几何概型最后说课

1、 厦门外国语学校厦门外国语学校 郑英昇郑英昇 重点：重点： 难点：难点： ： ： 课前每两位学生准备一个转盘模型课前每两位学生准备一个转盘模型 一条长为一条长为60cm60cm的绳子的绳子 甲乙两人玩转盘游戏甲乙两人玩转盘游戏, , 规定当指针指向黄色区域规定当指针指向黄色区域 时时, ,甲获胜甲获胜, ,否则乙获胜否则乙获胜. .谁谁 获胜可能性较大获胜可能性较大? ? 教师：教师： 本游戏反应的概率问题符合古典本游戏反应的概率问题符合古典 概型吗？概型吗？ 辅助设问辅助设问1：指针指向的每个：指针指向的每个 方向都是等可能性的吗？方向都是等可能性的吗？ 辅助设问辅助设问2：指针指向的位置：

2、指针指向的位置 是有限的吗？是有限的吗？ 学生分析：指针指向的每个方向学生分析：指针指向的每个方向 都是等可能性的，但指针所指的都是等可能性的，但指针所指的 位置却是无限个的，因而无法利位置却是无限个的，因而无法利 用古典概型。用古典概型。 设计意图：设计意图：与古典概型类比，引与古典概型类比，引 起学生认知上的冲突，吸引学生的注起学生认知上的冲突，吸引学生的注 意与兴趣，很自然地引入新的概率模意与兴趣，很自然地引入新的概率模 型型 师生互动 教师：能否进一步猜教师：能否进一步猜 想甲获胜的概率？想甲获胜的概率？ 设计意图：设计意图：鼓励学生多鼓励学生多 方面的求解猜想：弧长、方面的求解猜想：

3、弧长、 角度或面积角度或面积 学生的可能猜想：利用黄色 区域所对弧长、所占的角度 或所占的面积与整个圆的弧 长、角度或面积成比例研究， 概率应为0.6。 两人配合进行转盘游戏的实验，两人配合进行转盘游戏的实验， 并提交实验报告的结论：并提交实验报告的结论： 转盘游戏的实验报告表转盘游戏的实验报告表 组别组别 实验频数统计实验频数统计 （记（记“正正”字）字） 实验的实验的 总次数总次数 实验的实验的 频率频率 第一组第一组 50 第二组第二组 50 第三组第三组 50 第四组第四组 50 第五组第五组 50 第六组第六组 50 第七组第七组 50 第八组第八组 50 第九组第九组 50 第十组

4、第十组 50 【计算机模拟实验计算机模拟实验】 结束对学生数据的统计与分析后，结束对学生数据的统计与分析后， 教师教师通过计算机模拟试验演示，通过计算机模拟试验演示， 获得次数较大时的试验数据，获得次数较大时的试验数据， 并分析验证所求概率的正确性并分析验证所求概率的正确性 设计意图：设计意图： 1.“一切知识都是从感官开始一切知识都是从感官开始 的的”，模拟实验可以让学生体，模拟实验可以让学生体 验验“指针指向的等可能指针指向的等可能” 2.巩固随机模拟的统计思想：巩固随机模拟的统计思想： 由试验获得频率，再由频率近由试验获得频率，再由频率近 似估计概率似估计概率 3通过亲历试验，学生体验到

5、通过亲历试验，学生体验到 试验结果的随机性与规律性，试验结果的随机性与规律性， 体会随着试验次数的增加，结体会随着试验次数的增加，结 果的精度会越高果的精度会越高 实例实例 1（剪绳子问题）：（剪绳子问题）： 取一根长为取一根长为6060厘米的厘米的 绳子绳子, ,拉直后在任意位置拉直后在任意位置 剪断剪断, ,那么剪得两段的长那么剪得两段的长 都不少于都不少于2020厘米的概率厘米的概率 有多大有多大? ? 师生分析：在剪刀剪的次数师生分析：在剪刀剪的次数 可以是无限多次的情况下，通可以是无限多次的情况下，通 过建立等量替代关系，在过建立等量替代关系，在“每每 剪一次剪一次绳子上一点绳子上一

6、点”对应基对应基 础上，顺次建立础上，顺次建立“无数次随即无数次随即 剪剪线段上所有点线段上所有点”，“剪数剪数 量量线段长度线段长度”对应关系，在对应关系，在 “数（次数）数（次数）形（点）形（点）数数 （长度）（长度）” 转换过程中，解决转换过程中，解决 无限性无法计算的问题。无限性无法计算的问题。 设计意图：设计意图：1从从“转盘转盘” 过渡到过渡到“绳子绳子”，体验生活，体验生活 中不同的概率现象，层层递中不同的概率现象，层层递 进，逐步使概念明朗化进，逐步使概念明朗化 2构建长度模型构建长度模型 a b 20cm 20cm 实例实例2 2（撒豆子问题）（撒豆子问题） 如图如图, ,假

7、设你在每个图假设你在每个图 形上随机撒一粒黄豆形上随机撒一粒黄豆, ,分分 别计算它落到阴影部分别计算它落到阴影部分 的概率的概率. . 引导学生分析：引导学生分析：豆子撒在图形豆子撒在图形 的每个位置的机会是的每个位置的机会是等可能等可能的，的， 但豆子的位置却是但豆子的位置却是无限多无限多个的，个的， 因而不是古典概型。因而不是古典概型。 学生试解：记学生试解：记“落到阴影部分落到阴影部分” 为事件为事件a，在如图所示的阴影部，在如图所示的阴影部 分区域内事件分区域内事件a发生，所以发生，所以 2 1 2 1 2 (1)p( ); r r a r 阴影部分的区域面积 整个圆的面积 3 (2

8、)p( ). 8 a 设计意图：设计意图： 1 1面积模型面积模型 2 2注意变式为不规则图形注意变式为不规则图形 3. 3. 引导学生指出随机点的产生与引导学生指出随机点的产生与 前例的相同与不同点前例的相同与不同点 实例实例3 3（细菌问题）（细菌问题） 有一杯有一杯1 1升的水升的水, ,其中含有其中含有 1 1个细菌个细菌, ,用一个小杯从这用一个小杯从这 杯水中取出杯水中取出0.10.1升升, ,求小杯求小杯 水中含有这个细菌的概率水中含有这个细菌的概率 1体积模型体积模型 2有了前两例，本例学生容有了前两例，本例学生容 易获得易获得 。 学生分析：细菌在学生分析：细菌在1升水的杯中

9、升水的杯中 任何位置的机会是任何位置的机会是等可能等可能的，但的，但 细菌所在的位置却是细菌所在的位置却是无限多无限多个的，个的， 也不是古典概型。学生试解：记也不是古典概型。学生试解：记 “小杯水中含有这个细菌小杯水中含有这个细菌”为事为事 件件a，事件，事件a发生的概率：发生的概率： 0.1 p( )0.1. 1 a 取出水的体积 杯中所有水的体积 n 设计意图：设计意图：让学生去总结规律，让学生说出让学生去总结规律，让学生说出 自己的理解自己的理解 . ( ) a p a 构成事件 的区域长度（面积或体积） 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积） 请同学们总结出几何概请同学们总结出

10、几何概 型与古典概型的相同点和型与古典概型的相同点和 异同点，得出下表异同点，得出下表 ： 判定下列试验中事件发生的概度判定下列试验中事件发生的概度 是古典概型，还是几何概型？是古典概型，还是几何概型？ 抛掷两颗骰子，求出现两个抛掷两颗骰子，求出现两个 “4点点”的概率；的概率； 在大小相同的在大小相同的5个球中，个球中，2个是个是 红球，红球，3个是白球，若从中任取个是白球，若从中任取2 个，则所取的个，则所取的2个球中至少有一个球中至少有一 个红球的概率；个红球的概率； 已知地铁列车每已知地铁列车每10min一班，一班， 在车站停在车站停1min，求乘客到达站，求乘客到达站 台立即乘上车的

11、概率；台立即乘上车的概率； 两根相距两根相距6m的木杆上系一根的木杆上系一根 绳子，并在绳子上挂一盏灯，求绳子，并在绳子上挂一盏灯，求 灯与两端距离都大于灯与两端距离都大于2m的概率；的概率； 一海豚在水池中自由玩耍，水一海豚在水池中自由玩耍，水 池长池长40 m，宽，宽30 m，高，高20m， 求此海豚离池底和池壁均不小于求此海豚离池底和池壁均不小于 2 m的概率。的概率。 基本基本 事件事件 个数个数 基本事基本事 件的可件的可 能性能性 概率公式概率公式 古古 典典 概概 型型 有限有限 个个 相等相等 几几 何何 概概 型型 无限无限 个个 相等相等 ( ) a p a 包含基本事件的

12、个数 基本事件的总数 ( ) a p a 构 成 事 件的 区 域 长 度 （ 面 积 或 体 积 ） 试 验 的 全 部 结 果 所 构 成 的 区 域 长 度 （ 面 积 或 体 积 ） 设计意图：设计意图：通过具体实例，通过具体实例， 让学生在讨论中识别两种不同让学生在讨论中识别两种不同 的概率模型的概率模型 1.（电台报时问题）（电台报时问题） 某人午觉醒来某人午觉醒来, ,发现表发现表 停了停了, ,他打开收音机他打开收音机, ,想想 听电台报时听电台报时, ,求他等待的求他等待的 时间不多于时间不多于10分钟的概分钟的概 率率. . 给学生足够的时间给学生足够的时间 去思考、去讨论

13、去思考、去讨论 1.（电台报时问题）（电台报时问题） 某人午觉醒来某人午觉醒来, ,发现表发现表 停了停了, ,他打开收音机他打开收音机, ,想想 听电台报时听电台报时, ,求他等待的求他等待的 时间不多于时间不多于10分钟的概分钟的概 率率. . 概率模型判断：概率模型判断：收音机每小时报收音机每小时报 时一次，某人午觉醒来的时刻在两次整时一次，某人午觉醒来的时刻在两次整 点报时之间都是等可能的，且醒来的时点报时之间都是等可能的，且醒来的时 刻有无限多个的，因而适合几何概型。刻有无限多个的，因而适合几何概型。 1.（电台报时问题）（电台报时问题） 某人午觉醒来某人午觉醒来, ,发现表发现表

14、停了停了, ,他打开收音机他打开收音机, ,想想 听电台报时听电台报时, ,求他等待的求他等待的 时间不多于时间不多于10分钟的概分钟的概 率率. . 学生求解：学生求解： 设设a=等待的时间不多于等待的时间不多于10分钟分钟. 事件事件a恰好是打开收音机的时刻位于恰好是打开收音机的时刻位于 50,60时间段内事件时间段内事件a发生。发生。 法一：利用利用法一：利用利用50,60时间段所占的时间段所占的 弧长弧长： 1 ( ); 6 a p a 所在扇形区域的弧长 整个圆的弧长 1.（电台报时问题）（电台报时问题） 某人午觉醒来某人午觉醒来, ,发现表发现表 停了停了, ,他打开收音机他打开收

15、音机, ,想想 听电台报时听电台报时, ,求他等待的求他等待的 时间不多于时间不多于10分钟的概分钟的概 率率. . 学生求解：学生求解： 法二法二:利用利用50,60时间段所占的时间段所占的 圆心角：圆心角： 1 360 1 6 ( ); 3606 a p a 所在圆心角的大小 圆周角 1.（电台报时问题）（电台报时问题） 某人午觉醒来某人午觉醒来, ,发现表发现表 停了停了, ,他打开收音机他打开收音机, ,想想 听电台报时听电台报时, ,求他等待的求他等待的 时间不多于时间不多于10分钟的概分钟的概 率率. . 学生求解：学生求解： 法三：利用法三：利用50,60时间段所占的面积：时间段

16、所占的面积： 101 ( ); 606 a p a 所在扇形的面积 整个圆的面积 1.（电台报时问题）（电台报时问题） 某人午觉醒来某人午觉醒来, ,发现表发现表 停了停了, ,他打开收音机他打开收音机, ,想想 听电台报时听电台报时, ,求他等待的求他等待的 时间不多于时间不多于10分钟的概分钟的概 率率. . 学生求解：学生求解： 法四：将时间转化成长法四：将时间转化成长60的线段，研究事的线段，研究事 件件a位于位于50,60之间的线段的概率之间的线段的概率: 60 50 40 30 20 10 0 60501 ( ). 6 p a 60 1.（电台报时问题）（电台报时问题） 某人午觉醒

17、来某人午觉醒来, ,发现表发现表 停了停了, ,他打开收音机他打开收音机, ,想想 听电台报时听电台报时, ,求他等待的求他等待的 时间不多于时间不多于10分钟的概分钟的概 率率. . 设问：设问： 还有其他解法吗？还有其他解法吗？ 是否可以转化为圆内的是否可以转化为圆内的 弦长之比？（手中转盘）弦长之比？（手中转盘） 转化过程我们应该注意什转化过程我们应该注意什 么？（尽可能让学生去说么？（尽可能让学生去说) 基本事件是否保持基本事件是否保持 等可能等可能转化？转化？ 1.（电台报时问题）（电台报时问题） 某人午觉醒来某人午觉醒来, ,发现表发现表 停了停了, ,他打开收音机他打开收音机,

18、,想想 听电台报时听电台报时, ,求他等待的求他等待的 时间不多于时间不多于10分钟的概分钟的概 率率. . 设计意图：设计意图：本例实质上与转盘问题是一本例实质上与转盘问题是一 致的。致的。 此处再次呈现，意在此处再次呈现，意在:如何将实如何将实 际问题进行合理转化，不同测度理解方际问题进行合理转化，不同测度理解方 式下，基本事件的不同；强调不同测度式下，基本事件的不同；强调不同测度 在本题中的关联性在本题中的关联性 。 2在长为10cm的线段上 任取一点，并以线段作 为边作正方形，则正方 形的面积介于36与81之 间的概率是 。 设计意图：设计意图： 很简单但也很容易错！关键很简单但也很容

19、易错！关键 还是在于等价转化，正确识还是在于等价转化，正确识 别长度测度与面积测度。避别长度测度与面积测度。避 免一看见免一看见“面积面积”二字就用二字就用 面积测度计算。面积测度计算。 3. 在等腰直角三角形abc中, 在斜边ab 上任取 一点m, 求amac 的概率. 变式变式1 1 在等腰直角三角形abc 中, 过直角顶点c 在acb内部任作一条射线cm, 与线段ab 交于点m, 求amac 的概率. 变式变式2 2 在等腰直角三角形abc 中, 直角顶点为c， 在三角形abc内点取p，连cp交ab于点m, 求am ac 的概率. ab c m 3. 在等腰直角三角形abc中, 在斜边a

20、b 上任取 一点m, 求amac 的概率. ab c m 设计意图：设计意图： 题题3及变式在于锻炼学生及变式在于锻炼学生 准确把握几何概型的区域准确把握几何概型的区域 和测度。三个问题是形似和测度。三个问题是形似 质异的概率问题，由于事质异的概率问题，由于事 件的条件不同，等可能的件的条件不同，等可能的 角度发生变化，概率也随角度发生变化，概率也随 之变化。之变化。 设计意图：设计意图： 1通过变式训练的设计，逐步提高思维层次，培通过变式训练的设计，逐步提高思维层次，培 养学生创新能力。养学生创新能力。 2教师应把更多的时间留给学生思考讨论，提高教师应把更多的时间留给学生思考讨论，提高 学生解决实际问题能力。学生