59.非动态探究题（解析版）2021年中考数学二轮复习重难题型突破

1、类型一 非动态探究题【典例1】综合与实践问题情境：如图，点为正方形内一点，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接猜想证明：（1）试判断四边形的形状，并说明理由；（2）如图，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明；解决问题：（3）如图，若，请直接写出的长【答案】（1）四边形是正方形，理由详见解析；（2），证明详见解析；（3）【解析】【分析】（1）由旋转可知：，,再说明可得四边形是矩形，再结合即可证明；（2）过点作，垂足为，先根据等腰三角形的性质得到，再证可得，再结合、即可解答；（3）过E作EGAD，先说明1=2，再设EF=x、则BE=FE=EF=BE=x、CE=AE=3+

2、x，再在RtAEB中运用勾股定理求得x，进一步求得BE和AE的长，然后运用三角函数和线段的和差求得DG和EG的长，最后在RtDEG中运用勾股定理解答即可【详解】解：（1）四边形是正方形理由：由旋转可知：，又，四边形是矩形四边形是正方形；（2）证明：如图，过点作，垂足为，则，四边形是正方形，；【典例2】数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图，正方形的边长为，P为边延长线上的一点，E为DP的中点，DP的垂直平分线交边DC于M，交边AB的延长线于N.当CP=6时，EM与EN的比值是多少？经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E作直线平行于BC交DC，分别于F，G，如图，则可得：，因为，所以.可

3、求出和的值，进而可求得EM与EN的比值.(1) 请按照小明的思路写出求解过程.(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由. 【答案】（1）解：过作直线平行于交，分别于点， 则，.，. ，. （2）证明：作交于点，则，.，.，. 【典例3】已知：在AOB与COD中，OA=OB，OC=OD，AOB=COD=90（1）如图1，点C、D分别在边OA、OB上，连结AD、BC，点M为线段BC的中点，连结OM，则线段AD与OM之间的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）如图2，将图1中的COD绕点O逆时针旋转，旋转角为（090）连结

4、AD、BC，点M为线段BC的中点，连结OM请你判断（1）中的两个结论是否仍然成立若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，将图1中的COD绕点O逆时针旋转到使COD的一边OD恰好与AOB的边OA在同一条直线上时，点C落在OB上，点M为线段BC的中点请你判断（1）中线段AD与OM之间的数量关系是否发生变化，写出你的猜想，并加以证明【思路点拨】（1）AD与OM之间的数量关系为AD=2OM，位置关系是ADOM；（2）（1）中的两个结论仍然成立，利用中位线定理得到FC=2OM，利用SAS得到三角形AOD与三角形FOC全等，利用全等三角形的对应边相等得到FC=AD，等量代换得到AD=2OM；由

5、OM为三角形BCF的中位线，利用中位线定理得到OM与CF平行，利用两直线平行同位角相等得到BOM=F，由全等三角形的对应角相等得到F=OAD，等量代换得到BOM=OAD，根据BOM与AOM互余，得到OAD与AOM互余，即可确定出OM与AD垂直，得证；（3）（1）中线段AD与OM之间的数量关系没有发生变化，理由为：如图3所示，延长DC交AB于E，连结ME，过点E作ENAD于N，由三角形COD与三角形AOB都为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到四个角为45度，进而得到三角形MCE与三角形AED为等腰直角三角形，根据EN为直角三角形ADE斜边上的中线得到AD=2EN，再利用三个角为直角的四

6、边形为矩形得到四边形OMEN为矩形，可得出EN=OM，等量代换得到AD=2OM【答案与解析】解：（1）线段AD与OM之间的数量关系是AD=2OM，位置关系是ADOM；（2）（1）的两个结论仍然成立，理由为：证明：如图2，延长BO到F，使FO=BO，连结CF，M为BC中点，O为BF中点，MO为BCF的中位线，FC=2OM，AOB=AOF=COD=90，AOB+BOD=AOF+AOC，即AOD=FOC，在AOD和FOC中，AODFOC（SAS），FC=AD，AD=2OM，MO为BCF的中位线，MOCF，MOB=F，又AODFOC，DAO=F，MOB+AOM=90，DAO+AOM=90，即ADOM；

7、（3）（1）中线段AD与OM之间的数量关系没有发生变化，理由为：证明：如图3，延长DC交AB于E，连结ME，过点E作ENAD于N，OA=OB，OC=OD，AOB=COD=90，A=D=B=BCE=DCO=45，AE=DE，BE=CE，AED=90，DN=AN，AD=2NE，M为BC的中点，EMBC，四边形ONEM是矩形NE=OM，AD=2OM故答案为：AD=2OM；ADOM（3）如图：过E作EGADGE/AB1=2设EF=x，则BE=FE=EF=BE=x，CE=AE=3+x在RtAEB中，BE=x，AE=x+3，AB=15AB2=BE2+AE2，即152=x2+（x+3）2，解得x=-12（舍

8、），x=9BE=9,AE=12sin1= ,cos1=sin2= ,cos2=AG=7.2,GE=9.6DG=15-7.2=7.8DE=【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转变换、勾股定理、解三角形等知识，综合应用所学知识是解答本题的关键【典例4】正方形ABCD中，将一个直角三角板的直角顶点与点A重合，一条直角边与边BC交于点E（点E不与点B和点C重合），另一条直角边与边CD的延长线交于点F（1）如图，求证：AE=AF；（2）如图，此直角三角板有一个角是45，它的斜边MN与边CD交于G，且点G是斜边MN的中点，连接EG，求证：EG=BE+DG； （3）在（2）的条件下，如果=，那么点G是否一定是

9、边CD的中点？请说明你的理由【答案与解析】解：（1）如图，四边形ABCD是正方形，B=BAD=ADC=C=90，AB=ADEAF=90，EAF=BAD，EAFEAD=BADEAD，BAE=DAF在ABE和ADF中，ABEADF（ASA）AE=AF；（2）如图，连接AG，MAN=90，M=45，N=M=45，AM=AN点G是斜边MN的中点，EAG=NAG=45EAB+DAG=45ABEADF，BAE=DAF，AE=AF，DAF+DAG=45，即GAF=45，EAG=FAG在AGE和AGF中，AGEAGF（SAS），EG=GFGF=GD+DF，GF=GD+BE，EG=BE+DG；（3）G不一定是边

10、CD的中点理由：设AB=6k，GF=5k，BE=x，CE=6kx，EG=5k，CF=CD+DF=6k+x，CG=CFGF=k+x，在RtECG中，由勾股定理，得（6kx）2+（k+x）2=（5k）2，解得：x1=2k，x2=3k，CG=4k或3k点G不一定是边CD的中点【典例4】已知，点D为直线BC上一动点（点D不与点B、C重合），BAC=90，AB=AC，DAE=90，AD=AE，连接CE（l）如图1，当点D在线段BC上时，求证：BDCE，CE=BCCD；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CE、BC、CD三条线段之间的关系；（3）如图3，当点O在线段BC的反

11、向延长线上时，且点A、E分别在直线BC的两侧，点F是DE的中点，连接AF、CF，其他条件不变，请判断ACF的形状，并说明理由【答案与解析】（1）证明：如图1中，BAC=DAE=90，BAD=CAE，在ABD和ACE中，ABDACE，ABD=ACE=45，BD=CE，ACB+ACE=90ECB=90，BDCE，CE=BCCD（2）如图2中，结论：CE=BC+CD，理由如下：BAC=DAE=90，BAD=CAE，在ABD和ACE中，ABDACE，BD=CE，CE=BC+CD（3）如图3中，结论：ACF是等腰三角形理由如下：BAC=DAE=90，BAD=CAE，在ABD和ACE中，ABDACE，AB

12、D=ACE，ABC=ACB=45，ACE=ABD=135，DCE=90，又点F是DE中点，AF=CF=DE，ACF是等腰三角形【典例5】如图(a)、(b)、(c)，在ABC中，分别以AB，AC为边，向ABC外作正三角形、正四边形、正五边形，BE，CD相交于点O(1)如图(a)，求证：ADCABE； 探究：图(a)中，BOC_；图(b)中，BOC_；图(c)中，BOC_；(2)如图(d)，已知：AB，AD是以AB为边向ABC外所作正n边形的一组邻边；AC，AE是以AC为边向ABC外所作正n边形的一组邻边BE，CD的延长相交于点O猜想：图(d)中，BOC_；(用含n的式子表示)根据图(d)证明你的

13、猜想【答案与解析】 (1)证法一：ABD与ACE均为等边三角形，ADAB，ACAE，且BADCAE60BAD+BACCAE+BAC，即DACBAEADCABE证法二：ABD与ACE均为等边三角形，ADAB，ACAE，且BADCAE60ADC可由ABE绕着点A按顺时针方向旋转60得到ABEADC120，90，72(2)证法一：依题意，知BAD和CAE都是正n边形的内角，ABAD，AEAC，BADCAEBADDAECAEDAE，即BAEDACABEADCABEADCADC+ODA180，ABO+ODA180ABO+ODA+DAB+BOC360BOC+DAB180BOC180DAB证法二：延长BA交

14、CO于F，证BOCDAF180-BAD证法三：连接CE证BOC180CAE【典例6】如图(a)，梯形ABCD中，ADBC，ABC90， AD9，BC12，ABa，在线段BC上任取一点P(P不与B，C重合)，连接DP，作射线PEDP，PE与直线AB交于点E (1)试确定CP3时，点E的位置； (2)若设CPx(x0)，BEy(y0)，试写出y关于自变量x的函数关系式；(3)若在线段BC上能找到不同的两点P1，P2，使按上述作法得到的点E都与点A重合，试求出此时a的取值范围【答案与解析】 解：(1)作DFBC，F为垂足 当CP3时，四边形ADFB是矩形，则CF3 点P与点F重合又BFFD，此时点E

15、与点B重合 (2)(i)当点P在BF上(不与B，F重合)时，(见图(a)EPB+DPF90，EPB+PEB90，DPFPEB RtPEBARtDPF 又 BEy，BP12-x，FPx-3，FDa，代入式，得，整理，得 (ii)当点P在CF上（不与C，F重合）时，（见上图(b)同理可求得由FP3-x得 (3)解法一：当点E与A重合时，yEBa，此时点P在线段BF上由式得整理得 在线段BC上能找到两个不同的点P1与P2满足条件， 方程有两个不相等的正实根 (-15)24(36+a2)0 解得又a0， 解法二：当点E与A重合时，APD90，点P在以AD为直径的圆上设圆心为M，则M为AD的中点 在线段

16、BC上能找到两个不同的点P1与P2满足条件， 线段BC与M相交即圆心M到BC的距离d满足 又ADBC，da由式得【典例7】点A，B分别是两条平行线m，n上任意两点，在直线n上找一点C，使BCkAB连接AC，在直线AC上任取一点E，作BEFABC，EF交直线m于点F(1)如图(a)，当k1时，探究线段EF与EB的关系，并加以说明；说明：如果你经过反复探索没有解决问题，请写出探索过程(要求至少写三步)； 在完成之后，可以自己添加条件(添加的条件限定为ABC为特殊角)，在图(b)中补全图形，完成证明(2)如图(c)，若ABC90，kl，探究线段EF与EB的关系，并说明理由【答案与解析】解：(1)EFEB证明：如图(d)，以E为圆心，EA为半径画弧交直线m于点M，连接EMEMEA，EMAEAMBCkAB，k1，BCABCABACBmn，MACACB，FABABCMACCABCABEMABEFABC，BEFFABAHFEHB，AFEABE AEBMEF EFEB探索思路：如上图(a)，BCkAB，k1，BCABCABACBmn，MACACB添加条件：ABC90证明：如图(e)，在直线