3.2.1-直线的点斜式方程-(张用)解析

1、2021/2/111 2021/2/112 2.过点A(x1,y1)、B (x2,y2)的直线的斜率 k_ 温故而知新温故而知新 1.直线的倾斜角与斜率k的关系是 _ 12 12 xx yy tank 3.简述在直角坐标系中确定一条直线的 几何要素. （1）直线上的一点和直线 的倾斜角（或斜率） （2）直线上两点 (90) )( 21 xx 2021/2/113 1212 /.llkk 2021/2/114 1212 1llk k 2021/2/115 练习练习 判断下列各直线是否平行或垂直判断下列各直线是否平行或垂直 (1) (2) 1 1 :3 2 lyx 2 1 :2 2 lyx 1 5

2、 : 3 lyx 2 3 : 5 lyx 平行平行 垂直垂直 2021/2/116 试试自己的能耐试试自己的能耐 直线直线 l 过点过点P(2,1),且斜率为且斜率为3,点点 Q(x,y)是是 l 上不同于上不同于P的一点，则的一点，则x、y 满足怎样的关系式满足怎样的关系式? 2021/2/117 0,00 yxP 0 yy 0 xx . . y x yxp, o 相信这个也难不倒你相信这个也难不倒你 直线直线l经过点经过点 P0(x0,y0) ,且斜率为且斜率为k,点点 P(x,y)为直线为直线l上不同于上不同于P0的任意一点的任意一点,则则x、 y满足的关系式是满足的关系式是_ 00 x

3、xkyy 1.直线直线l上的点都满足上的点都满足 这个方程吗这个方程吗? 2.满足这个方程的点满足这个方程的点 都在直线都在直线l上吗上吗? 点斜式方程点斜式方程 2021/2/118 在平面直角坐标系内，如果给定一条直线在平面直角坐标系内，如果给定一条直线 经经 过的一个点过的一个点 和斜率和斜率 ，能否求出该直线，能否求出该直线l 的方程呢？的方程呢？ 000 , yxP l k x y O l P0 2021/2/119 ， 0 0 xx yy k 00 xxkyy 直线经过点直线经过点 ，且斜率为，且斜率为 ，设点，设点 是直线上不同于点是直线上不同于点 的任意一点，因为直线的任意一点

4、，因为直线 的斜率的斜率 为为 ，由斜率公式得：，由斜率公式得： 000 , yxPkyxP, 0 Pl k 即即:x y O l P0 P 2021/2/1110 （1）直线）直线 上的点上的点,其坐标都满足方程其坐标都满足方程 吗吗? 00 xxkyy l （2）坐标满足方程）坐标满足方程 的点的点 都在过点都在过点 ，斜率为，斜率为 的直线的直线 上吗？上吗？ 00 xxkyy 000 , yxPkl 经过探究，上述两条都成立，所以这个方程就是经过探究，上述两条都成立，所以这个方程就是 过点过点 ，斜率为，斜率为 的直线的直线 的方程的方程k 000 , yxPl 2021/2/1111

5、 00 xxkyy 方程方程 由直线上一点及由直线上一点及 其斜率确定，把这个方程叫做直线的其斜率确定，把这个方程叫做直线的点斜式方点斜式方 程程，简称，简称点斜式点斜式 x y O l P0 kl的斜率为直线 2021/2/1112 （1） 轴所在直线的方程是什么？轴所在直线的方程是什么？x 0 0 yy 0 yy ，或，或 当直线当直线 的倾斜角为的倾斜角为 时，即时，即 这时这时 直线直线 与与 轴平行或重合，轴平行或重合， l l 000tan x x y O l 0 P l的方程就是 的方程就是 故故 轴所在直线的方程是轴所在直线的方程是:x 0y 2021/2/1113 （2） 轴

6、所在直线的方程是什么？轴所在直线的方程是什么？y 0 0 xx 0 xx ，或，或 当直线当直线 的倾斜角为的倾斜角为 时，直线没有斜率，这时，直线没有斜率，这 时直线时直线 与与 轴平行或重合，它的方程不能用点斜式轴平行或重合，它的方程不能用点斜式 表示这时，直线表示这时，直线 上每一点的横坐标都等于上每一点的横坐标都等于 ，所，所 以它的方程就是以它的方程就是 l l 90 l y 0 x x y O l 0 P 0 x 故故 轴所在直线的方程是：轴所在直线的方程是：y 2021/2/1114 学会自己探究学会自己探究 直角坐标系上任意直线都可以用直直角坐标系上任意直线都可以用直 线的点斜

7、式方程表示吗线的点斜式方程表示吗? ? y-y0=0, 或或 y=y0 x-x0=0,或或x=x0 0 P . y o 00, y x x 0 P. y o 00, y x x (1)当直线当直线l的倾斜角为的倾斜角为0时时, tan0 =0,即即k=0 这时直线这时直线l与与x轴平行或重合轴平行或重合,那么那么l的方程就是的方程就是: (2)当直线当直线l的倾斜角为的倾斜角为90时时, 斜率不存在斜率不存在 这时直线这时直线l与与y轴平行或重合轴平行或重合,那么那么l的方程就是的方程就是: 所以:只要直线的斜率存在,直线就可以 用点斜式方程来表示 2021/2/1115 例例1 直线直线 经

8、过点经过点 ，且倾斜角，且倾斜角 求直线求直线 的点斜式方程，并画出直线的点斜式方程，并画出直线 45l3 , 2 0 P ll 代入点斜式方程代入点斜式方程 得：得： . 23xy l 111 , yxP 4, 1 11 yx 画图时，只需再找出直线画图时，只需再找出直线 上的另一点上的另一点 ， 例如，取例如，取 ， 得得 的坐标为的坐标为 ， 过过 的直线即为所求，的直线即为所求， 如图示如图示 1 P4 , 1 10 PP， 解：直线解：直线 经过点经过点 斜率斜率 l145tank3 , 2 0 P y 1 2 3 4 xO-1-2 l 1 P 0 P 2021/2/1116 2 )

9、 2 , 2( 当堂反馈当堂反馈: )3(21xy )2( 3 3 2xy 03 y )4(32xy 1.1.写出下列直线的点斜式方程写出下列直线的点斜式方程 （1 1）经过点）经过点A A（3,-13,-1）, ,斜率是斜率是 （2 2）经过点）经过点B ,B ,倾斜角是倾斜角是3030 （3 3）经过点）经过点C C（0 0，3 3），倾斜角是），倾斜角是0 0 （4 4）经过点）经过点D D（4 4，-2-2），倾斜角是），倾斜角是120120 P95 1P95 1、2 2、3 3、4 4 2021/2/1117 2.填空题填空题: (1)已知直线的点斜式方程是已知直线的点斜式方程是y-

10、2=x-1,那么那么,直线的直线的 斜率为斜率为 _,倾斜角为倾斜角为_. (2)已知直线的点斜式方程是已知直线的点斜式方程是 那么那么,直直 线的斜率为线的斜率为_,倾斜角为倾斜角为_. 45 30 3 3 ) 1( 3 3 2xy 1 2021/2/1118 练习练习 2 2、说出下列点斜式方程所对应的直线斜、说出下列点斜式方程所对应的直线斜 率和倾斜角：率和倾斜角： 332)2(xy 2021/2/1119 练习练习 (2,2)60 (1)经过点倾斜角是的 直线的方程是（） 3 2(2) 3 .23(2) 3 .2(2) 3 .23(2) A yx B yx C yx D yx . D

11、2021/2/1120 练习练习 (3)直线方程可表示成点斜式方直线方程可表示成点斜式方 程的条件是程的条件是 （A）直线的斜率存在）直线的斜率存在 （B）直线的斜率不存在）直线的斜率不存在 （C）直线不过原点）直线不过原点 （D）不同于上述答案）不同于上述答案 A 2021/2/1121 练习练习 33(4),yx(2)已知直线方程则这条 直线经过的已知点，倾斜角分别是（） .(4,3);.( 3, 4); 36 .(4,3);.( 4, 3) 63 AB CD A 2021/2/1122 例四例四：1.1.下列方程表示直线的倾斜角各为多少度？下列方程表示直线的倾斜角各为多少度？ 1) 1)

12、 2) 2) 3) 3) 32xy 2 3 3 xy 3332xy 2 , 3 2 , 3 2. 2.方程方程 表示表示 ( )( ) A)A)通过点通过点 的所有直线；的所有直线； B B）通过点）通过点 的所有直线；的所有直线； C C）通过点）通过点 且不垂直于且不垂直于x x轴的所有直轴的所有直 线；线； D D）通过点）通过点 且去除且去除x x轴的所有直线轴的所有直线. . )3(2xky 3, 2 2 , 3 0 30 0 45 0 60 C C 2021/2/1123 （3 3）一直线过点）一直线过点 , ,其倾斜角等于其倾斜角等于 直线直线 的倾斜角的的倾斜角的2 2倍倍,

13、,求直线求直线 的方的方 程程. . 由直线的点斜式方程由直线的点斜式方程,得得: )1(33xy l xy 3 3 则则: 3 3 tan30 360tan2tank 3 , 1A xy 3 3 解：解： 设所求直线的斜率为设所求直线的斜率为k, k,直线直线 倾斜角为倾斜角为 2021/2/1124 练习练习 4、已知直线、已知直线l过过A（3,-5）和）和B（-2,5）,求直求直 线线l的方程的方程 解解:直线直线l过点过点A（3,-5）和）和B（-2,5） 2 32 55 l k 将将A（3,-5）,k=-2代入点斜式代入点斜式,得得 y(5) =2 ( x3 ) 即即 2x + y

14、1 = 0 2021/2/1125 自我巩固一下自我巩固一下 练习练习: :写出下列直线的斜截式方程写出下列直线的斜截式方程 （1 1）斜率为）斜率为 , ,在在y y轴上的截距为轴上的截距为2;2; （2 2）斜率为）斜率为2,2,与与y y轴交于点（轴交于点（0,40,4） 2 3 2021/2/1126 拓展拓展2: 过点过点(1, 1)且与直线且与直线y2x7平行的直线平行的直线 方程为方程为_ 过点过点(1, 1)且与直线且与直线y2x7垂直的直线垂直的直线 方程为方程为_ 思维拓展思维拓展 12 xy 2 3 2 1 xy 2021/2/1127 数学运用数学运用: 例三例三: :

15、求过点求过点A A（1,2)1,2)且与两坐标轴组成一等腰直角且与两坐标轴组成一等腰直角 三角形的直线方程。三角形的直线方程。 解解: ) 1(212xyxy或 即即: 31xyxy或 直线与坐标轴组成一等腰直角三角形直线与坐标轴组成一等腰直角三角形 由直线的点斜式方程得由直线的点斜式方程得: 1k 又又直线过点（直线过点（1,21,2） 1 l O O y y x x A A 2 l 2021/2/1128 如果直线如果直线 的斜率为的斜率为 ，且与，且与 轴的交点为轴的交点为 ， 代入直线的点斜式方程，得：代入直线的点斜式方程，得： lyk 0 xkby b, 0 也就是也就是:bkxy

16、x y O l 0 P b 我们把直线与我们把直线与 轴交点的纵坐标轴交点的纵坐标 b叫做直线在轴上的叫做直线在轴上的截距截距 y 该方程由直线的斜率与它在该方程由直线的斜率与它在 轴上的截距确定，轴上的截距确定， 所以该方程叫做直线的所以该方程叫做直线的斜截式方程斜截式方程，简称，简称斜截式斜截式 y 2021/2/1129 观察方程观察方程 ，它的形式具有什么特点？，它的形式具有什么特点？bkxy 我们发现，左端我们发现，左端 的系数恒为的系数恒为1，右端，右端 的系的系 数数 和常数项和常数项 均有明显的几何意义：均有明显的几何意义： b yx k k b 是直线的斜率，是直线的斜率，

17、是直线在是直线在 轴上的截轴上的截 距距 y 2021/2/1130 学习数学要善于发现问题学习数学要善于发现问题 比较直线的点斜式方程比较直线的点斜式方程: :y-y0=k(x-x0)与与 一次函数解析式一次函数解析式: :y=kx+b, ,你有什么发现你有什么发现? ? bkxy斜截式方程: 斜率截距 系数为1 2021/2/1131 方程方程 与我们学过的一次函数的表达与我们学过的一次函数的表达 式类似我们知道，一次函数的图象是一条直线你式类似我们知道，一次函数的图象是一条直线你 如何从直线方程的角度认识一次函数如何从直线方程的角度认识一次函数 ？ 一次函数中一次函数中 和和 的几何意义

18、是什么？的几何意义是什么？ bkxy bkxy kb 你能说出一次函数你能说出一次函数 及及 图象的特点吗？图象的特点吗？ xyxy3, 123xy 2021/2/1132 5写出下列直线的斜截式方程写出下列直线的斜截式方程: (1)斜率是斜率是2,在在y轴上的截距是轴上的截距是3; (2)倾斜角是倾斜角是60,在在y轴上的截距是轴上的截距是6; (3)倾斜角是倾斜角是30,在在y轴上的截距是轴上的截距是0. 2021/2/1133 3.写出斜率为写出斜率为 ,在在y轴上的截距是轴上的截距是-2的直线方程的直线方程. 1 y =x-2 2021/2/1134 例例2 已知直已知直 线线 ，试讨

19、论，试讨论： （1） 的条件是什么？（的条件是什么？（2） 的条件是什的条件是什 么？么？ 21 /ll 222111 :bxkylbxkyl， 21 ll 解：（解：（1）若）若 ，则，则 ，此时，此时 与与 轴的交点不同，即轴的交点不同，即 ；反之，；反之， ，且，且 时，时， 21 /ll 21 kk 21 ll， y 21 bb 21 kk 21 bb 21 /ll （2）若）若 ，则，则 ；反之，；反之， 时，时， 21 ll 1 21 kk1 21 kk 21 ll 2021/2/1135 例例2 已知直已知直 线线 ，试讨论，试讨论： （1） 的条件是什么？（的条件是什么？（2）

20、 的条件是什的条件是什 么？么？ 21 /ll 222111 :bxkylbxkyl， 21 ll 解解: 于是我们得到于是我们得到,对于直线对于直线: 222111 :bxkylbxkyl， . 1 21 kk 21 /ll 21 ll 21 kk 21 bb ,且且 ； 2021/2/1136 拓展拓展1: 过点过点(2, 1)且平行于且平行于x轴的直线方程为轴的直线方程为_ 过点过点(2, 1)且平行于且平行于y轴的直线方程为轴的直线方程为_ 过点过点(2, 1)且过原点的直线方程为且过原点的直线方程为_ 过点过点(2, 1)且过点且过点(1, 2)的直线方程为的直线方程为_ 思维拓展思

21、维拓展 1y 2x xy 2 1 03 yx 2021/2/1137 （1）直线的点斜式方程）直线的点斜式方程: （2）直线的斜截式方程）直线的斜截式方程: 00 xxkyy bkxy x y O l P0 kl的斜率为直线 x y O l 0 P b kl的斜率为直线 2021/2/1138 注意注意: 直线上任意一点直线上任意一点P与这条直线上与这条直线上 一个定点一个定点P1所确定的斜率都相等。所确定的斜率都相等。 当当P点与点与P1重合时重合时,有有x=x1,y=y1,此时满足此时满足y- y1=k（x-x1），所以直线），所以直线l上所有点的坐标都上所有点的坐标都 满足满足y-y1=

22、k（x-x1），而不在直线），而不在直线l上的点，显上的点，显 然不满足（然不满足（y-y1）/（x-x1）=k即不满足即不满足y-y1=k （x-x1），因此），因此y-y1=k（x-x1）是直线）是直线l的方程。的方程。 如直线如直线l过过P1且平行于且平行于x轴轴,则它的斜率则它的斜率k=0, 由点斜式由点斜式 知方程为知方程为y=y0;如果直线如果直线l过过P1且平行且平行 于于Y轴轴,此时它的倾斜角是此时它的倾斜角是900，而它的斜率不存，而它的斜率不存 在，它的方程不能用点斜式表示，但这时直线在，它的方程不能用点斜式表示，但这时直线 上任一点的横坐标上任一点的横坐标x都等于都等于P

23、1的横坐标所以方的横坐标所以方 程为程为x=x1 P为直线上的任意一点为直线上的任意一点,它的它的 位置与方程无关位置与方程无关 O x y P1 P 返回返回 例例1已知直线已知直线l过点过点A(2,3) (1)若若l与过点与过点(4,4)和和(3,2)的直线的直线l平行平行,求其方程求其方程; (2)若若l与过点与过点(4,4)和和(3,2)的直线的直线l垂直垂直,求其方程求其方程 思路点拨思路点拨首先由斜率公式求出直线首先由斜率公式求出直线l的斜率，再由直的斜率，再由直 线平行与垂直的条件求出直线线平行与垂直的条件求出直线l的斜率，最后由点斜式写出直的斜率，最后由点斜式写出直 线方程线方

24、程 返回返回 1直线直线l的点斜式方程是的点斜式方程是y23(x1),则直线则直线l的的 斜率是斜率是 () A2B1 C3 D3 答案答案:C 返回返回 2写出下列直线的点斜式方程写出下列直线的点斜式方程: (1)经过点经过点A(2,5),斜率是斜率是4; (2)经过点经过点B(2,3),倾斜角是倾斜角是45; 解解:(1)由点斜式方程可知由点斜式方程可知,所求直线的点斜式方程为所求直线的点斜式方程为y 54(x2) (2)直线的倾斜角为直线的倾斜角为45, 此直线的斜率此直线的斜率ktan451. 直线的点斜式方程为直线的点斜式方程为y3x2. 返回返回 解解: (3)直线与直线与x轴平行

25、轴平行,倾斜角为倾斜角为0,斜率斜率k0. 直线的点斜式方程为直线的点斜式方程为y10(x1),即即y1. 2写出下列直线的点斜式方程写出下列直线的点斜式方程: (3)经过点经过点C(1,1),与与x轴平行轴平行 返回返回 例例2已知直线已知直线l1的方程为的方程为y2x3,l2的方的方 程为程为y4x2,直线直线l与与l1平行且与平行且与l2在在y轴上的截距轴上的截距 相同相同,求直线求直线l的方程的方程 精解详析精解详析由斜截式方程知直线由斜截式方程知直线l1的斜率的斜率k12, 又又ll1,l的斜率的斜率kk12. 由题意知由题意知l2在在y轴上的截距为轴上的截距为2, l在在y轴上的截距轴上的截距b2， 由斜截式可得直线由斜截式可得直线l的方程为的方程为y2x2. 返回返回 3已知直线已知直线l的倾斜角为的倾斜角为60,在在y轴上的截距为轴上的截距为2, 则直线则直线l的斜截式方程为的斜截式方程为_ 返回返回 4直线直线l的方程为的方程为ya(a1)(x2),若直线若直线l在在 y轴上的截距为轴上的截距为6,则则a_. 返回返回 例例3（12分分)直线直线l过定点过定点A(2,3),且与两坐标且与两坐标 轴围成的三角形的面积为轴围成的三角形的面积为4,求直线求直线