初中几何辅助线大全

1、初中数学辅助线的添加浅谈人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的,当问 题的条件不够时,添加辅助线构成新图形,形成新关系,使分散 的条件集中,建立已知与未知的桥梁,把问题转化为自己能解决 的问题,这是解决问题常用的策咯。一.添辅助线有二种情况：1按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们，相交后证交角为90 ；证 线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也 可类似添辅助线。2按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基 本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整 时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防 止乱添线，

2、添辅助线也有规律可循。举例如下：(1) 平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都 相交的等第三条直线(2) 等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整 等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的 二边相交得等腰三角形。(3) 等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分 线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重 要线段的基本图形。(4) 直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线 段倍半关系且倍线段是直角三

3、角形的斜边则要添直角三角形斜边 上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。(5) 三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形 进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形 不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有 公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三 角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是 某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三 角形中位线基本图形。(6) 全等三角形：全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等； 如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就 可以

4、添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称 轴翻转。当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角 两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加 方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线(7) 相似三角形：相似三角形有平行线型(带平行线的相似三角形)，相交线 型，旋转型；当出现相比线段重叠在一直线上时(中点可看成比 为1)可添加平行线得平行线型相似三角形。若平行线过端点添 则可以分点或另一端点的线段为平行方向，这类题目中往往有多 种浅线方法。(8) 特殊角直角三角形当出现30, 45, 60, 135, 150度特殊角时可添加特殊角直角 三角形，利用45角直角三角形三

5、边比为1: 1: 丁2；30度角直角 三角形三边比为仁2： J3进行证明(9)半圆上的圆周角出现直径与半圆上的点，添90度的圆周角；出现90度的圆 周角则添它所对弦-一直径；平面几何中总共只有二十多个基本图 形就像房子不外有一砧，瓦，水泥，石灰，木等组成一样。二.基本图形的辅助线的画法仁三角形问题添加辅助线方法方法1:有关三角形中线的题目，常将中线加倍。含有中点的题 目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的 转移，很容易地解决了问题。方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平 分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形 的知识解决问题。方法3

6、：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形， 或利用关于平分线段的一些定理。方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类 题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两 部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。2.平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形(包括矩形、正方形、菱形)的两组对边、对角和对 角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目 的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四 边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下 列几种，举例简解如下：(1) 连对角线或平移对角线：(2)

7、过顶点作对边的垂线构造直角三角形(3) 连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平 行线，构造线段平行或中位线(4) 连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角 形相似或等积三角形。(5) 过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.3 .梯形中常用辅助线的添法梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合， 通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形 问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅 助线有：(1)在梯形内部平移一腰。(2)梯形外平移一腰(3) 梯形内平移两腰(4) 延长两腰(5) 过梯形上底的两端点向下底作高(6)

8、平移对角线(7) 连接梯形一顶点及一腰的中点。(8) 过一腰的中点作另一腰的平行线。(9) 作中位线当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定 不变的、单一的。通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边 形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。4.圆中常用辅助线的添法在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅 助线，架起题设和结论间的桥梁，从而使问题化难为易，顺其自然地 得到解决，因此，灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对提高 学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。(1)见张作弦心距有关弦的问题，常作其弦心距(有时还须作出相应的半径)，通 过垂径平分

9、定理，来沟通题设与结论间的联系。(2) 见直径作圆周角在题目中若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用” 直径所对的圆周角是直角”这一特征来证明问题。(3) 见切线作半径命题的条件中含有圆的切线，往往是连结过切点的半径，利用” 切线与半径垂直”这一性质来证明问题。(4) 两圆相切作公切线对两圆相切的问题，一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的 连心线，通过公切线可以找到与圆有关的角的关系。(5) 两圆相交作公共弦对两圆相交的问题，通常是作出公共弦，通过公共弦既可把两圆 的弦联系起来，又可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来。作辅助线的方法一：中点、中位线，延线，平行线。如遇条件中有中点，中

10、线、中位线等，那么过中点，延长中线或 中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线 是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等 的目的。二：垂线、分角线，翻转全等连。如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法, 并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，这时辅助线的做法 就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。三：边边若相等，旋转做实验。如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合, 然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法 仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中心。故可分“有 心”和“无心”旋转两

11、种。四：造角、平、相似，和、差、积、商见。如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和 差积商，往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时，一般地，有 两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的 某一线段进行平移。故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。”托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代 表）五：两圆若相交，连心公共弦。如果条件中出现两圆相交，那么辅助线往往是连心线或公共弦。六：两圆相切、离，连心，公切线O如条件中出现两圆相切（外切，内切），或相离（内含、外离）， 那么，辅助线往往是连心线或内外公切线。七：切线连直径，直角与半圆。如果条件中出现

12、圆的切线，那么辅助线是过切点的直径或半径使 出现直角；相反，条件中是圆的直径，半径，那么辅助线是过直径（或 半径）端点的切线。即切线与直径互为辅助线。如果条件中有直角三角形，那么作辅助线往往是斜边为直径作辅 助圆，或半圆；相反，条件中有半圆，那么在直径上找圆周角直 角为辅助线。即直角与半圆互为辅助线。八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。如遇弧，则弧上的弦是辅助线；如遇弦，则弦心距为辅助线。如遇平行线，则平行线间的距离相等，距离为辅助线；反之，亦 成立。如遇平行弦，则平行线间的距离相等，所夹的弦亦相等，距离和 所夹的弦都可视为辅助线，反之，亦成立。有时，圆周角，弦切角，圆心角，圆内角和圆外角也存

13、在因果关 系互相联想作辅助线。九：面积找底高，多边变三边。如遇求面积，（在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为 求面积），往往作底或高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考 的关键。如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。另外，我国明清数学家用面积证明勾股定理，其辅助线的做法， 即“割补”有二百多种，大多数为“面积找底高，多边变三边”。三角形中作辅助线的常用方法举例一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，若直接证不出来， 可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几 个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：例1:已知如图1-1:. D、E为ABC内两点，求

14、证：AB+AOBD土DE十CE.证明：(法一)将DE两边延长分别交AB、AC于M、N,在AAMN 中，AM+AN MD + DE+NE； (1)在ZBDM 中，MB+MDBD;(2)在ZCEN 中，CN + NECE;(3)由(1) + (2) + (3)得：AM+AN+MB+MD+CN + NEMD+DE + NE + BD+CEAB+ACBD + DE+ECA（法二：）如图1-2, 延长BD交AC于F,延长CE交BF于G, 在ZABF和ZGFC和AGDE中有：AB+AF BD + DG+GF （三角形两边之和大于第三边）（1）GF+FOGE+CE （同上）（2）DG+GEDE （同上）（3

15、）由（1） + （2） + （3）得：AB+AF+GF+FC+DG+GEBD + DG+GF+GE+CE+DEAAB+AOBD + DE+ECo二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出 来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三 角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外 角定理：例如：如图2T:已知D为ZkABC内的任一点，求证：ZBDOZBACo分析:因为ZBDC与ZBAC不在同一个三角形史，復有直挟約寢系，可适当迹如捕助线构這新約三角开么使ZBDC处于在外角的位置，ZBAC处于在内角的位置;证法一：延长BD交AC于点E,这时ZBDC

16、是AEDC的外角，A ZBDOZDEC,同理 ZDEOZBAC, A ZBDOZBAC证法二：连接AD,并延长交BC于F.ZBDF是ZkABD的外角.ZBDFZBAD,同理，ZCDFZCAD. ZBDF+ ZCDF ZBAD+ ZCAD即：ZBDOZBACoA图3 1注意：利用三角形外角定理证明不等关系时？通常将大角放在某三角 形的外角位置上2小角放在这个三角形的内角位置上鼻再利用不等式 性质证明。三、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如： 例如L如图3-1：己知AD为ABC的中线,JL Z1= N2, Z3=N4,求证：BE+CFEFo分析：要证BE+CFEF ,可

17、利用三角形三边关系定理证明，须把BE,CF, E匚 移到J5二个二复形JL匝虫，工丄=上.乙 二3=上4?可在 角的两边截取相等的线幾 利用三角形全等对应边相笥 把EN, FN, EF移到同一个三角形申。证明：在DA上截取DN = DB,连接NE, NF,则DN = DC,在ADBE和ADNE中：（DN = DB（助线的作法）T Z1 = Z2（己知）ED = ED（公共边）A ADBEADNE （SAS）BE = NE （全等三角形对应边相等）同理可得：CF = NF在AEFN中EN + FNEF （三角形两边之和大于第三边）BE + CFEF。注意L当j正题有角壬分线时，常可考虑在角約西边

18、截更相簣的线我, 构這全簣吕角形，怨后丿f全簣三角羽的性质得到对痙兀素相簣。四、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三 角形。例如如图4二1 lAD为厶胆0的中线,JLZ1 = Z2, Z 3= Z4,卑证;证明：延长ED至M,使DM二DE,连接ABE+CFEFCM, MF。在ZkBDE 和ZkCDM 中,BD = CD（中点的定义）* Z1 = ZCDM （对顶角相等） ED = MD（辅助线的作法）aabdeacdm （SAS）又 Z1 = Z2, Z3=Z4 （已知）Z1 + Z2+Z3+Z4=180 （平角的定义）Z3+Z2二90 ,即：ZEDF = 90ZFDM=Z

19、EDF =90在ZkEDF和AMDF中ed = md（辅助线的作法）T ZEDF = ZFDM（己证）= （公共边）AAEDFAMDF （SAS）AEF = MF （全等三角形对应边相等）.在ACMF中，CF+CMMF （三角形两边之和大于第三边）.BE+CFEF注：上题也可加倍FD,证法同上。主意:当涉及到有以线段中点为端点約线段时，可通过独共如倍此线 段，构造全等三角冬 使题中分散的条件集中。五、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。例如：如图5-仁AD为2XABC的中线，求证：AB+AO2AD。证明：延长AD至E,使DE二AD,连接BE,则 AE = 2ADVAD为ZABC的中

20、线（已知）ABD=CD （中线定义）在AACD和AEBD中BD = CD（己证）图5 1图5-2AE （三角形两边之和大于第三边）AAB+AC2ADo（常延长中线加倍，构造全等三角形）练习：已知AABC, AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图5-2,求证EF = 2ADo六、截长补短法作辅助线。例如：已知如图6-仁 在ZkABC中，ABAC, Z1 = Z2, P为AD上任一点。求证：AB-ACPB-PCo分析：要证：AB-AOPB-PC.想到利用三AM角形三边关系定理证之，因为欲证的是线段之差，故用两边之差小于 第三边，从而想到构造第三边AB-AC

21、,故可在AB上截取AN等于AC, 得 AB - AC = BN, 再连接 PN,则 PC = PN.又在 ZkPNB 中，PB-PNVBN,即；ab-acnpb-pCo证明：（截长法） 在AB上截取AN=AC连接PN , 在ZAPN和ZAPC中AN = AC（辅助线的作法）T Zl = Z2（已知）AP = AP（公共边）A AAPNAAPC （SAS）PC = PN （全等三角形对应边相等）在BPN中，有PB-PNBN （三角形两边之差小于第三边）ABP-PCPM-PC（三角形两边之差小于第三边）AAB-AOPB-PCo七、延长已知边构造三角形: 例如：如图7T:已知AC=BD, AD丄AC

22、于A , BC丄BD于B, 求证：AD=BC分析：欲证AD = BC,先证分别含有AD, BC的三角形全等，有几种方 案:ZADC与厶BCD, AOD与厶BOC, ZiABD与ABAC,但根据现有条件，均无法证全等,差用約相等，因此可玫法作出新的角，jLiy匕用 作勿两个二角形的公兴角。证明：分别延长DA, CB,它们的延长交于E点，TAD丄AC BC丄BD （已知）A ZCAE = ZDBE =90 （垂直的定义）在ADBE与ZCAE中ZE = ZE（公共角）T）ZDBE=ZCAE（己证）BD = AC（己知）Z. ADBEACAE （AAS）ED = EC EB = EA （全等三角形对应

23、边相等）ED-EA = EC-EB即：AD = BCo（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件一为证题创造条件。）八、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。例如：如图 8-仁 AB/7CD, AD/7BC 求证：AB=CDO 分析：图为四边开为 我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为 二角形耒解决。证明：连接AC （或BD）VAB/CD AD/BC （已知）/. Z1 = Z2, Z3=Z4 （两直线平行，内错角相等）在AABC与ZCDA中zi = Z2（己证）T ”C = CA（公共迦Z3 = Z4（己证）A A ABC A CD A（ASA）A AB = CD （

24、全等三角形对应边相等）九、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。例如：如图 9-仁 在 RtAABC 中，AB=AC, ZBAC=90 , Z1 = Z2,那-1CE丄BD的延长于E。求证:BD=2CETBE丄CF（已知）I ZBEF=ZBEC=90 （垂直的定义）在ZBEF 与 ABEC 中,Z1 = Z2（已知）T BE = BE（公共边）乙 BEF = ZBC（已证）AABEFABEC （ASA） ACE=FE= -CF（全等三角形对应边2相等）（已知）Z1 + ZBDA = 90 Z1 + ZBFC =V ZBAC=90BE 丄 CF. ZBAC= ZCAF = 9090ZBD

25、A=ZBFC在AABD与AACF中ZBAC=ZCAF（已证） ZBDA=ZBFC（已证）AB=AC（已知）AAABDAACF （AAS） ABD = CF （全等三角形对应边相等）化BD = 2CE十、连接已知点，构造全等三角形。例如：已知：如图10-1j AC. BD相交于0点，且AB=DC, AC=BD,求延hZAw.W.分析：要证ZA=ZD,可证它们所在的三角形AABO和厶。 全等而只有AB = DC和对顶角两个条件，差一个条件，,难以证其全等,星有号壬甚鱼的二用形全簣2申AB = DC, AC = BD 一若连援BC,缈ABg杞APCB全簣,肛込呼三的证明：连接BC,在ZABC和ZDC

26、B中“B=DC（已知）丁 AC=DB（已知）BC = CB（公共边）AAABCADCB (SSS) / ZA= ZD （全等三角形对应边相等）十一、取线段中点构造全等三有形。例如:如图 H-仁 AB=DC, NA=ND 求证：NABC=NDCB。分析:虫AB = DC, （A=ZD,想到如眼AD的中点N,琏:搓NB, NC, 社鱼A公理有ABN竺匹也.L BN = QNt ,ZABN= Z匹皿 王鱼冬 需证ZNBC=ZNCB,再取BC的中点M,连接MN,则由SSS公理有 NBM9 NCM,所“ Z NBC = Z NCB。冋趣彳曇述。图 11一1证明：取AD, BC的中点N. M,连接NB,

27、NM,NCo 则 AN二DN, BM二CM,在 ZABN 和ZDCN 中（AN = DN（辅助线的作法）丁 ZA = ZD（己知）AB = DC （己知）A AABNADCN （SAS）A ZABN=ZDCN NB=NC （全等三角形对应边、角相等）在ZNBM与NCM中NB=NC 证） 丁禹M=CM（辅助线的作法）（公共边）ANMBANCM, （SSS） A ZNBC=ZNCB （全等三角形对应角相等）A ZNBC+ZABN =ZNCB+ZDCN 即 ZABC=ZDCB。巧求三角形中线段的比值例如图 1,在ABC 中,BD: PC=1: 3, AE:ED=2: 3, BD; (2)A证明：（法

28、一）在 ZkAMN 中,AM+ANMD+DE+NE； (1)在ZkCEN 中,CN+NECE； (3)由(1) + (2) + (3)得:AM+AN+MB+MD+CN+NEMD+DE+NE+BD+CEAAB+AOBD+DE+EC延长BD交AC于F,廷长CE交BF于G,在(法二：图 1-2)AABF 和ZGFC 和AGDE 中有:AB+AFBD+DG+GF （三角形两边之和大于第三边）（1）GF+FOGE+CE (同上)(2)DG+GEDE (同上)(3)由(1) + (2) + (3)得:AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE+DE.AB+ACBD+DE+ECo二、 在

29、利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接 证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在 某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再 利用外角定理：例如:如图2-仁 已知D为AABC内的任一点、,求证:ZBDOZBACO因为ZBDC与ZBAC不在同个三角形中，没有直接的联系， 可适当添加辅助线构造新的三角形，使ZBDC处于在外角的位置，Z BAC处于在内角的位置；证法一：延长BD交AC于点E,这时ZBDC是AEDC的外角，. ZBDOZDEC,同理 ZDEOZBAC, A ZBDOZBAC证法二：连接AD,并廷长交BC于F,这时ZBDF是AABD的外角，

30、 ZBDFZBAD,同理，ZCDFZCAD, A ZBDF+ZCDFZBAD+ZCAD,即：ZBDOZBAC。注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某 三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不 等式性质证明。有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如:例如:如图3-仁已知AD为AABC的中线,分析：要证BE+CFEF,可利用三角形三边且 Z1 二Z2, Z3二Z4,求证:BE+CFEFO关系定理证明，须把BE, CF, EF移到同一个三角形中，而由已知Z 1 = Z2,Z3二Z4,可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应 边相等，把

31、EN, FN, EF移到同个三角形中。证明：在DN上截取DN二DB,连接NE, NF,则DN二DC,在ZDBE 和ZNDE 中：DN=DB （辅助线作法）Z1 = Z2 （已知）ED二ED （公共边）A ADBEANDE （SAS）BE二NE （全等三角形对应边相等）同理可得：CF二NF在AEFN中EN+FNEF （三角形两边之和大于第三边）BE+CFEF。注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线 段，构造全等三角形，然后用全等三角形的对应性质得到相等元素。四、截长补短法作辅助线。例如：已知如图6-1:在ZABC中，ABAC, Z1 = Z2, P为AD上 任一点求证:AB-A

32、OPB-PC0迈要证：AB-AOPB-PC,想到利用三角形三边关系，定理证 之，因为欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造 第三边AB-AC,故可在AB上截取AN等于AC,得AB-AC=BN,再连接 PN,则 PC二PN,又在ZPNB 中，PB-PNPB-PCo证明：（截长法）在AB上截取AN=AC连接PN,在ZiAPN和ZAPC中AN=AC （辅助线作法）Z1 = Z2 （已知）AP=AP （公共边）A AAPNAAPC （SAS） , / PC=PN （全等三角形对应边相等）在BPN中，有PB-PNPM-PC（三角形两边之差小于第三边）AAB-AOPB-PCo例1.如图，AC

33、平分ZBAD, CE丄AB,且ZB+ZD二180 ,求证:AE二AD+BE。例2如图，在四边形ABCD中，AC平分ZBAD, CE丄AB于E, AD+AB二2AE,求证：ZADC+ZBJ80Q例3已知：如图，等腰三角形ABC中，AB二AC, ZA=108 , BD平分ZABCo求证:BC=AB+DCoAD是ZCAB的平分线,例4如图，已知RtAABC中，ZACB二90 丄DM丄 AB 于 M,且 AM二MB。求证：CD二亍DB。1.如图，ABCD, AE、DE分别平分ZBAD各ZADE,求证：AD二AB+CDo2如图，AABC中，ZBAC二90 , AB二AC，a匚耳汁a砧一夂古线,A且B,

34、C在AE的异侧,BD丄AE 于 D, CE丄AE 于 E。求证：BD二DE+B四由中点想到的辅助线口诀：三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线 等中线。在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先 应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直 角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索， 找到解决问题的方法。（一）、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形即如图 1, AD 是 AABC 的中线,则 SAABD=SAAC0=2S6ABC （因为 AABD与AACD是等底同高的）。例1.如图2, ABC中，AD是中线，延长AD到E,

35、使DE二AD, DF是ADCE的中线。已知AABC的面积为2,求：ACDF的面积。解：因为AD是AABC的中线，所以SAACD=1SAA8C=1X2=1,又因C D 是 ACE 的中线，故 Sacde=Saaco=1 ,因DF是ACDE的中线，所以Sg二Sg二;X1二;。厶厶乙ACDF的面积为（二）、由中点应想到利用三角形的中位线例2.如图3,在四边形ABCD中，AB二CD, E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、Ho求证：ZBGE二ZCHEo证明：连结BD,并取BD的中点为M,连结ME、MF,VME是A BCD的中位线,AMECD, ZMEF二 ZCHE,VM

36、F是A ABD的中位线,.MF：AB, ZMFE二 ZBGE,TAB二CD, ME二MF,.ZMEF二ZMFE,从而 ZBGE=ZCHEO（三）、由中线应想到延长中线例3.图4,已知AABC中，AB二5, AC=3,连BC上的中线AD二2,求BC的长。解：延长 AD 到 E,使 DE=AD,则 AE二2AD二2X2二4。在AACD和AEBD中，TAD二ED, ZADC=ZEDB, CD二BD,A AACD AEBD,二 AC二BE,从而 BE二AC二3。在 ABE 中，因 AE2+BE2=42+32=25=AB2,故 ZE二90 ,/.BD=+ Lf2 -J32 + 22 =713 ,故 BC

37、二2BD二2诉1。C边上的中线。求证：AABC是等腰三角形。5例4.如图5,已知AABC中，AD是ZBAC的平分线，AD又是B证明：延长AD到E,使DE二AD。仿例3可证：ABED ACAD,故 EB二AC, ZE二Z2,又 Z1 = Z2,AAB=EB,从而AB二AC,即 ABC是等腰三角形。（四人 直角三角形斜边中线的性质2：如图，ZABC中，E、F分别在AB、AC上，DE丄DF, D是中点,试比较BE+CF与EF的大小.3:如图，ZABC中，BD二DC二AC, E是DC的中点，求证：AD平分ZBAE.中考应用(09崇文二模)以AABC的两边力3、4?为腰分别向外作等腰Rt WD 和等腰

38、RtAACE, BAD = ZCAE = 90,DEf M、N分别是 、 DE的申点、.探究：力与QF的位置关系及数量关系.(1)如图当WC为直角三角形时，力与QF的位置关系是线段力与QF的数量关系是（2）将图中的等腰毗“加绕点A沿逆时针方向旋转，（0。90）后，如图所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变并说明 理由.（二）、截长补短1.如图，AABC 中，AB二2AC, AD 平分ZBAC,且 AD二BD,求证：CD丄AC2：如图，ACBD, EA, EB分别平分Z过点E,求证；AB = AC+BDd CAB, ZDBA, CD3:如图，已知在内，ZBAC = 60 ZC = 40, p

39、, Q分别在BC, CA上，并且AP, BQ分别是Z3AC求证：BQ+AQ二AB+BPc4:如图，在四边形ABCD中，BCBA,AD = CD, BD平分厶3C,求证：ZA + ZC = 1805:如图在ZABC中，ABAC, Z1 = Z2, P为AD上任意一点，求证；AB-ACPB-PC中考应用（08海淀一模）如图在四边形AECD中,AI) /BC,点E是AB上一个动点若ZJ2 妙且 SECW判断Af) vAE -J BC的关系并证明你的结论.(三入平移变换为AABC的角平分线，直线MN丄AD于为MN上一点，ZkABC周长记为人，AEBC周长记为求证PbPN2：如图，在AABC的边上取两点

40、D、E,且BD二CE,求证：AB+AOAD+AE.B DE C(四人借助角平分线造全等1:如图，已知在ZABC中，ZB二60 , AABC的角平分线AD, CE相交于点0,求证：0E二0DAD 平分ZBAC, DG丄BC2： (06郑州市中考题)如图，AABC中,(1 )C二方,且平分BC, DE丄AB于E, DF丄AC于F.说明BE=CF的理由；(2)如果AB二A求AE、BE的长.中考应用(06北京中考)如图，是乙MON的平分线，请你利用该图 形画一对以所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全 等三角形的方法，解答下列问题：(1)如图，在中，Z.ACB是直角，Z5=60 ,初、CE 分

41、别是ZBAC、ZBCA的平分线，AD. OF相交于点F。请你判断并写 出FE5加之间的数量关系；(2)如图，在中，如果不是直角，而(1)中的其(五人旋转1:正方形ABCD中，E为BC上的一点，F的一点，BE+DF二EF,求ZEAF的度数.为CD上2: D为等腰R3BC斜边AB的中点，DM丄DN, DM, DN分别交BC,C(1) 当WDN绕点D转动时，求证DE二DF。A于点E,Fo3.如图，A4BC是边长为3的等边三角形，A5DC是等腰三角形， 且ZBDC = 120以D为顶点做一个60角，使其两边分别交AB于点M, 交AC于点N,连接MN,则AAMN的周长为；中考应用（07佳木斯）已知四边形

42、ABCD中，AB丄AQ, BC丄CD, AB = BC , ZABC = 120 , ZMBN = 60 , ZMBN绕B点旋转，它的两边分别交AD DC （或它们的延长线）于& F.当ZA個V绕B点旋转到AE = CF时（如图1）,易证AE+CF = EF .当ZMBN绕B点、旋转到AEHCF时，在图2和图3这两种情况下, 上述结论是否成立若成立，请给予证明；若不成立，线段力耳CF , EF 又有怎样的数量关系请写出你的猜想，不需证明.（西城09年一模）已知：PA二, PB二4,以AB为一边作正方形ABC D,使P、D两点落在直线AB的两侧.如图，当ZAPB二45时，求AB及PD的长；（2）

43、当ZAPB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应ZA PB的大小./)（09崇文一模）在等边A4BC的两边AB、AC所在直线上分别有 两点 M、N, D 为 外一点，且ZMDN = 60, ZBDC =120； BD=DC.探 究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量 关系及AAMN的周长Q与等边AABC的周长的关系.(I) 如图当点 M、N 边 AB、AC 上，且 DM二DN 时，BM、NC、MN之间的数量关系是;此时=;(II) 如图2,点M、N边AB、AC上，且当DMhDN时，猜想(I) 问的两个结论还成立吗写出你的猜想并加以证明；(III) 如图3,

44、当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN二，则Q二 (用I L表示).六梯形的辅助线口诀：梯形问题巧转换，变为和口。平移腰，移对角，两腰延长作出 高。如果出现腰中点，细心连上中位线。上述方法不奏效，过腰中点 全等造。通常情况下，通过做辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形, 是解梯形问题的基本思路。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已 知条件。常见的几种辅助线的作法如下：图形作法平移腰，转 化为三角形、平 行四边形。an-4E D亠亠平移对角 线。转化为三角 形、平行四边形。二 AB E彳 DE延长两腰，转化为三角形。B C作高，转化 为直角三角形和 矩形。bZlIcE F u中位线与腰

45、中点连线。角 b23-.：,pb y1 cuC r（一）、平移1平移一腰:例仁 如图所示，在直角梯形ABCD中，ZA=90 , ABDC, AD = 15, AB = 16, BC = 17求 CD 的长.解：过点D作DE/BC交AB于点E.又ABCD,所以四边形BCDE是平行四边形.所以 DE = BC = 17, CD = BE.在RtADAE中，由勾股定理，得AE2=DE2-AD2,即 AE2=172-152=64.所以AE = 8所以 BE = AB-AE = 168 = 8.即 CD = 8.解：过 点2 2= l(BC-AD) = i(3-l) = l2 2例2如图，梯形ABCD的上底AB二3,下底CD=8,腰AD二4,求另 一腰BC的取值范围。25a/2c_(AD + BC)xDH $ 梯形 ABCD =5V2AC2 + CE2 = (5x/2)2 + (5、 =100= AE2SABD =AACD =AD