压轴01 函数的基本性质——奇偶性、单调性、周期性 备战2021年高考数学必刷压轴题精选精炼（解析版）

1、压轴01 函数的基本性质奇偶性、单调性、周期性一、单选题1. 已知数f(x)是定义域在R上的偶函数，且f(x+1)=f(x1)，当x0,1时，f(x)=x3，则关于x的方程f(x)=|cosx|在12,52上所有实数解之和为（ ）A. 1B. 3C. 6D. 7【答案】D【解析】解：因为f(x+1)=f(x1)，则f(x)=f(x2)，所以f(x)的最小正周期为2，当x1,0时，x0,1，则f(x)=(x)3=x3=f(x)，则f(x)=x3，x1,0，又由f(x+1)=f(1x)得f(x)的图象也关于x=1对称，作出函数f(x)和y=|cosx|在12,52上图象如图：由图象可得，y=f(x

2、)与y=|cosx|在12,52有7个交点，除x=1外，两两关于x=1对称，则实数解的和为23+1=7，故选：D2. 已知定义在R上函数f(x)的图象是连续不断的，满足f(1x)=f(1+x)，f(x)=f(x)，且f(x)在0,1上单调递增，若a=f(log23)，b=f(10)，c=f(2020)，则（ ）A. abcB. acbC. cbaD. bc0，b0，f(2020)=f(5054)=f(0)=0，所以c=0，因此bc0且x1时，fx=xlnx，则fx=lnx1lnx2，由fx=0得x=e；由fx0得xe，因此随x变化，fx和fx的变化情况如下表：x0,11,eee,+fx0+fx

3、e因为当x0时，fx0且函数fx是奇函数，所以作函数y=fx、y=e和y=2e的图象如下：由图象可知：函数y=e和y=2e与y=fx图象的交点数为5，因此原方程的实根个数为5故选D4. 已知函数f(x)=12x2+alnx，若对任意两个不相等的正数x1，x2，都有f(x1)f(x2)x1x24恒成立，则a的取值范围为（ ）A. 4,+)B. (4,+)C. (,4D. (,4)【答案】A【解析】解：因为函数f(x)=12x2+alnx，若对任意两个不相等的正数x1，x2，都有f(x1)f(x2)x1x24恒成立，所以fx=ax+x4x0恒成立，所以a4xx2恒成立，令gx=4xx2=x22+4

4、，则agxmax，因为gx=4xx2为开口向下，对称轴为x=2的抛物线，可得a4故选A5. 定义在R上偶函数f(x)满足f(x)=f(2x)，且当x1,1时，f(x)=2|x|.若在区间3,3上，函数g(x)=f(x)tx2t恰有五个不同的零点，则实数t的取值范围是（ ）A. 0,25B. 0,23C. 25,23D. 23,+【答案】A【解析】解：定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x)，f(2x)=f(x)，函数f(x)是偶函数，且函数的图象关于x=1对称，故函数的周期是2，若在区间3,3上方程g(x)=f(x)tx2t恰有五个不同的零点，则在区间3,3函数y=f(x)与函数y=tx

5、+2t的图象恰有五个不同的交点，当x1,1时，f(x)=2|x|可以得到函数在区间3,3上的图象，直线y=tx+2t=t(x+2)过定点(2,0)，当y=tx+2t经过A(1,2)时，两个图象有3个交点，此时t+2t=3t=2，解得t=23，不符合题意；当y=tx+2t经过B(3,2)时，两个图象有5个交点，此时3t+2t=5t=2，解得t=25，要使函数y=f(x)与函数y=tx+2t的图象在3,3恰有五个不同的交点，由图可知，则00时，f(x)=sinxcosx，则x0时，f(x)=（ ）A. sinx+cosxB. sinxcosxC. sinx+cosxD. sinxcosx【答案】A

6、【解析】解：设x0，当x0时，f(x)=sinxcosx，f(x)=sin(x)cos(x)=sinxcosx，又y=f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)=f(x)，f(x)=sinxcosx，f(x)=sinx+cosx，则在xf(cos)B. f(cos)f(cos)C. f(sin)f(cos)D. f(sin)2，即2，所以sinsin2=cos，又sin,cos0,1，所以故选A9. 已知函数f(x)=exxax2,x(0,+)，当x2x1时，不等式fx1x2fx2x1x1时，不等式f(x1)x2f(x2)x10可变为x1f(x1)0，由g(x)=(x2)exx3,x0知，函数g(

7、x)在(0,2),(2,+)，所以g(x)min=g(2)=e24，所以3ag(x)min=e24，即ae212所以实数a的取值范围为：故选A10. 函数f(x)=lg1+x1x+lg(x+x2+1)+1，则关于x的不等式f(x)+f(2x1)2的解集为（ ）A. (0,13)B. (13,1)C. (13,+)D. (,13)【答案】A【解析】解：设gx=lg1+x1x+lgx+x2+1，定义域为1,1，则gx=lg1x1+x+lgx+x2+1=lg1+x1x+lgx+x2+1=gx，所以函数gx=lg1+x1x+lgx+x2+1是奇函数，所以有gx=gx，易知g(x)在1,1上单调递增，则

8、f(x)+f(2x1)2，即g(x)+1+g(2x1)+12，即g(x)g(2x1)，即g(x)g(2x+1)，所以1x112x+11x2x+1,计算得出0x13，则原不等式的解集为0,13故选A二、填空题11. 已知函数f(x)=(x+1)sinx+cosx，若对于任意的x1,x20,2(x1x2)，均有fx1fx2aex1ex2成立，则实数a的取值范围为_【答案】1,+)【解析】解：由题意，函数f(x)=xsinx+sinx+cosx，求导得，则由x0,2可知f(x)0恒成立，故f(x)在x0,2单调递增，不妨设x1x2，则|f(x1)f(x2)|=f(x2)f(x1),|ex1ex2|=

9、ex2ex1，从而有f(x2)f(x1)a(ex2ex1)恒成立，即f(x2)aex2f(x1)aex1恒成立，设g(x)=f(x)aex，则g(x)在x0,2单调递减，所以恒成立，整理得恒成立，设，求导得，所以单调递减，则要恒成立，只要，故答案为1,+)12. 定义在R上的函数fx满足：f(x)+f(x)=2x2，且当x0时，f(x)2x，则不等式f(x)+4f(2x)+4x的解集为 【答案】【解析】解：根据题意，令g(x)=f(x)x2，若f(x)+f(x)=2x2，变形有f(x)x2+f(x)(x)2=0，即g(x)+g(x)=0，故g(x)为奇函数，由g(x)=f(x)x2，则g(x)

10、=f(x)2x，又当x0时，f(x)2x，则x0时，g(x)=f(x)2x0恒成立，即g(x)在(,0)上为减函数，又由g(x)为奇函数，则g(x)在(0,+)上也为减函数，因为当x=0时，f(0)=0，则g(0)=f(0)02=0，综上所述g(x)为R上的减函数，则不等式f(x)+4f(2x)+4x，即f(x)x2f(2x)+4x4x2，所以f(x)x2f(2x)2x2，即gxg2x，则有x2x，解得x1，故不等式f(x)+4f(2x)+4x的解集为故答案为13. 已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f(x)，满足f(x)f(x)，且f(x+2)为偶函数，f(4)=1，则不等式f(x)

11、ex的解集为_【答案】(0,+)【解析】解：令g(x)=f(x)ex，则g(x)=f(x)exf(x)ex(ex)2=f(x)f(x)ex，f(x)f(x)，g(x)0g(x)在R上单调递减函数f(x+2)是偶函数，函数f(x+2)=f(x+2)，函数关于x=2对称，f(0)=f(4)=1，原不等式等价为g(x)1，g(0)=f(0)e0=1g(x)1g(x)0不等式f(x)ex的解集为(0,+)故答案为：(0,+)14. 已知定义在R上的奇函数f(x)，设其导函数为f(x)，当x(,0)时，恒有xf(x)F(2x1)的实数x的取值范围为_【答案】13,1212,1【解析】解：函数f(x)是定

12、义在R上的奇函数，f(x)=f(x)，当x,0时，恒有xf(x)f(x)，即xf(x)f(x)，F(x)=f(x)x，易知x0，Fx=xfxfxx2，故当x,0时，FxF(2x1)，则有x02x10x2x1，解得x13,1212,1，故答案为13,1212,1三、解答题15. 已知向量a和b，|a|=|b|=1，且|a+kb|=3|akb|(1)若a与b的夹角为60，求k的值；(2)记f(k)=ab+14(k23k1k+3)，是否存在实数x，使得fk1tx对任意的t1,1恒成立？若存在，求出实数x的取值范围；若不存在，试说明理由【答案】解：(1)|a|=|b|=1，a与b的夹角为60，则ab=

13、|a|b|cos60=1112=12，由|a+kb|=3|akb|，两边平方可得，(a+kb)2=3(akb)2，a2+2kab+k2b2=3(a22kab+k2b2)，即有1+k+k2=3(1k+k2)，解得k=1；(2)由(1)得，a2+2kab+k2b2=3(a22kab+k2b2)即1+k2+2kab=31+k22kab即可得ab=14(k+1k)，f(k)=14(k+1k)+14(k23k1k+3)=14(k22k+3)=14(k1)2+2，f(k)min=12，因为f(k)1tx对于任意t1,1恒成立，f(k)min1tx，所以121tx，即tx12对于任意t1,1恒成立，构造函数

14、g(t)=tx12，从而g(1)0g(1)0x12x12由此可知不存在实数x使之成立.16. 已知函数f(x)=|x+2|2x1|(1)求f(x)5的解集；(2)若关于x的不等式|b+2a|2ba|a|(|x+1|+|xm|)(a,bR,a0)能成立，求实数m的取值范围【答案】解：(1)f(x)=|x+2|2x1|=x3,x12，可得x5或2x123x+15或x123x5，解得x(2,8)，故f(x)5的解集为(2,8)(2)由|b+2a|2ba|a|(|x+1|+|xm|)，(a0)能成立，得|b+2a|2ba|a|x+1|+|xm|能成立，即|ba+2|2ba1|x+1|+|xm|能成立，

15、令ba=t，则|t+2|2t1|x+1|+|xm|能成立，由(1)知，|t+2|2t1|52，又|x+1|+|xm|1+m|，|1+m|52，即72m32，实数m的取值范围：72,3217. 设函数f(x)=kax2ax(a0,a1,kR)，f(x)是定义域为R的奇函数(1)确定k的值；(2)若f(1)=3，函数g(x)=a2x+a2x2f(x)，x0,2，求g(x)的最小值；(3)若a=3，是否存在正整数，使得2f(2x)(+1)f(x)对x2,1恒成立？若存在，请求出所有的正整数；若不存在，请说明理由【答案】解：(1)f(x)=kax2ax是定义域为R的奇函数，f(0)=0，代入可得k=2

16、(2)由(1)得f(x)=2ax2ax，f(x)是定义域为R的奇函数，设x1，x2R，且x11时，ax1ax20，f(x1)f(x2)1时，f(x)在定义域R上单调递增当f(1)=3时，2a2a1=3，即2a23a2=0，解得a=2或a=12(舍去)则y=g(x)=22x+22x2(22x22x)=22x+22x4(2x2x)，当x0,2，令t=2x2x,t0,154，y=t24t+2，当t=2时，ymin=2(3)由题意得，2f(2x)(+1)f(x)，4(32x32x)2(+1)(3x3x)，在x2,1恒成立，4(3x+3x)(3x3x)2(+1)(3x3x)，当x2,1时，3x0，解得x0，即函数的定义域为x|x0. (2)由，且f(x)=log2(3x1)，可得g(x)=log2