森林救火模型

1、森林救火模型问题提出：森林失火了，消防队接到报警后应派多少消防队员去救火呢？一、问题分析：派出得队员越多，森林损失越小，但就是救援开支会越多，所以需要综合考虑森林得损失费与救援费与队员人数之间得关系，以总费 用最少来决定派出队员得数目。损失费通常正比于森林烧毁面积，而烧毁面积与失火、灭火时间有关, 灭火时间又取决于消防队员数目，队员越多，灭火时间越短。而救援 费既与消防队员人数有关，又与灭火时间长短有关。记失火时刻为t 0 ,开始救火时刻为tti，设在时刻t森林烧毁面积为B（t），则造成损失得森林烧毁面积为B（t2）,建模要对函数B（t）得形式作出合理得简单假设。dB CdB研究d?比B（t）

2、更为直接与方便， 无就是单位时间烧毁面积，表示火势蔓延得程度。在消防队员到达之前，即 ti t t2时，火势dB越来越大，即d随t得增加而增加；开始救火后，即ti t t2，如dB果消防队员救火能力足够强火势会越来越小即-应该减小，并 且当t t2时，有罟0。救援费可以分为两个部分：一部分就是灭火材料得损耗与消防队 员得薪金等，与队员数量及灭火时间有关；另外一部分就是运送队员一次性支出，只与消防队员人数有关。二、模型假设:1、森林中树木分布均匀，而且火灾就是在无风条件下发生得。2、损失费与森林烧毁面积B（t2）成正比，比例系数Ci为单位烧毁面积得损失费。dB3、从失火到开始救火这段时间（0 t

3、 ti ）内，火势蔓延程度匸 与时间t成正比，比例系数P为火势蔓延速度，即:dB丄丄t,0 tti；dt4、派出消防队员x名，开始救火后（t ti ）,火势蔓延速度降为x，其中 为每个队员得平均灭火速度，显然有因为要扑灭森林大火，灭火速度必须大于火势蔓延速度，否则火势将难以控制。5、每个消防队员单位时间费用为C2 （包括灭火材料得消耗及消防队员得薪金等），救火时间为t2 ti ；每个队员得一次性支出为C3（运送队员、器材一次性支出）。对于假设3作如下解释：由于森林中树木分布均匀，且火灾就是在无风条件下发生得,因而火势可以瞧作以失火点为中心,以均匀速度向四周呈圆形蔓延，因而蔓延半径 r与时间t成

4、正比，又因为烧毁2面积B与t成正比,从而罟与t成正比。dt三、模型得构成:t2 dB0dtdt恰好就是图形中三角形得面积，显然有积 B(t2)t ti由b得定义有bti ( X)(t2t1)，于就是t2 ti ItiXt2根据假设条件3, 4,火势蔓延程度罟在0 t ti线性地增加,B(t2)bt21 b所以 B(t2)2b(-根据假设条件2，5，森林损失费为CiB(t2)，救援费为C2X(t2 ti)C3X所以总费用为:C(X)C1B(t2)C2X(t2ti) C3X即: C（x）2bCi（-c2bxC3X四、模型求解:cdC n为了求X使得C（x）达到最小，令dX 0，可以得到应该派出得队

5、员人数为：XJc b2_2c2 b2c3 2五、模型分析与改进:1、应该派出（最优）队员人数有两个部分组成，其中一部分 一就是为了把火扑灭所必须派出得最少队员数。因为就是火势蔓延速度， 而 就是每个队员得平均灭火速度，同时也说明这个最优解满 足约束条件，结果就是合理得。2、派出队员得另外一部分与问题得各个参数有关。当队员得灭火速度与救援费用系数C3增大时，队员人数减少；当火势蔓延速度，开始救火时得火势b及损失费用系数G增大时，消防队员人数增加；救援费用系数C2增大时，队员人数也增加。3、改进方向：取消树木分布均匀、无风这一假设，考虑更一般情况;灭火速度就是常数不尽合理，至少与开始救火时得火势有关;对不同种类得森林发生火灾，派出得队员数应不同，虽然P能某种程度上反映森