001第1讲 _共轭复数

1、 2 1.1.复数的概念复数的概念 . , 为为复复数数或或 我我们们称称对对于于任任意意两两实实数数 iyxz yixzyx , , 的的实实部部和和虚虚部部分分别别称称为为其其中中zyx ).Im(),Re( zyzx 记记作作 ; , 0 , 0 称为纯虚数称为纯虚数时时当当iyzyx . ,0 , 0 xixzy我们把它看作实数我们把它看作实数时时当当 . 0,0, 0 zyx 时时当当 3 , 222111 iyxziyxz 设设两两复复数数 1) 两复数的和两复数的和 ).()( 212121 yyixxzz 2) 两复数的积两复数的积 ).()( 2112212121 yxyxi

2、yyxxzz 3)两复数的商两复数的商 . 2 2 2 2 2112 2 2 2 2 2121 2 1 yx yxyx i yx yyxx z z 2. 复数的代数运算复数的代数运算 4 4)共轭复数共轭复数 共轭的定义是以某轴为对称。共轭的定义是以某轴为对称。 例如，复平面上的两点以实数轴为对称，则称这两点共轭。例如，复平面上的两点以实数轴为对称，则称这两点共轭。 再例如，复平面上的再例如，复平面上的A点有共轭点点有共轭点A,B点有共轭点点有共轭点B 向量向量AB与向量与向量AB称共轭向量。称共轭向量。 轭来自车轭，牛轭。牛马毛驴驮的东西以垂直轴为对称，轭来自车轭，牛轭。牛马毛驴驮的东西以垂

3、直轴为对称， 驮的一东一西的东西就是共轭的东西呀。驮的一东一西的东西就是共轭的东西呀。 5 4)共轭复数共轭复数 共轭复数是什么共轭复数是什么? ? 当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两 个复数叫做互为共轭复数个复数叫做互为共轭复数. . 互为共轭复数的两个复数在复平面上的对应点关互为共轭复数的两个复数在复平面上的对应点关 于实轴对称。于实轴对称。 6 4)共轭复数共轭复数 , zz 共轭的复数记为共轭的复数记为与与 . , iyxziyxz 则则若若 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两 个复数称为共轭复数个

4、复数称为共轭复数. . 共轭复数的性质共轭复数的性质 ;)1( 2121 zzzz ; 2121 zzzz ; 2 1 2 1 z z z z ;)2(zz ;)Im()Re()3( 22 zzzz ).Im(2),Re(2)4(zizzzzz 7 3. 3.复数的其它表示法复数的其它表示法 . . , , , . ),( 面面 面叫复平面叫复平这种用来表示复数的平这种用来表示复数的平轴轴叫虚轴或叫虚轴或 纵轴纵轴轴轴通常把横轴叫实轴或通常把横轴叫实轴或用来表示复数用来表示复数 的平面可以的平面可以一个建立了直角坐标系一个建立了直角坐标系因此因此对应对应 成一一成一一与有序实数对与有序实数对复

5、数复数 y x yxiyxz . ),( 表示表示面上的点面上的点 可以用复平可以用复平复数复数 yx iyxz ),(yx x y x y o iyxz （1 1）几何表示法）几何表示法 8 （2 2）向量表示法）向量表示法 . , , 来来表表示示 也也可可用用向向量量复复数数因因此此平平面面向向量量成成一一一一对对应应 的的指指向向点点与与从从原原点点复复数数在在复复平平面面上上 OPz iyxzz ),(yxP x y x y o iyxz rz 复数的模复数的模(或绝对值或绝对值) , 的的模模或或绝绝对对值值向向量量的的长长度度称称为为z . 22 yxrz 记为记为 9 模的性质

6、模的性质 , zx , zy ,yxz . 2 2 zzzz ;) 1 ( 2121 zzzz .)2( 2121 zzzz 三角不等式三角不等式 复数的辐角复数的辐角 ., 0,0而辐角不确定而辐角不确定时时当当 zz .0有有无无穷穷多多个个辐辐角角任任何何一一个个复复数数 z , 1 是其中一个辐角是其中一个辐角如果如果 的全部辐角为的全部辐角为那么那么z ).( 2Arg 1 为任意整数为任意整数kkz . Arg , , , 0 z zOPz z 记记作作 的的辐辐角角称称为为为为终终边边的的角角的的弧弧度度数数的的向向量量 以以表表示示以以正正实实轴轴为为始始边边的的情情况况下下在

7、在 10 .arg , Arg , )0( 0 00 zz z 记记作作的的主主值值称称为为 的的把把满满足足的的辐辐角角中中在在 . 0, 0, , 0, 0,arctan , 0, 0, 2 , 0,arctan arg yx yx x y yx x x y z辐辐角角的的主主值值 0 z ) 2 arctan 2 ( x y 其其中中 辐角的主值辐角的主值 11 （3）三角表示法）三角表示法 利用欧拉公式利用欧拉公式,sincos ie i 复数可以表示成复数可以表示成 i rez 称为复数称为复数 z 的指数表示式的指数表示式. （4）指数表示法）指数表示法 利用直角坐标与极坐标的关系

8、利用直角坐标与极坐标的关系 ,sin ,cos ry rx 复数可以表示成复数可以表示成)sin(cos irz 12 4.复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根 1) 乘积与商乘积与商 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和. ,sin(cos 1111 ）若若 irz ,sin(cos 2222 ） irz )sin()cos( 21212121 irrzz .ArgArg)(Arg 2121 zzzz 则有则有 13 几何意义几何意义 复数相乘就是把模相乘复数相乘就是把模相乘, , 辐角相

9、加辐角相加. . , 2 倍倍再把它的模扩大到再把它的模扩大到 r 从几何上看从几何上看, 两复数对应的向量分别为两复数对应的向量分别为 , , 21 zz , 2 1 旋转一个角旋转一个角 按逆时针方向按逆时针方向先把先把 z . 21 zzz 就就表表示示积积所所得得向向量量 2 o x y r 2 r 1 r 2 z 1 1 z z 14 两个复数的商的模等于它们的模的商两个复数的商的模等于它们的模的商; 两个两个 复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差. , 1 2 1 2 z z z z .ArgArgArg 12 1 2 zz z z 的的

10、指指数数形形式式分分别别为为和和设设复复数数 21 zz , 1 11 i erz . )( 1 2 1 2 12 i e r r z z 则则, 2 22 i erz ,sin(cos 1111 ）若若 irz ,sin(cos 2222 ） irz 则有则有 15 2) 幂与根幂与根 (a) n次幂次幂: , , n z nzzn 记作记作 次幂次幂的的的乘积称为的乘积称为个相同复数个相同复数 . 个个n n zzzz . )sin(cos , ninrzn nn 有有对于任何正整数对于任何正整数 . 1 , n n z zn 有有为为负负整整数数时时 .ArgArg,znzzz n n

11、n 因因而而有有 16 .sincos)sin(cos nini n . , (c)为已知复数为已知复数其中其中的根的根计算方程计算方程zwzw n n k i n k rzw nn 2 sin 2 cos 1 )1, 2 , 1 , 0( nk (b)(b)棣莫佛公式棣莫佛公式 . , 个顶点个顶点边形的边形的的圆的内接正的圆的内接正 为半径为半径个值就是以原点为中心个值就是以原点为中心的的在几何上在几何上 nn rnz nn 17 5.复球面与扩充复平面复球面与扩充复平面 南极、北极的定义南极、北极的定义 , 0 的的球球面面点点取取一一个个与与复复平平面面切切于于原原 z , 与与原原点

12、点重重合合球球面面上上一一点点 S , N S 点点直线与球面相交于另一直线与球面相交于另一 作垂直于复平面的作垂直于复平面的通过通过 . , 为为南南极极为为北北极极我我们们称称SN x y P N O S (1) 复球面复球面 18 虚数单位的特性虚数单位的特性: ; 1 ii ; 1 2 i; 23 iiii ; 1 224 iii; 145 iiii ; 1 246 iii; 347 iiii ; 1 448 iii 则则是是正正整整数数一一般般地地，如如果果,n , 1 4 n i, 14 ii n , 1 24 n i. 34 ii n 19 例例复复数数取取何何值值时时实实数数,

13、m )43( 2 mm .)2(;)1(纯虚数纯虚数实数实数是是imm)65( 2 解解令令, 43 2 mmx, 65 2 mmy , 0,)1( y则则如如果果复复数数是是实实数数 . 16065 2 mmmm或或知知由由 , 00,)2( yx且且则则如如果果复复数数是是纯纯虚虚数数 . 14043 2 mmmm或或知知由由 .10应应舍舍去去知知但但由由 my. 4 m即只有即只有 20 例例3 3 . 的形式的形式将下列复数表示为将下列复数表示为iyx . 1 1 )2(; 1 1 )1( 7 i i i i i i 解解 i i 1 1 )1( )1)(1( )1( 2 ii i

14、2 )1( 2 i , i 7 7 )( 1 1 i i i . i i i i i 1 1 )2( ii ii )1( )1( 22 i i 1 21 2 )1)(21(ii . 2 1 2 3 i 21 例例4 4 解解 . 1 1 2 i i i i 计算计算 iii ii i i i i )1)(1( )1)(2( 1 1 2 ii iii 1 22 2 2 i i 2 31 )2)(2( )2)(31( ii ii 22 2 )2( 362 i iii .1i 22 例例5 解解 ,43,55 21 iziz 设设. 2 1 2 1 z z z z 与与求求 i i z z 43 5

15、5 2 1 )43)(43( )43)(55( ii ii 25 )2015()2015(i . 5 1 5 7 i 2 1 z z . 5 1 5 7 i 23 例例6 解解 , 1 31 i i i z 设设.)Im(),Re(zzzz 与与求求 i i i z 1 31 )1)(1( )1(3 ii ii ii i , 2 1 2 3 i , 2 1 )Im(, 2 3 )Re( zz 22 )Im()Re(zzzz 22 2 1 2 3 . 2 5 24 共轭复数的性质共轭复数的性质 ;)1( 2121 zzzz ; 2121 zzzz ; 2 1 2 1 z z z z ;)2(zz

16、 ;)Im()Re()3( 22 zzzz ).Im(2),Re(2)4(zizzzzz 25 例例7 证证 , 222111 iyxziyxz 设设两两复复数数 ).Re(2 212121 zzzzzz 证证明明 2121 zzzz )()( )( 22112211 iyxiyxiyxiyx )()( 21122121 yxyxiyyxx )()( 21122121 yxyxiyyxx )(2 2121 yyxx ).Re(2 21 zz ).Re(2 2121212121 zzzzzzzzzz 或或 26 思考题答案思考题答案 0, 和和观察复数观察复数 i , 0 i由复数的定义可知由复

17、数的定义可知 , 0 )1( i若若 ,0 iii 则则 ; , 01 矛矛盾盾即即 , 0 )2( i若若 ,0 iii 则则 . , 01 矛矛盾盾同同样样有有 由此可见由此可见, 在复数中在复数中无法定义大小关系无法定义大小关系. 27 . . , , , . ),( 面面 面叫复平面叫复平这种用来表示复数的平这种用来表示复数的平轴轴叫虚轴或叫虚轴或 纵轴纵轴轴轴通常把横轴叫实轴或通常把横轴叫实轴或用来表示复数用来表示复数 的平面可以的平面可以一个建立了直角坐标系一个建立了直角坐标系因此因此对应对应 成一一成一一与有序实数对与有序实数对复数复数 y x yxiyxz . ),( 表示表示

18、面上的点面上的点 可以用复平可以用复平复数复数 yx iyxz ),(yx x y x y o iyxz 28 辐角主值的定义辐角主值的定义: .arg , Arg , )0( 0 00 zz z 记记作作的的主主值值称称为为 的的把把满满足足的的辐辐角角中中在在 , 0 x ) 2 arctan 2 ( x y 其其中中 辐角的主值辐角的主值0 z zarg , 0, 0 yx , 0, 0 yx . 0, 0 yx ,arctan x y , 2 ,arctan x y , 29 例例8 8 将下列复数化为三角表示式与指数表示式将下列复数化为三角表示式与指数表示式: ; 5 cos 5 sin)2(;212)1( iziz 解解zr )1(, 4412 , 在第三象限在第三象限因为因为 z 12 2 arctan 所以所以 3 3 arctan, 6 5 故三角表示式为故三角表示式为, 6 5 sin 6 5 cos4 iz 30 指数表示式为指数表示式为.4 6 5 i ez 5 cos 5 sin)2( iz, 1 zr显显然然 52 cos 5 sin, 10 3 cos 52 sin 5 cos, 10 3 sin 故三角表示式为故三角表示式为, 10 3 sin 10 3 cos