49.与旋转有关的探究题（解析版）2021年中考数学二轮复习重难题型突破

1、类型四 与旋转有关的探究题【典例1】如图1，在中，点D，E分别在边上，且，连接现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，如图2，连接 （1）当时，求证：；（2）如图3，当时，延长交于点，求证：垂直平分；（3）在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角的度数【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）的面积的最大值为，旋转角的度数为【解析】【分析】（1）利用 “SAS”证得ACEABD即可得到结论；（2）利用 “SAS”证得ACEABD，推出ACE=ABD，计算得出AD=BC=，利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论；（3）观察图形，当点D在线段BC的垂直平分线上时，的面积取得最大值

2、，利用等腰直角三角形的性质结合三角形面积公式即可求解【详解】（1）根据题意：AB=AC，AD=AE，CAB=EAD=90，CAE+BAE =BAD+BAE =90，CAE=BAD，在ACE和ABD中，ACEABD(SAS)，CE=BD；（2）根据题意：AB=AC，AD=AE，CAB=EAD=90，在ACE和ABD中，ACEABD(SAS)，ACE=ABD，ACE+AEC=90，且AEC=FEB，ABD+FEB=90，EFB=90，CFBD，AB=AC=，AD=AE=1，CAB=EAD=90，BC=AB =，CD= AC+ AD=，BC= CD，CFBD，CF是线段BD的垂直平分线；（3）中，边

3、BC的长是定值，则BC边上的高取最大值时的面积有最大值，当点D在线段BC的垂直平分线上时，的面积取得最大值，如图：AB=AC=，AD=AE=1，CAB=EAD=90，DGBC于G，AG=BC=，GAB=45，DG=AG+AD=，DAB=180-45=135，的面积的最大值为：，旋转角【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题【典例2】如图，在RtABC中，ACB90，A30，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点(不与点B、点C重合)，连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60

4、，得到线段PQ，连接BQ.(1)如图，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系；(2)如图，当点P在CB延长线上时，(1)中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；(3)如图，当点P在BC延长线上时，若BPO45，AC，请直接写出BQ的长【答案】解：(1)CPBQ; 【解法提示】如解图，连接OQ，由旋转可知，PQOP，OPQ60，POQ是等边三角形，OPOQ，POQ60，在RtABC中，O是AB中点，OCOAOB，BOC2A60POQ，COPBOQ，在COP和BOQ中，COPBOQ(SAS)，CPBQ；(2)成立，理由如下：如解图，连接OQ，图由旋转知PQOP，

5、OPQ60，POQ是等边三角形，OPOQ，POQ60，在RtABC中，O是AB中点，OCOAOB，BOC2A60POQ，COPBOQ，在COP和BOQ中，COPBOQ(SAS)，CPBQ；(3)BQ.【解法提示】在RtABC中，A30，AC，BCACtanA，如解图，过点O作OHBC于点H，OHB90BCA，OHAC，O是AB中点，CHBC，OHAC，BPO45，OHP90，BPOPOH，PHOH，CPPHCH，连接OQ，同(1)的方法得，BQCP.【典例3】在RtABC中,BAC=90,B=30,线段AD是BC边上的中线,如图1,将ADC沿直线BC平移,使点D与点C重合,得到FCE,如图2,

6、再将FCE绕点C顺时针旋转,设旋转角为(090),连接AF,DE(1)在旋转过程中,当ACE=150时,求旋转角的度数；(2)探究旋转过程中四边形ADEF能形成哪些特殊四边形？请说明理由【解析】(1)由题意分析可知此问需分两种情况讨论：点E和点D在直线AC两侧；点E和点D在直线AC同侧；(2)在旋转过程中,总是存在AC=CE,DC=CE.由图形的对称性可知,将会出现两种对角线相等的特殊四边形：等腰梯形和矩形.抓住平移和旋转的性质,较易证明【答案】：(1)在图1中,BAC=90,B=30,ACE=BAC+B=120如图2,当点E和点D在直线AC两侧时,由于ACE=150,=150-120=30.

7、当点E和点D在直线AC同侧时,由于ACB=180-BAC-B=60,DCE=ACE-ACB=150-60=90.=180-DCE=90.旋转角为30或90;(2)四边形ADEF能形成等腰梯形和矩形BAC=90,B=30,AC=BC又AD是BC边上的中线,AD=DC=BC=AC.ADC为正三角形当=60时,如图3,ACE=120+60=180.CA=CE=CD=CF,四边形ADEF为矩形当60时,ACF120,DCE=360-60-60-ACF120显然DEAFAC=CF,CD=CE,2FAC+ACF=2CDE+DCE=180.ACF+DCE=360-60-60=240,FAC+CDE=60.D

8、AF+ADE=120+60=180.AFDE又DEAF,AD=EF,四边形ADEF为等腰梯形【典例4】已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFBD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG（1）直接写出线段EG与CG的数量关系；（2）将图1中BEF绕B点逆时针旋转45，如图2所示，取DF中点G，连接EG，CG你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明 （3）将图1中BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）FBACE图3DFBADCEG图2FBADCEG图1【答案】解：（1）CG=EG（2）（1）

9、中结论没有发生变化，即EG=CG证明：连接AG，过G点作MNAD于M，与EF的延长线交于N点FBADCEGMNN图 2在DAG与DCG中， AD=CD，ADG=CDG，DG=DG， DAGDCG AG=CG在DMG与FNG中， DGM=FGN，FG=DG，MDG=NFG， DMGFNG MG=NGFBADCE图3G 在矩形AENM中，AM=EN 在RtAMG 与RtENG中， AM=EN， MG=NG， AMGENG AG=EG EG=CG （3）（1）中的结论仍然成立【典例5】如图1，已知ABC=90，ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连结AP，将线段AP绕点

10、A逆时针旋转60得到线段AQ，连结QE并延长交射线BC于点F.（1）如图2，当BP=BA时，EBF=，猜想QFC= ；（2）如图1，当点P为射线BC上任意一点时，猜想QFC的度数，并加以证明；图1ACBEQFP（3）已知线段AB=，设BP=，点Q到射线BC的距离为y，求y关于的函数关系式图2ABEQPFC【答案】解: （1） 30 = 60 （2）=60不妨设BP, 如图1所示 BAP=BAE+EAP=60+EAP EAQ=QAP+EAP=60+EAP BAP=EAQ 在ABP和AEQ中 AB=AE，BAP=EAQ， AP=AQABPAEQ（SAS） AEQ=ABP=90分BEF=60 (事实

11、上当BP时，如图2情形，不失一般性结论仍然成立，不分类讨论不扣分）(3)在图1中，过点F作FGBE于点GABE是等边三角形 BE=AB=，由（1）得30在RtBGF中， BF= EF=2ABPAEQ QE=BP= QF=QEEF过点Q作QHBC，垂足为H在RtQHF中，（x0）即y关于x的函数关系式是：【典例6】将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB，记旋转角为，连接BB，过点D作DE垂直于直线BB，垂足为点E，连接DB，CE（1）如图1，当60时，DEB的形状为，连接BD，可求出的值为；（2）当0360且90时，（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果

12、不成立，请说明理由；当以点B，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值【分析】（1）由旋转的性质得出ABAB，BAB60，证得ABB是等边三角形，可得出DEB是等腰直角三角形证明BDBCDE，得出（2）得出EDBEBD45，则DEB是等腰直角三角形，得出，证明BDBEDC，由相似三角形的性质可得出分两种情况画出图形，由平行四边形的性质可得出答案【解答】解：（1）AB绕点A逆时针旋转至AB，ABAB，BAB60，ABB是等边三角形，BBA60，DABBADBAB906030，ABABAD，ABDADB，ABD75，DBE180607545，DEBE，BDE904545，DEB是等腰

13、直角三角形四边形ABCD是正方形，BDC45，同理，BDB+BDC45，EDC+BDC45，BDBEDC，BDBCDE，故答案为：等腰直角三角形，（2）两结论仍然成立证明：连接BD，ABAB，BAB，ABB90，BAD90，ADAB，ABD135，EBDABDABB13545，DEBB，EDBEBD45，DEB是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，BDC45，EDBBDC，EDB+EDBBDC+EDB，即BDBEDC，BDBEDC，3或1若CD为平行四边形的对角线，点B在以A为圆心，AB为半径的圆上，取CD的中点连接BO交A于点B，过点D作DEBB交BB的延长线于点E，由（1）可知BED是

14、等腰直角三角形，BDBE，由（2）可知BDBCDE，且BBCE+1+1+1+13若CD为平行四边形的一边，如图3，点E与点A重合，1综合以上可得3或1【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键【典例7】如图1，已知，点D在上，连接并延长交于点F（1）猜想：线段与的数量关系为_；（2）探究：若将图1的绕点B顺时针方向旋转，当小于时，得到图2，连接并延长交于点F，则（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展：图1中，过点E作，

15、垂足为点G当的大小发生变化，其它条件不变时，若，直接写出的长 【答案】(1)AF=EF；(2)成立，理由见解析；(3)12【解析】【分析】(1) 延长DF到G点，并使FG=DC，连接GE，证明ACFEDG，进而得到GEF为等腰三角形，即可证明AF=GE=EF；(2)证明原理同(1)，延长DF到G点，并使FG=DC，连接GE，证明ACFEDG，进而得到GEF为等腰三角形，即可证明AF=GE=EF；(3)补充完整图后证明四边形AEGC为矩形，进而得到ABC=ABE=EBG=60即可求解【详解】解：(1)延长DF到G点，并使FG=DC，连接GE，如下图所示，DE=AC，BD=BC，CDB=DCB，且

16、CDB=ADF，ADF=DCB，ACB=90，ACD+DCB=90，EDB=90，ADF+FDE=90，ACD=FDE，又延长DF使得FG=DC，FG+DF=DC+DF，DG=CF，在ACF和EDG中，ACFEDG(SAS)，GE=AF，G=AFC，又AFC=GFE，G=GFEGE=EFAF=EF，故AF与EF的数量关系为：AF=EF.故答案为：AF=EF；(2)仍旧成立，理由如下：延长DF到G点，并使FG=DC，连接GE，如下图所示设BD延长线DM交AE于M点，DE=AC，BD=BC，CDB=DCB，且CDB=MDF，MDF=DCB，ACB=90，ACD+DCB=90，EDB=90，MDF+FDE=90，ACD=FDE，又延长DF使得FG=DC，FG+DF=DC+DF，DG=CF，在ACF和EDG中，ACFEDG(SAS)，GE=AF，G=AFC，又AFC=GFE，G=GFEGE=EF，AF=EF，故AF与EF的数量关系为：AF=EF.故答案为：AF=EF；(3)如下图所示：BA=BE，BAE=BEA，BAE=EBG,BEA=EBG，AECG，AEG+G=180，