 2 )2 2分别求椭圆A : Z + =1与椭圆25162 2 +仝=1的焦点.1625*归纳小结强化新知本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？(1) 本次课学了哪些内