（浙江专用）2020届高考数学一轮复习 第四章 三角函数 4.3 三角恒等变换课件

1、 4.3三角恒等变换 高考数学高考数学 (浙江专用) (2016浙江,10,6分)已知2cos2x+sin 2x=Asin(x+)+b(A0),则A= ,b= . 考点一匀变速直线运动考点一匀变速直线运动 A A组自主命题组自主命题浙江卷题组浙江卷题组 五年高考 答案答案 ;1 2 解析解析2cos2x+sin 2x=1+cos 2x+sin 2x=sin+1,A=,b=1. 22 4 x 2 评析评析 本题主要考查三角恒等变换,熟练利用辅助角公式及二倍角公式是解题关键. 考点三角函数的化简和求值考点三角函数的化简和求值 B B组统一命题、省（区、市）卷题组组统一命题、省（区、市）卷题组 1.

2、(2019课标全国理,10,5分)已知,2sin 2=cos 2+1,则sin =() A. B. C. D. 0, 2 1 5 5 5 3 3 2 5 5 答案答案B 本题考查了三角恒等变换以及同角三角函数的基本关系;考查了学生对方程的思 想方法的综合运用,以及运算求解能力;通过三角恒等变换考查了逻辑推理、数学运算的核心 素养. 由二倍角公式可知4sin cos =2cos2. ,cos 0, 2sin =cos ,tan =,sin =.故选B. 0, 2 1 2 5 5 技巧点拨技巧点拨 常见与“1”有关的三角恒等变换:1+sin 2=(sin +cos )2;1-sin 2=(sin

3、-cos )2;1+cos 2=2cos2;1-cos 2=2sin2;=;=. 1cos 1 cos 1cos |sin| 1 sin 1 sin 1 sin |cos| 2.(2019上海上海,15,5分分)已知已知R,函数函数f(x)=(x-6)2sin(x),存在常数存在常数aR,使得使得f(x+a)为偶函数为偶函数,则则 的值可能为的值可能为() A.B.C.D. 2 3 4 5 答案答案C f(x+a)=(x+a-6)2sin(x+a),因为f(x+a)为偶函数,所以y1=(x+a-6)2与y2=sin(x+a)都 为偶函数,由于y1=x2+2(a-6)x+(a-6)2,所以可得a

4、-6=0,即a=6,此时y2=sin(x+6)为偶函数,则6= +k(kZ),则=+(kZ),当k=1时,=,所以的值可能为.故选C. 2 12 6 k 4 4 3.(2018课标全国理,4,5分)若sin =,则cos 2=() A. B. C.- D.- 1 3 8 9 7 9 7 9 8 9 答案答案B本题考查三角恒等变换. 由sin =,得cos 2=1-2sin2=1-2=1-=.故选B. 1 3 2 1 3 2 9 7 9 4.(2017课标全国文,4,5分)已知sin -cos =,则sin 2=() A.- B.- C. D. 4 3 7 9 2 9 2 9 7 9 答案答案A

5、(sin -cos )2=1-2sin cos =1-sin 2=,sin 2=-. 2 4 3 16 9 7 9 解后反思解后反思 涉及sin cos ,sin cos 的问题,通常利用公式(sin cos )2=12sin cos 进行 转换. 5.(2016课标全国,9,5分)若cos=,则sin 2=() A. B. C.- D.- 4 3 5 7 25 1 5 1 5 7 25 答案答案D解法一:cos=(cos +sin )=cos +sin =1+sin 2=,sin 2= -.故选D. 解法二:sin 2=cos=cos2 =2cos2-1=2-1=-.故选D. 4 2 2 3

6、 5 3 2 5 18 25 7 25 2 2 4 4 2 3 5 7 25 6.(2015课标,2,5分)sin 20cos 10-cos 160sin 10=() A.- B. C.- D. 3 2 3 2 1 2 1 2 答案答案D原式=sin 20cos 10+cos 20sin 10=sin(20+10)=sin 30=,故选D. 1 2 7.(2015重庆,9,5分)若tan =2tan,则=() A.1 B.2 C.3 D.4 5 3 cos 10 sin 5 答案答案C =, tan =2tan,=3.故选C. 3 cos 10 sin 5 3 sin 210 sin 5 si

7、n 5 sin 5 sincoscos sin 55 sincoscos sin 55 tantan 5 tantan 5 5 3 cos 10 sin 5 3tan 5 tan 5 8.(2019北京理,9,5分)函数f(x)=sin22x的最小正周期是 . 答案答案 2 解析解析本题考查二倍角的余弦公式以及三角函数的最小正周期;考查学生的运算求解能力.考 查的核心素养为数学运算. 因为f(x)=sin22x,所以f(x)=(1-cos 4x),所以函数f(x)的最小正周期T=. 1 2 2 4 2 9.(2019江苏,13,5分)已知=-,则sin的值是 . tan tan 4 2 3 2

8、 4 答案答案 2 10 解析解析本题考查同角三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式等知识,考查学生的运算求 解能力,考查的核心素养为逻辑推理和数学运算. =-, tan =-tan=-, 整理得3tan2-5tan -2=0,tan =-或tan =2. sin=(sin 2+cos 2) = =. 当tan =-时,sin=; tan tan 4 2 3 2 34 2 3 1tan 1tan 1 3 2 4 2 2 2 2 22 22 2sincoscossin cossin 2 2 2 2 2tan1tan 1tan 1 3 2 4 2 10 当tan =2时,sin=. 所以答案为.

9、2 4 2 10 2 10 一题多解一题多解 =-, =-. =-. =-. sin=. tan tan 4 2 3 sincos 4 cos sin 4 2 3 1 sinsin 244 1 sinsin 244 2 3 2 sin 2 42 2 sin 2 42 2 3 2 4 2 10 10.(2018课标全国理,15,5分)已知sin +cos =1,cos +sin =0,则sin(+)= . 答案答案- 1 2 解析解析由sin +cos =1,cos +sin =0, 两式平方相加,得2+2sin cos +2cos sin =1, 整理得sin(+)=-. 1 2 解题技巧解题

10、技巧 利用平方关系:sin2+cos2=1,进行整体运算是求解三角函数问题时常用的技巧,应 熟练掌握. 11.(2017课标全国课标全国文文,15,5分分)已知已知,tan=2,则则cos=. 0, 2 4 答案答案 3 10 10 解析解析因为,且tan =2,所以sin =2cos ,又sin2+cos2=1,所以sin =,cos =,则cos=cos cos+sin sin =+=. 0, 2 sin cos 2 5 5 5 54 4 4 5 5 2 2 2 5 5 2 2 3 10 10 易错警示易错警示 在求三角函数值时,常用到sin2+cos2=1和tan =,同时要注意角的范围

11、,以确 定三角函数值的正负. sin cos 12.(2016四川,11,5分)cos2-sin2= . 8 8 答案答案 2 2 解析解析由二倍角公式易得cos2-sin2=cos=. 8 8 4 2 2 13.(2015四川,12,5分)sin 15+sin 75的值是 . 答案答案 6 2 解析解析 sin 15+sin 75=sin 15+cos 15=sin(15+45)=sin 60=. 22 6 2 14.(2015江苏,8,5分)已知tan =-2,tan(+)=,则tan 的值为 . 1 7 答案答案3 解析解析 tan =tan(+)-=3. tan()tan 1tan()

12、tan 1 ( 2) 7 1 1( 2) 7 15.(2018江苏,16,14分)已知,为锐角,tan =,cos(+)=-. (1)求cos 2的值; (2)求tan(-)的值. 4 3 5 5 解析解析(1)因为tan =,tan =,所以sin =cos . 因为sin2+cos2=1,所以cos2=, 所以cos 2=2cos2-1=-. (2)因为,为锐角,所以+(0,). 又因为cos(+)=-, 所以sin(+)=, 因此tan(+)=-2. 因为tan =,所以tan 2=-. 因此tan(-)=tan2-(+)=-. 4 3 sin cos 4 3 9 25 7 25 5 5

13、 2 1cos () 2 5 5 4 3 2 2tan 1tan 24 7 tan2tan() 1tan2 tan() 2 11 C C组教师专用题组组教师专用题组 1.(2017山东文,4,5分)已知cos x=,则cos 2x=() A.- B. C.- D. 3 4 1 4 1 4 1 8 1 8 答案答案D本题考查二倍角余弦公式. 因为cos x=,所以cos 2x=2cos2x-1=2-1=. 3 4 2 3 4 1 8 2.(2017江苏,5,5分)若tan=,则tan = . 4 1 6 答案答案 7 5 解析解析本题考查两角和的正切公式. 因为tan=, 所以tan =tan

14、= =. 4 1 6 44 tantan 44 1tantan 44 1 1 6 1 11 6 7 5 3.(2017江苏,16,14分)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-),x0,. (1)若ab,求x的值; (2)记f(x)=ab,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值. 3 解析解析(1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-),ab, 所以-cos x=3sin x. 若cos x=0,则sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x0. 于是tan x=-. 又x0,所以x=. (2)f(x)=ab=(cos x,sin x)(3,-)

15、=3cos x-sin x=2cos. 因为x0,所以x+, 从而-1cos. 于是,当x+=,即x=0时, f(x)取到最大值3; 当x+=,即x=时, f(x)取到最小值-2. 3 3 3 3 5 6 333 6 x 6 7 , 66 6 x 3 2 6 6 6 5 6 3 考点三角函数的化简和求值考点三角函数的化简和求值 三年模拟 A A组组 20172019 20172019年高考模拟年高考模拟考点基础题考点基础题组组 1.(2018浙江金华十校第一学期期末调研,3)sin 5cos 55-cos 175sin 55的结果是() A.- B. C.- D. 1 2 1 2 3 2 3

16、2 答案答案D sin 5cos 55-cos 175sin 55=sin 5cos 55+cos 5sin 55=sin(5+55)=sin 60=, 故选D. 3 2 2.(2019浙江镇海中学期中考试,7)已知sin=-,则cos 2+sin 2=() A. B.- C.- D. 6 2 3 3 10 9 10 9 5 9 5 9 答案答案A设-=t,则sin t=-,cos 2+sin 2=2sin=2sin=2cos 2t=2(1-2sin2 t)=2=,选A. 6 2 3 32 6 2 2 t 2 12 3 10 9 3.(2019浙江金华十校高三上期末,5)已知x,sin x=-

17、,则tan 2x=( ) A. B.- C. D.- , 2 2 3 5 7 24 7 24 24 7 24 7 答案答案D因为x,sin x=-,所以tan x=-,由二倍角公式知tan 2x=-,故选 D. , 2 2 3 5 3 4 2 2tan 1tan x x 24 7 4.(2018浙江新高考调研卷五(绍兴一中),5)已知ABC中,有关系式tan C(sin 2B-sin A)=cos 2B+ cos A成立,则ABC为() A.等腰三角形 B.A=60的三角形 C.等腰三角形或A=60的三角形 D.等腰直角三角形 答案答案C tan C(sin 2B-sin A)=cos 2B+

18、cos A可化为sin C(sin 2B-sin A)=cos C(cos 2B+cos A),即 cos(2B+C)+cos(A-C)=0,因为B+C=-A,所以cos(A-B)=cos(A-C),所以A-B=A-C或A-B=C-A,所以B =C或2A=B+C,故选C. 5.(2019浙江台州中学第一次模拟,15)已知,为锐角,tan =,cos(+)=-,则cos 2= ,tan(-)= . 4 3 5 5 答案答案-;- 7 25 2 11 解析解析 cos 2=cos2-sin2=-.因为2(0,),所以sin 2=.由 +(0,)且cos(+)=-,得sin(+)=,所以cos(-)

19、=cos2-(+)=cos 2cos(+)+sin 2 sin(+)=-+=,sin(-)=sin2-(+)=sin 2cos(+)-cos 2sin(+)= +=-, 所以tan(-)=-. 22 22 cossin cossin 2 2 1tan 1tan 16 1 9 16 1 9 7 25 24 25 5 5 2 5 5 7 25 5 5 24 25 2 5 5 11 5 25 24 25 5 5 7 25 2 5 5 2 5 25 sin() cos() 2 11 6.(2019浙江绍兴数学调测(3月),18)已知函数f(x)=cos(x+)(0,0),其图象经过点M ,且与x轴相交

20、的两个相邻点的距离为. (1)求f(x)的解析式; (2)若f=-,求sin 的值. 1 , 62 3 3 5 解析解析(1)由已知得T=2,则=1,所以f(x)=cos(x+).(2分) 又f=-,所以cos=-, 又0,所以+0)的图象上相邻 两对称轴之间的距离为4. (1)求的值及f(x)的单调增区间; (2)若f(x0)=,且x0,求f(x0+1)的值. 2 x 3 6 3 5 2 14 , 33 解析解析(1)f(x)=3cos x+sin x=2sin.(3分) 由题意得T=8,所以=,(4分) 所以f(x)=2sin. 令-+2k+2k,kZ,得-+8kx+8k,kZ. 所以f(

21、x)的单调增区间为,kZ.(7分) 33 3 x 2 8 4 3 43 x 2 4 x 3 2 10 3 2 3 102 8 ,8 33 kk (2)由(1)及题意知f(x0)=2sin=, 即sin=,8分 因为x0,所以+, 所以cos=-.(10分) 所以f(x0+1)=2sin 3 0 43 x 6 3 5 0 43 x 3 5 2 14 , 33 0 4 x 3 3 , 22 0 43 x 4 5 3 0 443 x =2 =2=-.(14分) 3 00 sincoscossin 434434 xx 3 3242 5252 6 5 9.(2019浙江杭州高级中学高三上期中,18)已知

22、函数f(x)=cos 2x+cos xcos. (1)求函数f(x)的最大值及取得最大值时x的值; (2)若f(x0)=-,x0,求cos 2x0的值. 3 2 x 1 10 , 12 3 解析解析(1)f(x)=-sin+.易知当sin=-1时, f(x)取得最大值,此时2x-=-+2k,k Z,故x=-+k,kZ,所以当 x=-+k,kZ时,f(x)max=. (2)因为f(x0)=-sin+=-,所以sin=. 因为x0,所以2x0-,故cos=. 所以cos 2x0=cos=coscos-sinsin=. 2 6 x 1 2 2 6 x 6 2 6 6 3 2 0 2 6 x 1 2

23、1 10 0 2 6 x 3 5 , 12 3 6 0, 2 0 2 6 x 4 5 0 2 66 x 0 2 6 x 6 0 2 6 x 6 4 33 10 B B组组2017201920172019年高考模拟年高考模拟专题综合题组专题综合题组 时间:40分钟分值:76分 一、填空题(共6分) 1.(2019浙江温州九校联考,13)已知函数f(x)=(1+tan x)sin 2x,则f(x)的定义域为 , f(x)的最大值为 . 答案答案 ;1+ x,Z 2 xkk 2 解析解析只要正切函数有意义即可,所以f(x)的定义域为. f(x)=(1+tan x) =(1+tan x),令t=tan

24、 x,则y=2,令t-1=m,则当m0时,= =,所以y+1; 当m0时,=0,所以f(x)的最大值为1+. x,Z 2 xkk 22 2sin cos sincos xx xx 2 2tan tan1 x x 2 2 22 1 tt t 2 1 1 1 t t 2 1 1 t t 2 (1)1 m m 2 22 m mm 1 2 2m m 1 22 2 21 2 2 2 1 1 t t 2 (1)1 m m 2 2.(2017浙江镇海中学模拟卷四,18)已知函数f(x)=2cos xcos+sin2x-. (1)求函数f(x)的单调递增区间; (2)在ABC中,角C为锐角,若f=-,a=2,

25、c=2,求ABC的面积. 3 x 1 2 2 C 1 4 3 二、解答题(共70分) 解析解析(1)f(x)=2cos xcos+sin2x- =2cos x+sin2x- =-sin xcos x=-sin 2x.(4分) 令2k+2x2k+,kZ, 得k+xk+,kZ. 所以函数f(x)的单调递增区间为,kZ.(7分) (2)易得f=-sin C=-,所以sin C=.(9分) 因为角C为锐角,所以C=. 由正弦定理得=,故sin A=.(11分) 而0A0),且f (x)的最小正周期为. (1)求的值以及f(x)在区间上的值域; (2)若f()=,且,求cos 2的值. 3 2 x 0,

26、 3 2 5 5 , 6 2 解析解析(1)f(x)=2sin xcos x+cos 2x=sin 2x+cos 2x=2sin,T=,= 1,f(x)=2sin,x,2x+, sin,f(x)1,2. (2)易知f()=2sin=sin=, ,2+,cos=-, 从而cos 2=cos=coscos+sinsin=. 332 6 x 2 2 2 6 x 0, 3 6 5 , 66 2 6 x 1 ,1 2 2 6 2 5 5 2 6 5 5 , 6 2 6 7 , 26 2 6 2 5 5 2 66 2 6 6 2 6 6 52 15 10 4.(2019浙江高考数学仿真卷(二),18)已知函数f(x)=-sin 2x-2cos2x+1. (1)求函数f(x)的振幅和单调递增区间; (2)在ABC中,C为锐角,满足sin 2C+2sin2A=1,若f(C)=,求cos 2A的值. 3 1 2 解析解析(1)f(x)=-sin 2x-cos 2x(2分) =-2sin,(4分) f(x)的振幅为2.(5分) +2k2x+2k(kZ), +kx+k(kZ). f(x)的单调递增区间为(kZ).(7分) 3 2 6 x 2 6 3 2 6 2 3 2 , 63 kk (2)sin 2C+2sin2A=1,sin 2C=1-2sin2A=cos