缓和曲线1（PPT）

1、 1. 缓和曲线的作用与性质缓和曲线的作用与性质 2. 缓和曲线的布设缓和曲线的布设 （平曲线里程桩号计算）（平曲线里程桩号计算） 3.4 3.4 缓和曲线缓和曲线 教学内容：教学内容： （第（第6 6讲）讲） 重点解决的问题：重点解决的问题： 为什么要在直线与圆曲线中间插入缓和曲线？为什么要在直线与圆曲线中间插入缓和曲线？ 为什么缓和曲线采用回旋线作为其线形？为什么缓和曲线采用回旋线作为其线形？ 3.4.1 3.4.1 缓和曲线的作用与性质缓和曲线的作用与性质 n定义：定义：缓和曲线是从缓和曲线是从半径为无穷大的直线到半径为定值的圆曲线之间的曲半径为无穷大的直线到半径为定值的圆曲线之间的曲

2、率逐渐变化的过渡曲线。率逐渐变化的过渡曲线。 1. 1. 缓和曲线的作用缓和曲线的作用 n （1 1）曲率连续变化，便于曲率连续变化，便于驾驶操作驾驶操作 n （2）离心加速度逐渐变化，消除离心力突变离心加速度逐渐变化，消除离心力突变 n （3）为设置超高和加宽提供过渡段）为设置超高和加宽提供过渡段 n （4）与圆曲线配合得当，美化线形）与圆曲线配合得当，美化线形 3.4 3.4 缓和曲线缓和曲线 不设缓和曲线的情况 设缓和曲线的情况 o （1）缓和曲线的线形的要求）缓和曲线的线形的要求 汽车的行驶汽车的行驶状态假定：状态假定： 1）汽车作等速行驶，速度为）汽车作等速行驶，速度为v（m/s）；

3、）； 2）方向盘转动是匀速的，转动角速度为）方向盘转动是匀速的，转动角速度为 （rad/s）；）； 当方向盘转动角度为当方向盘转动角度为 时，前轮相应转动角度为时，前轮相应转动角度为 ， = = k k 2. 2. 缓和曲线的缓和曲线的形式形式 是在是在t t时间后方向盘转动的角度，时间后方向盘转动的角度， = = t t 汽车前轮的转向角为汽车前轮的转向角为 = = ktkt (rad (rad) ) 汽车行驶轨迹的曲率半径：汽车行驶轨迹的曲率半径： tan ddd kt n汽车的行驶轨迹曲线半径为：汽车的行驶轨迹曲线半径为： tan ddd kt n汽车以汽车以v等速行驶，经时间等速行驶，

4、经时间t以后，其行驶距离（弧长）为以后，其行驶距离（弧长）为l ： () d t k 1 . k vd k vd l k vd c 令 c l n结论：结论：汽车匀速从直线进入圆曲线（或相反）其行驶轨迹的汽车匀速从直线进入圆曲线（或相反）其行驶轨迹的 弧长与曲线的曲率半径之乘积为一常数。弧长与曲线的曲率半径之乘积为一常数。 与数学上的回旋线的性质相符与数学上的回旋线的性质相符 cl （2）标准标准规定：规定：以回旋线作为缓和曲线。以回旋线作为缓和曲线。 l = vt (m) （3）其它形式的缓和曲线）其它形式的缓和曲线 三次抛物线三次抛物线 方程式：方程式： x c 双纽线双纽线 方程式：方程

5、式： a c cl 回旋线、三次抛物线和双纽线在极角较小时的区别非常小。但随着极角回旋线、三次抛物线和双纽线在极角较小时的区别非常小。但随着极角 的增大，回旋线的曲率半径减小得最快，而三次抛物线的曲率半径减小的增大，回旋线的曲率半径减小得最快，而三次抛物线的曲率半径减小 得最慢。得最慢。 缓和曲线起点：回旋线的起点缓和曲线起点：回旋线的起点 l=0，=； 缓和曲线终点：回旋线某一点缓和曲线终点：回旋线某一点 lls，r。 则则 rls=a2 y x o 3.4.2 3.4.2 缓和曲线的布设缓和曲线的布设 ls 1回旋线的数学表达式回旋线的数学表达式 我国现行我国现行标准标准规定缓和曲线采用回

6、旋线。规定缓和曲线采用回旋线。 回旋线的基本公式表示为：回旋线的基本公式表示为：l = c = a2 式中：式中：a回旋线的参数回旋线的参数 r c m rlsa 回旋线的参数值为：回旋线的参数值为： n由微分方程推导回旋线的直角坐由微分方程推导回旋线的直角坐 标方程：标方程： n以以l = a2代入得：代入得： n回旋线微分方程为：回旋线微分方程为： d l a dl 2 1. 回旋线的数学表达式：回旋线的数学表达式： daldl 2 dldy dldx ddl sin cos 对对 积分得：积分得： 2 2 2 a l daldl 2 22 2 2 l a l 对对 积分得：积分得： n式

7、中：式中： 回旋线上任一点的半径方向与回旋线上任一点的半径方向与y y轴（切线）的夹角。轴（切线）的夹角。 222 2 2 2 2 l a l ,a l !753 sin 753 把把cos 、sin 用泰勒级数展开：用泰勒级数展开： daldl 2 n回旋线微分方程：回旋线微分方程： dldy dldx ddl sin cos !642 1cos 642 222 2 2 2 2 l a l ,a l dldldx) ! 6! 4! 2 1 (cos 642 dl a l a l a l ) 2 ( 720 1 ) 2 ( 24 1 ) 2 ( 2 1 -1 6 2 2 4 2 2 2 2 2

8、 dl a l a l a l ) 647203848 1 ( 12 12 8 8 4 4 dl(dldy) ! 7! 5! 3 sin 753 dl) a l () a l () a l ( a l 25040 1 2120 1 26 1 - 2 7 2 2 5 2 2 3 2 2 2 2 dl a l a l a l a l ) 12850403840482 ( 14 14 10 10 4 6 2 2 n式中：式中： 回旋线上任一点的半径方向与回旋线上任一点的半径方向与y y轴（切线）的夹角。轴（切线）的夹角。 daldl 2 对对 积分得：积分得： dl(dldy) ! 7! 5! 3

9、sin 753 dl) a l () a l () a l ( a l 25040 1 2120 1 26 1 - 2 7 2 2 5 2 2 3 2 2 2 2 dl a l a l a l a l ) 12850403840482 ( 14 14 10 10 4 6 2 2 dldldx) ! 6! 4! 2 1 (cos 642 dl a l a l a l ) 2 ( 720 1 ) 2 ( 24 1 ) 2 ( 2 1 -1 6 2 2 4 2 2 2 2 2 dl a l a l a l ) 647203848 1 ( 12 12 8 8 4 4 222 2 2 2 2 l a l

10、 ,a l 对对dx进行积分：进行积分： dldxxcos dl a l a l ) 3848 1 ( 8 8 4 4 8 9 4 5 345640a l a l l 对对dy进行积分：进行积分： 6 7 2 3 3366a l a l dldyysin dl a l a l a l ) 3840482 ( 10 10 4 6 2 2 n式中：式中： 回旋线上任一点的半径方向与回旋线上任一点的半径方向与y y轴（切线）的夹角。轴（切线）的夹角。 daldl 2 对对 积分得：积分得： 2 3 40r ls ls 在回旋线终点处，在回旋线终点处，l = ls， = r，a2 = rls 回旋线终

11、点坐标计算公式：回旋线终点坐标计算公式： 59 48 403456 lsls xls aa 37 26 6336 lsls y aa 24 3 6336 lsls rr 35 24 403456 lsls ls rr 59 48 403456 ll xl aa 37 26 6336 ll y aa 回旋线上任意点坐标计算公式回旋线上任意点坐标计算公式 回旋线终点的半径方向与回旋线终点的半径方向与y y轴（切线）的夹角轴（切线）的夹角 0 0计算：计算： ll a 2 2 22 lsls ar 2 0 2 22 n（1）切线角）切线角 n定义：回旋线上任意点处的切线与回旋线起点或点的切线（定义：

12、回旋线上任意点处的切线与回旋线起点或点的切线（x轴）的交轴）的交 角。角。 2. 2. 回旋线的几何要素回旋线的几何要素 lll arls 22 2 222 2. 2. 回旋线的几何要素回旋线的几何要素 在回旋线在回旋线起点起点zh或或hz点处，点处，l = ls，切线角表示为，切线角表示为0 r ls 2 0 n（2）内移值）内移值p ： ) 1(cos 00 ryp 3 42 268824r l r l p ss n（3）切线增值）切线增值 q： 00 sinrxq 2 3 2402r ll q ss 0 n（1）切线角）切线角 定义：回旋线上任意点处的切线与回旋线起点或点的切线（定义：回

13、旋线上任意点处的切线与回旋线起点或点的切线（x轴）的交角。轴）的交角。 p q lll arls 22 2 222 平面线形基本组成平面线形基本组成：直线：直线- -回旋线回旋线- -圆曲线圆曲线- -回旋线回旋线- -直线。直线。 3 3有缓和曲线的道路平曲线几何元素有缓和曲线的道路平曲线几何元素 0 0 ls ls r o q)pr(th 2 tan 曲线长：曲线长： 0 22 180180 hl()rlsrls 外距：外距： 校正值：校正值： 平面线形基本组成平面线形基本组成：直线：直线- -回旋线回旋线- -圆曲线圆曲线- -回旋线回旋线- -直线。直线。 (1)(1)曲线要曲线要素的

14、计算公式：素的计算公式： 3 3有缓和曲线的道路平曲线几何元素有缓和曲线的道路平曲线几何元素 切线长：切线长： rpreh 2 sec)( jh = 2th - lh 直线直线 直线直线 缓和曲线缓和曲线 圆曲线圆曲线 缓和曲线缓和曲线 n(2)(2)主点里程桩号计算方法主点里程桩号计算方法： zh = jd th hy = zh + ls qz = zh + lh/2 yh = hz ls hz = zh + lh jd = qz +jh/2 直线直线 直线直线 缓和曲线缓和曲线 圆曲线圆曲线 缓和曲线缓和曲线 以交点里程桩号以交点里程桩号jd为起算点：为起算点： 例题：例题：已知平原区某二

15、级公路有一弯道，已知平原区某二级公路有一弯道， jd=k2+536.48， 偏角偏角右 右=15 2830，半径，半径r=250m，缓和曲线长度，缓和曲线长度ls=70m 要求：（要求：（1）计算曲线主点里程桩号；）计算曲线主点里程桩号； （2）计算曲线上每隔）计算曲线上每隔25m整桩号切线支距值。整桩号切线支距值。 340. 0 25024 70 24 22 r ls p 996.34 250240 70 2 70 2402 2 3 2 3 r lsls q 565.116996.34 2 2830.15 )340. 0250( 2 )(tgqtgprt 054.232702502830.1

16、5 180180 lsrl 865. 5250 2 sec)340. 0250( 2 sec)( rpre j=2t-l=2116.565-232.054=1.077 解：（解：（1 1）曲线要素计算：）曲线要素计算： （2 2）主点里程桩号计算）主点里程桩号计算： 以交点里程桩号为起算点：以交点里程桩号为起算点：jd = k2+536.48 zh = jd t =k2+536.48 - 116.565 = k2+419.915 hy = zh + ls = k2+419.915 +70 = k2+489.915 qz = zh + l/2= k2+419.915+232.054/2 =k2+535.942 hz = zh + l = k2+419.915 +232.054 =k2+651.969 yh = hz ls = k2+651.97 70=k2+581.969 结结 论论 n 1. 在直线与圆曲线中间插入缓和曲线的作用：在直线与圆曲线中间插入缓和曲线的作用： l （1）曲率连续变化，便于驾驶操作）曲率连续变化，便于驾驶操作 l （2）离心加速度逐渐变化，消除离心力突变）离心加速度逐渐变化，消除离心力突变 l （3）为设置超高和加宽提供过渡段）为设置超高和加宽提供过渡段