完整word版均值不等式公式完全总结归纳非常实用

1、均值不等式归纳总结1. (1)若 a,b 亡 R，则 a2 +b2 2ab2 , 2 a +b(2)若 a，R 则 a2（当且仅当a = b时取=”）2. （1）若 a,b-R*，则乎価(2)若 a,b 年 R*，贝y a 十 b 2jab（当且仅当a = b时取=”fa +b 丫P J3.若xaO，则2 （当且仅当x=1时取=）X若x0，则-2 （当且仅当x = -1时取=”X若a,b迂R*，则ab2即 X + 2或 X + 0，则（当且仅当a = b时取=）b a若ab工0，则a +b 2即a + b 2或 a + b -2(当且仅当a = b时取=)b a b a丄.2.25.若a,b壬

2、R，则（Ub）20时,当XV 0时,解: (1)y = 3x 2 k,-2 L2 ,+ 乂=2解题技巧技巧一：凑项例已知x5，求函数4解：因 4X-5 cO ,y =4x-2+的最大值。4x5所以首先要“调整”符号，又4x2b右不是常数所以对4x-2要进行拆、凑项,X5,”5-4x0 ,4二 y =4x -2= - -4x4x5I54x 丿当且仅当5-4x=，即x=1时，上式等号成立，故当x = 1时，ymax=1。5 -4x评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。例1.当USU4时，求y=x(8-2x)的最大值。解析：由00，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为 定值

3、，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x + (8-2x)=8为定值, 故只需将y=x(8-2x)凑上一个系数即可。y = C8-2x) = l2x * (3 - 2x) *严十;-込 2 = 8当2a=S-2x，即x = 2时取等号 当x = 2时，y=x(8-2x)的最大值为8。评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而 可利用均值不等式求最大值。变式：设0vx|，求函数y=4x(3 2x)的最大值。|解: V02 .-1-20=4x(3-2x) =2 ”2x(3-2x) 0) , g(x)恒正g(x)或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。技巧五：

4、在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数f(x) = x+x的单调性。X2 +5例：求函数厂专二的值域。Vx2 +4解：令 Jx2 +4 =t(t 2)，则 y_i+5 x2! +_=tJ(t32)Jx2 +4Jx2 +4 t因t0,tl =1，但t J解得t=1不在区间2卞），故等号不成立，考虑单调性。 因为y =t 在区间1,址）单调递增，所以在其子区间2,址）为单调递增函数，故5y 。2所以,所求函数的值域为IT练习.求下列函数的最小值，并求取得最小值时,x的值.(3) y = 2sin x +丄,X- (0戶)sin x0x0)(2) y = 2x + ,x3xX 32.

5、已知 0 0，且-=1，求x + y的最小值。x + y冷(x + y ) 2加 xy=12故X y错解：T X 0, y 0 ,且丄+ - =1 ,-X y(X+y hin =12 。错因：解法中两次连用均值不等式，在x+y 2 jxy等号成立条件是X = y，在1+92匡等号成立条件是丄=9即y=9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因X y VxyX y此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而 且是检验转换是否有误的一种方法。正解：；XAOynO,1 +3=1，二 x + y=(x + y)f1+ - = -106 +10=16X y(x y 丿 X y当且仅

6、当y时，上式等号成立，又-+-=1，可得x=4,y=12时，(x+y), 。X yX ymin变式:(1)若X,疔r+且2x+ y = 1，求丄+丄的最小值X y(2)已知a,b,x, y忘r+且a+b=1，求x+ y的最小值X y技巧七已知X,y为正实数，且X 2 + ；=1，求的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式同时还应化简寸1 + y2中y2前面的系数为xp1 + y 2= X=E X1 y 2 ；+T技巧八:已知a,b为正实数,12b +ab+ a = 30，求函数y=的最小值.ab分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，

7、再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。30 2b法一：* b+T30 2b ab=b+ 12 b2 + 30 b b =b+1由 a 0 得，Ov b 152t2 + 34t 31令 t= b+1 , 1 t16 t= 82/. ab2寸2 ab-30 ab贝J u2 + 2寸2 u 300, 5/2 j3p2/a3/2 , ab 庙(a,b迂R F的应用、不等式的解法及运算能力; 如何由已知不等式ab二a+2b+30(a, R出

8、发求得ab的范围，关键是寻找到 705 (a R，这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得ab的范围.变式：1.已知a0, b0, ab (a + b) = 1,求a+ b的最小值。2.若直角三角形周长为1,求它的面积最大值。技巧九、5、已知取平方x, y为正实数，3x+ 2y= 10，求函数W=/3X +2y的最值.解法一:若利用算术平均与平方平均之间的不等关系,2,本题很简单血 +隔 2 yj (/3X ) 2 +(炯)2 =/2 /x + 2y 2/5解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。W 0 , W2 = 3

9、x + 2y + 2/3= 10 +2y 10 +)2 (a/ )2 = 10 + (3x + 2y)= 20 W JIo = 2变式：求函数 y =j2x _1 +J5/xd ex c 5)的最大值。2 2解析：注意到2x-1与5-2x的和为定值。y2 =(j2x-1 + j5-2x)2 = 4+ 2 J(2x-1)(5 -2x) 0，所以 0遁，可由此变形入手。a a a a解：a、b、ceR+ ,a+b+c = 1。二b_1=匕a=比逝。同理丄一佗逅，丄一化血。 aa a abb cc上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得卜少字带华=8。当且仅当3时取等号。应用三：均值不等式与恒成立问题例：已知xlyAO且-=1，求使不等式x + ym恒成立的实数m的取值范围。x y解：令 x + y*xAO,八 O+g，二 口+-仃上+上 + x ykx kyk kx kyan Q。二 “16 , mUf16】应用四：均值定理在比较大小中的应用