（黄冈名师）2020版高考数学大一轮复习 12.7 离散型随机变量及其分布列课件 理 新人教A版

1、第七节 离散型随机变量及其分布列 (全国卷5年6考) 【知识梳理知识梳理】 1.1.离散型随机变量分布列离散型随机变量分布列 (1)(1)定义定义: :若离散型随机变量若离散型随机变量X X可能取的不同值为可能取的不同值为 x x1 1,x,x2 2,x,xi i,x,xn n,X,X取每一个值取每一个值x xi i(i=1,2,n)(i=1,2,n)的概的概 率率P(X=xP(X=xi i)=p)=pi i, ,则表则表 X Xx x1 1x x2 2x xi ix xn n P Pp p1 1p p2 2p pi ip pn n 称为离散型随机变量称为离散型随机变量X X的概率分布列的概率

2、分布列, ,简称为简称为X X的分布列的分布列, , 有时也用等式有时也用等式_表示表示X X的分布列的分布列. . (2)(2)性质性质: :_;_; =1. =1. P(X=xP(X=xi i)=p)=pi i,i=1,2,n,i=1,2,n p pi i0(i=1,2,n)0(i=1,2,n) n i i 1 p 2.2.常见的两类分布列常见的两类分布列 (1)(1)两点分布两点分布: : 若随机变量若随机变量X X服从两点分布服从两点分布, ,即其分布列为即其分布列为 其中其中p=_p=_称为成功概率称为成功概率. . X X0 01 1 P P_p p 1-p1-p P(X=1)P(

3、X=1) (2)(2)超几何分布超几何分布: : 在含有在含有M M件次品的件次品的N N件产品中件产品中, ,任取任取n n件件, ,其中恰有其中恰有X X件次件次 品品, ,则则P(X=k)=P(X=k)=_,k=0,1,2,k=0,1,2,m,m,其中其中m=_,m=_, 且且nN,MN,n,M,NNnN,MN,n,M,NN* *, ,则称随机变量则称随机变量X X服从超几何分服从超几何分 布布. . kn k MN M n N C C C minM,nminM,n 【常用结论常用结论】 1.1.离散型随机变量在指定范围的概率等于本范围内所离散型随机变量在指定范围的概率等于本范围内所 有

4、随机变量取值的概率和有随机变量取值的概率和. . 2.2.利用利用p p1 1+p+p2 2+p+pn n=1=1可检验所求分布列是否正确可检验所求分布列是否正确. . 3.3.若若X X是离散型随机变量是离散型随机变量, ,则则Y=aX+b(a,bR)Y=aX+b(a,bR)也是离散也是离散 型随机变量型随机变量, ,且且P(Y=yP(Y=yi i)=P(X=x)=P(X=xi i),),其中其中y yi i=ax=axi i+b.+b. 【基础自测基础自测】 题组一题组一: :走出误区走出误区 1.1.判断正误判断正误( (正确的打正确的打“”“”, ,错误的打错误的打“”)”) (1)(

5、1)随机变量和函数都是一种映射随机变量和函数都是一种映射, ,随机变量把随机试随机变量把随机试 验的结果映射为实数验的结果映射为实数. . ( () ) (2)(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互 斥的斥的. . ( () ) (3)(3)如果随机变量如果随机变量X X的概率分布列由下表给出的概率分布列由下表给出, , 则它服从两点分布则它服从两点分布. . ( () ) (4)(4)从从4 4名男演员和名男演员和3 3名女演员中选出名女演员中选出4 4人人, ,其中女演员的其中女演员的 人数人数X X服从超几何分布服从超几何分布. .

6、 ( () ) X X2 25 5 P P0.30.30.70.7 【解析解析】(1).(1).由随机变量的定义可知由随机变量的定义可知, ,此说法正确此说法正确. . (2).(2).离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼 此互斥的此互斥的. . (3)(3). .两点分布中随机变量两点分布中随机变量X X的取值为的取值为0,1.0,1. (4).(4).由超几何分布的定义由超几何分布的定义, ,可知此说法正确可知此说法正确. . 2.2.若离散型随机变量若离散型随机变量X X的概率分布列为的概率分布列为 则常数则常数c c的值为的值为( () )

7、X X0 01 1 P P9c9c2 2-c-c3-8c3-8c 2121 A. B. C. D.1 3333 或 【解析解析】选选C.C.根据离散型随机变量根据离散型随机变量X X的概率分布列的性的概率分布列的性 质知质知 得得c= c= 2 2 9cc0 3 8c0 9cc3 8c 1 ， ， ， 1 . 3 3.3.一盒中有一盒中有1212个乒乓球个乒乓球, ,其中其中9 9个新的个新的,3,3个旧的个旧的, ,从盒子从盒子 中任取中任取3 3个球来用个球来用, ,用完即为旧的用完即为旧的, ,用完后装回盒中用完后装回盒中, ,此此 时盒中旧球个数时盒中旧球个数X X是一个随机变量是一个

8、随机变量, ,则则P(X=4)P(X=4)的值为的值为 _._. 【解析解析】事件事件“X=4X=4”表示取出的表示取出的3 3个球有个球有1 1个新球个新球,2,2个个 旧球旧球, ,故故P(X=4)= P(X=4)= 答案答案: : 12 93 3 12 C C27 . C220 27 220 题组二题组二: :走进教材走进教材 1.(1.(选修选修2-3P492-3P49练习练习T2T2改编改编) )抛掷两枚质地均匀的硬币抛掷两枚质地均匀的硬币, , 则正面向上的个数则正面向上的个数X X的分布列为的分布列为( () ) 【解析解析】选选C.C.因为因为P(X=1)= ,P(X=1)=

9、,所以所以A,BA,B不正确不正确; ;又因为又因为 P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1.P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1.所以所以D D不正确不正确. . 1 2 2.(2.(选修选修2-3P492-3P49习题习题2.1A2.1A组组T4T4改编改编) )设随机变量设随机变量X X的概率的概率 分布列如下分布列如下, ,则则P(|X-2|=1)=P(|X-2|=1)= ( () ) 7151 A. B. C. D. 122126 【解析解析】选选C.C.由由|X-2|=1|X-2|=1可得可得X=3X=3或或X=1, X=1, 由分布列的性质可得由分布列的性质可得m=

10、1- m=1- 所以所以P(|X-2|=1)=P(X=1)+P(X=3)= P(|X-2|=1)=P(X=1)+P(X=3)= 1111 () 6434 ， 115 . 6412 考点一离散型随机变量的性质考点一离散型随机变量的性质 【题组练透题组练透】 1.1.随机变量随机变量X X所有可能取值的集合是所有可能取值的集合是-2,0,3,5,-2,0,3,5,且且 P(X=-2)= ,P(X=3)= ,P(X=5)= ,P(X=-2)= ,P(X=3)= ,P(X=5)= ,则则P(-1X4)P(-1X4) 的值为的值为( () ) 1 4 1 2 1 12 1123 A. B. C. D.

11、3234 【解析解析】选选C.C.因为随机变量因为随机变量X X所有可能取值的集合所有可能取值的集合 是是-2,0,3,5,-2,0,3,5,且且P(X=-2)= ,P(X=3)= ,P(X=-2)= ,P(X=3)= , P(X=5)= ,P(X=5)= ,由分布列的性质可知由分布列的性质可知P(X=0)= .P(X=0)= . 于是于是P(-1X4)=P(X=0)+P(X=3)= + = .P(-1X4)=P(X=0)+P(X=3)= + = . 1 4 1 2 1 12 1 6 1 6 1 2 2 3 2.2.若随机变量若随机变量X X的概率分布列为的概率分布列为 则当则当P(Xa)=0

12、.8P(Xa)=0.8时时, ,实数实数a a的取值范围是的取值范围是( () ) A.(-,2 B.1,2 A.(-,2 B.1,2 C.(1,2 C.(1,2 D.(1,2) D.(1,2) X X-2-2-1-10 01 12 23 3 P P0.10.10.20.20.20.20.30.30.10.10.10.1 【解析解析】选选C.C.由随机变量由随机变量X X的概率分布列知的概率分布列知,P(X2) ,P(X2) =0.8,=0.8,则当则当P(Xa)=0.8P(Xa)=0.8时时, ,实数实数a a的取值范围是的取值范围是(1,2.(1,2. 3.3.设设X X是一个离散型随机变

13、量是一个离散型随机变量, ,其分布列为其分布列为: : 则则q q等于等于( () ) A.1 A.1 B.1 B.1 C.1- D.1+ C.1- D.1+ X X-1-10 01 1 P P 1-2q1-2qq q2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 【解析解析】选选C.C.由题意知由题意知 即即 解得解得q=1- .q=1- . 2 1 2q0 1 (1 2q)q1 2 ， ， 2 1 q 2 2q4q10 ， ， 2 2 4.4.设离散型随机变量设离散型随机变量X X的概率分布列为的概率分布列为 求求:(1)2X+1:(1)2X+1的分布列的分布列. . (2)|X-1|(2)|X-

14、1|的分布列的分布列. . X X0 01 12 23 34 4 P P0.20.20.10.10.10.10.30.3m m 【解析解析】由分布列的性质知由分布列的性质知: : 0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,所以所以m=0.3.m=0.3. 首先列表为首先列表为 X X0 01 12 23 34 4 2X+12X+11 13 35 57 79 9 |X-1|X-1|1 10 01 12 23 3 从而由上表得两个分布列为从而由上表得两个分布列为 (1)2X+1(1)2X+1的分布列为的分布列为: : 2X+12X+11 13 35 57 79

15、 9 P P0.20.20.10.10.10.10.30.30.30.3 (2)|X-1|(2)|X-1|的分布列为的分布列为: : |X-1|X-1|1 10 01 12 23 3 P P0.20.20.10.10.10.10.30.30.30.3 【规律方法规律方法】求随机变量的概率分布列的三个步骤求随机变量的概率分布列的三个步骤 (1)(1)找找: :理解并确定理解并确定=x=xi i的意义的意义, ,找出随机变量找出随机变量的所的所 有可能的取值有可能的取值x xi i(i=1,2,n).(i=1,2,n). (2)(2)求求: :借助概率的有关知识求出随机变量借助概率的有关知识求出随

16、机变量取每一个取每一个 值的概率值的概率P(=xP(=xi i)=p)=pi i(i=1,2,n).(i=1,2,n).注意应用计数原注意应用计数原 理、古典概型等知识理、古典概型等知识. . (3)(3)列列: :列出表格并检验所求的概率是否满足分布列的列出表格并检验所求的概率是否满足分布列的 两条性质两条性质. . 考点二两点分布和超几何分布考点二两点分布和超几何分布 【典例典例】(1)(1)袋内有袋内有1010个白球个白球,5,5个红球个红球, ,从中摸出两球从中摸出两球, , 记记 求求X X的分布列的分布列. . 0 X 1 ，两个球全红， ，两球非全红， 【解析解析】X X的可能取

17、值为的可能取值为0,1.0,1. 故故X X的分布列如下的分布列如下: : 2 5 2 15 C2219 P(X0).P X11. C212121 (2)(2)在心理学研究中在心理学研究中, ,常采用对比试验的方法评价不同常采用对比试验的方法评价不同 心理暗示对人的影响心理暗示对人的影响, ,具体方法如下具体方法如下: :将参加试验的志将参加试验的志 愿者随机分成两组愿者随机分成两组, ,一组接受甲种心理暗示一组接受甲种心理暗示, ,另一组接另一组接 受乙种心理暗示受乙种心理暗示, ,通过对比这两组志愿者接受心理暗通过对比这两组志愿者接受心理暗 示后的结果来评价两种心理暗示的作用示后的结果来评

18、价两种心理暗示的作用. .现有现有6 6名男名男 志愿者志愿者A A1 1,A,A2 2,A,A3 3,A,A4 4,A,A5 5,A,A6 6和和4 4名女志愿者名女志愿者B B1 1,B,B2 2,B,B3 3,B,B4 4, ,从从 中随机抽取中随机抽取5 5人接受甲种心理暗示人接受甲种心理暗示, ,另另5 5人接受乙种心理人接受乙种心理 暗示暗示. . 求接受甲种心理暗示的志愿者中包含求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A A1 1但不包含但不包含B B1 1 的概率的概率; ; 用用X X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数, ,求求X X的分的分 布列布

19、列. . 【解析解析】所选所选5 5人中有人中有1 1人为人为A A1 1且不包含且不包含B B1 1, ,即再从余即再从余 下下8 8人中选人中选4 4人即可人即可, ,选择方式有选择方式有 =70(=70(种种),), 总选择方式共有总选择方式共有 =252(=252(种种),),故接受甲故接受甲 种心理暗示的志愿者中包含种心理暗示的志愿者中包含A A1 1但不包含但不包含B B1 1的概率的概率P=P= 4 8 8 7 6 5 C 4 3 2 1 5 10 10 9 8 7 6 C 5 4 3 2 1 705 . 25218 由题意知由题意知X X可取的值为可取的值为0,1,2,3,4,

20、0,1,2,3,4, 则则P(X=0)= ,P(X=1)= P(X=0)= ,P(X=1)= P(X=2)= P(X=2)= 因此因此X X的分布列为的分布列为 5 6 5 10 C1 C42 41 64 5 10 C C5 C21 ， 32 64 5 10 C C10 C21 ， 23 64 5 10 C C5 P(X3) C21 ， 14 64 5 10 C C1 P(X4). C42 0 03 34 4 【互动探究互动探究1 1】用用X X表示接受乙种心理暗示的男志愿者表示接受乙种心理暗示的男志愿者 人数人数, ,求求X X的分布列的分布列. . 【解析解析】由题意可知由题意可知X X的

21、取值为的取值为1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,则则 142332 646464 555 101010 415 646 55 1010 C CC CC C1510 P(X 1)P(X2)P(X3) C42C21C21 C CC51 P(X4)P(X5). C21C42 ， ， ， ， 因此因此X X的分布列为的分布列为 【互动探究互动探究2 2】用用X X表示接受乙种心理暗示的女志愿者表示接受乙种心理暗示的女志愿者 人数与男志愿者人数之差人数与男志愿者人数之差, ,求求X X的分布列的分布列. . 【解析解析】由题意知由题意知X X可取的值为可取的值为3,1,-1,-3,-5,3,1,-

22、1,-3,-5, 则则 因此因此X X的分布列为的分布列为 4132 4646 55 1010 C CC C15 P(X3)P(X 1) C42C21 ， ， 2314 4646 55 1010 5 6 5 10 C CC C105 P(X1)P(X3) C21C21 C1 P(X5) C42 ， ， 【规律方法规律方法】超几何分布列的求解步骤超几何分布列的求解步骤 (1)(1)辨模型辨模型: :结合实际情景分析所求概率分布问题是否结合实际情景分析所求概率分布问题是否 具有明显的两部分组成具有明显的两部分组成, ,如如“男生、女生男生、女生”,“,“正品、正品、 次品次品”,“,“优、劣优、劣

23、”等等, ,或可转化为明显的两部分或可转化为明显的两部分. .具有具有 该特征的概率模型为超几何分布模型该特征的概率模型为超几何分布模型. . (2)(2)算概率算概率: :可以直接借助公式可以直接借助公式P(X=k)= P(X=k)= 求解求解, , 也可以利用排列组合及概率的知识求解也可以利用排列组合及概率的知识求解, ,需注意借助公需注意借助公 式求解时应理解参数式求解时应理解参数N,M,n,kN,M,n,k的含义的含义. . (3)(3)列分布列列分布列: :把求得的概率值通过表格表示出来把求得的概率值通过表格表示出来. . kn k MN M n N C C C 【对点训练对点训练】

24、 1.1.在一次旅游目的地的投票选择中在一次旅游目的地的投票选择中, ,令令X= X= 如果选择安徽黄山的概率为如果选择安徽黄山的概率为0.6,0.6,请你写出随机变量请你写出随机变量X X的的 概率分布列概率分布列. . 0, 1, 安徽黄山， 四川九寨沟， 【解析解析】根据分布列的性质根据分布列的性质, ,选择四川九寨沟的概率为选择四川九寨沟的概率为 1-0.6=0.4.1-0.6=0.4.则随机变量则随机变量X X的概率分布列为的概率分布列为: : X X0 01 1 P P0.60.60.40.4 2.PM2.52.PM2.5是指悬浮在空气中直径小于或等于是指悬浮在空气中直径小于或等于

25、2.52.5微米的微米的 可入肺颗粒物可入肺颗粒物. .根据现行国家标准根据现行国家标准GB3095-2012,PM2.5GB3095-2012,PM2.5 日均值在日均值在3535微克微克/ /立方米以下空气质量为一级立方米以下空气质量为一级; ;在在3535微微 克克/ /立方米立方米7575微克微克/ /立方米之间空气质量为二级立方米之间空气质量为二级; ;在在7575 微克微克/ /立方米以上空气质量为超标立方米以上空气质量为超标. . 从某自然保护区从某自然保护区20142014年全年每天的年全年每天的PM2.5PM2.5监测数据中监测数据中 随机地抽取随机地抽取1010天的数据作为

26、样本天的数据作为样本, ,监测值频数如下表监测值频数如下表 所示所示: : PM2.5PM2.5日均值日均值 ( (微克微克/ /立方米立方米) ) 25,25, 3535 (35,(35, 4545 (45,(45, 5555 (55,(55, 6565 (65,(65, 7575 (75,(75, 8585 频数频数3 31 11 11 11 13 3 (1)(1)从这从这1010天的天的PM2.5PM2.5日均值监测数据中日均值监测数据中, ,随机抽出随机抽出3 3天天, , 求恰有一天空气质量达到一级的概率求恰有一天空气质量达到一级的概率. . (2)(2)从这从这1010天的数据中任

27、取天的数据中任取3 3天数据天数据, ,记记表示抽到表示抽到 PM2.5PM2.5监测数据超标的天数监测数据超标的天数, ,求求的分布列的分布列. . 【解析解析】(1)(1)记记“从从1010天的天的PM2.5PM2.5日均值监测数据中日均值监测数据中, ,随随 机抽出机抽出3 3天天, ,恰有一天空气质量达到一级恰有一天空气质量达到一级”为事件为事件A,A,则则 P(A)= P(A)= (2)(2)依据条件依据条件,服从超几何分布服从超几何分布, ,其中其中N=10,M=3,n=3,N=10,M=3,n=3, 且随机变量且随机变量的可能取值为的可能取值为0,1,2,3.0,1,2,3. P

28、(=k)= (k=0,1,2,3).P(=k)= (k=0,1,2,3). 12 37 3 10 C C21 . C40 g k3 k 37 3 10 CC C g 所以所以P(=0)= = ,P(=1)= P(=0)= = ,P(=1)= 因此因此的分布列为的分布列为: : 03 37 3 10 C C C 7 24 12 37 3 10 C C21 C40 ， 2130 3737 33 1010 C CC C71 P(2)P(3). C40C120 ， 考点三求离散型随机变量的分布列考点三求离散型随机变量的分布列 【明考点明考点知考法知考法】 离散型随机变量的分布列问题是高考考查重点离散型

29、随机变量的分布列问题是高考考查重点, ,试试 题常以解答题形式出现题常以解答题形式出现, ,常与排列、组合、概率、均值、常与排列、组合、概率、均值、 方差等知识综合应用方差等知识综合应用. .解题过程中常渗透分类讨论思想解题过程中常渗透分类讨论思想. . 命题角度命题角度1 1用频率代替概率的离散型随机变量的分布用频率代替概率的离散型随机变量的分布 列列 【典例典例】某花店每天以每枝某花店每天以每枝5 5元的价格从农场购进若干元的价格从农场购进若干 枝玫瑰花枝玫瑰花, ,然后以每枝然后以每枝1010元的价格出售元的价格出售, ,如果当天卖不如果当天卖不 完完, ,剩下的玫瑰花作垃圾处理剩下的玫

30、瑰花作垃圾处理. . (1)(1)若花店一天购进若花店一天购进1717枝玫瑰花枝玫瑰花, ,求当天的利润求当天的利润y(y(单位单位: : 元元) )关于当天需求量关于当天需求量n(n(单位单位: :枝枝,nN,nN* *) )的函数解析式的函数解析式. . (2)(2)花店记录了花店记录了100100天玫瑰花的日需求量天玫瑰花的日需求量( (单位单位: :枝枝),),整整 理得下表理得下表: : 以以100100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概 率率. .若花店一天购进若花店一天购进1717枝玫瑰花枝玫瑰花,X,X表示当天的利润表示当天的利

31、润( (单单 位位: :元元),),求求X X的分布列的分布列 日需求量日需求量n n1414151516161717181819192020 频数频数1010202016161616151513131010 【解析解析】(1)(1)当日需求量当日需求量n17n17时时, ,利润利润y=(10-5)y=(10-5) 17=85; 17=85; 当日需求量当日需求量n17n17时时, ,利润利润y=10n-85,y=10n-85,所以所以y y关关 于于n n的解析式为的解析式为 y= (nNy= (nN* *).). 10n85n17 85n17 ， ， (2)X(2)X可取可取55,65,7

32、5,85,P(X=55)=0.1,55,65,75,85,P(X=55)=0.1, P(X=65)=0.2, P(X=75)=0.16,P(X=85)=0.54.P(X=65)=0.2, P(X=75)=0.16,P(X=85)=0.54. X X的分布列为的分布列为: : X X5555656575758585 P P0.10.10.20.20.160.160.540.54 【互动探究互动探究】若花店计划一天购进若花店计划一天购进1616枝玫瑰花枝玫瑰花, , 求求X X的的 分布列分布列. . 【解析解析】当当n=14n=14时时,X=14,X=145-25-25=60,5=60, 当当n

33、=15n=15时时,X=15,X=155-15-15=70,5=70, 当当n16n16时时,X=16,X=165=80,5=80,故故X X可取可取60,70,80,60,70,80, P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2, P(X=80)=0.7.P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2, P(X=80)=0.7. X X的分布列为的分布列为: : X X606070708080 P P0.10.10.20.20.70.7 【状元笔记状元笔记】 求离散型随机变量的分布列的关键和关注点求离散型随机变量的分布列的关键和关注点 (1)(1)关键关键: :求随机变量取值所对应的概率

34、求随机变量取值所对应的概率, ,在求解时在求解时, ,常常 用随机变量取值的频率来估计概率用随机变量取值的频率来估计概率. . (2)(2)关注点关注点: :求出分布列后求出分布列后, ,注意运用分布列的两条性质注意运用分布列的两条性质 检验所求的分布列是否正确检验所求的分布列是否正确. . 命题角度命题角度2 2古典概型的离散型随机变量的分布列古典概型的离散型随机变量的分布列 【典例典例】在一个盒子中在一个盒子中, ,放有标号分别为放有标号分别为1,2,31,2,3的三张的三张 卡片卡片, ,现从这个盒子中现从这个盒子中, ,有放回地先后抽得两张卡片的有放回地先后抽得两张卡片的 标号分别为标

35、号分别为x,y,x,y,记记X=|x-2|+|y-x|.X=|x-2|+|y-x|. (1)(1)求随机变量求随机变量X X的最大值的最大值, ,并求事件并求事件“X X取得最大值取得最大值” 的概率的概率. . (2)(2)求随机变量求随机变量X X的分布列的分布列. . 【解析解析】(1)(1)由题意知由题意知,x,y,x,y可能的取值为可能的取值为1,2,3,1,2,3, 则则|x-2|1,|y-x|2,|x-2|1,|y-x|2,所以所以X3,X3,且当且当x=1,y=3x=1,y=3或或 x=3,y=1x=3,y=1时时,X=3.,X=3.因此因此, ,随机变量随机变量X X的最大值

36、为的最大值为3.3. 有放回地抽两张卡片的所有情况有有放回地抽两张卡片的所有情况有3 33=9(3=9(种种), ), 所以所以P(X=3)= ,P(X=3)= ,故随机变量故随机变量X X的最大值为的最大值为3,3,事件事件“X X取取 得最大值得最大值”的概率为的概率为 . . 2 9 2 9 (2)X(2)X的所有可能取值为的所有可能取值为0,1,2,3.0,1,2,3. 当当X=0X=0时时, ,只有只有x=2,y=2x=2,y=2这一种情况这一种情况; ; 当当X=1X=1时时, ,有有x=1,y=1x=1,y=1或或x=2,y=1x=2,y=1或或x=2,y=3x=2,y=3或或x

37、=3,y=3x=3,y=3四四 种情况种情况; ; 当当X=2X=2时时, ,有有x=1,y=2x=1,y=2或或x=3,y=2x=3,y=2两种情况两种情况; ; 当当X=3X=3时时, ,有有x=1,y=3x=1,y=3或或x=3,y=1x=3,y=1两种情况两种情况. .所以所以 P(X=0)= ,P(X=1)= ,P(X=2)= ,P(X=0)= ,P(X=1)= ,P(X=2)= , 1 9 4 9 2 9 P(X=3)= .P(X=3)= .所以所以X X的分布列为的分布列为: : 2 9 【状元笔记状元笔记】 求古典概型的离散型随机变量的分布列的步骤求古典概型的离散型随机变量的分

38、布列的步骤 (1)(1)应用计数原理、排列组合的知识求基本事件的总个应用计数原理、排列组合的知识求基本事件的总个 数及所求事件包含的基本事件的个数数及所求事件包含的基本事件的个数. . (2)(2)应用古典概型的概率公式求概率应用古典概型的概率公式求概率. . 【对点练对点练找规律找规律】 1.1.某科技博览会展出的智能机器人有某科技博览会展出的智能机器人有A,B,C,DA,B,C,D四种型号四种型号, , 每种型号至少有每种型号至少有4 4台台. .要求每位购买者只能购买要求每位购买者只能购买1 1台某种台某种 型号的机器人型号的机器人, ,且购买其中任意一种型号的机器人是等且购买其中任意一

39、种型号的机器人是等 可能的可能的. .现在有现在有4 4个人要购买机器人个人要购买机器人. . (1)(1)在会场展览台上在会场展览台上, ,展出方已放好了展出方已放好了A,B,C,DA,B,C,D四种型号四种型号 的机器人各一台的机器人各一台, ,现把他们排成一排表演节目现把他们排成一排表演节目, ,求求A A型与型与 B B型相邻且型相邻且C C型与型与D D型不相邻的概率型不相邻的概率. . (2)(2)设这设这4 4个人购买的机器人的型号种数为个人购买的机器人的型号种数为,求求的分的分 布列布列. . 【解析解析】(1)4(1)4台机器人排成一排的情况有台机器人排成一排的情况有 种种,

40、 , A A型与型与B B型相邻且型相邻且C C型与型与D D型不相邻的情况有型不相邻的情况有 , ,故所故所 求的概率为求的概率为P= P= 4 4 A 22 22 A A 22 22 4 4 A A1 . A6 1 4 4 311211 443443 4 2124 4434 44 C1 P(1) 464 1 C C CC C C 21 2 P(2) 464 C C AA93 P(3)P(4) 416432 ， ， ， (2)(2)由题意知由题意知的所有可能取值为的所有可能取值为1,2,3,4,1,2,3,4, 所以所以的分布列为的分布列为 2.(2.(改造题改造题) )自自20132013

41、年年1010月习近平主席提出建设月习近平主席提出建设“一带一带 一路一路”的合作倡议以来的合作倡议以来, ,我国积极建立与沿线国家的我国积极建立与沿线国家的 经济合作伙伴关系经济合作伙伴关系. .某公司为了扩大生产规模某公司为了扩大生产规模, ,欲在海欲在海 上丝绸之路经济带上丝绸之路经济带( (南线南线):):泉州泉州福州福州广州广州海口海口 北海北海( (广西广西)河内河内吉隆坡吉隆坡雅加达雅加达科伦坡科伦坡 加尔各答加尔各答内罗毕内罗毕雅典雅典威尼斯的威尼斯的1313个城市中选择个城市中选择3 3 个城市建设自己的工业厂房个城市建设自己的工业厂房, ,根据这根据这1313个城市的需求量个

42、城市的需求量 生产产品生产产品, ,并将其销往这并将其销往这1313个城市个城市. . (1)(1)求所选的求所选的3 3个城市中至少有个城市中至少有1 1个在国内的概率个在国内的概率. . (2)(2)已知每间工业厂房的月产量为已知每间工业厂房的月产量为1010万件万件, ,若一间厂房若一间厂房 正常生产正常生产, ,则每月可获得利润则每月可获得利润100100万万; ;若一间厂房闲置若一间厂房闲置, , 则该厂房每月亏损则该厂房每月亏损5050万万. .该公司为了确定建设工业厂房该公司为了确定建设工业厂房 的数目的数目n,n,统计了近统计了近5 5年来这年来这1313个城市中该产品的月需求

43、个城市中该产品的月需求 量数据量数据, ,得如下频数分布表得如下频数分布表: : 若以每月需求量的频率代替每月需求量的概率若以每月需求量的频率代替每月需求量的概率, , 设该产品每月的总利润为设该产品每月的总利润为Y,Y,分别求出该公司建设工业分别求出该公司建设工业 厂房的数目厂房的数目n=11,n=12,n=13n=11,n=12,n=13时时,Y,Y的分布列的分布列. . 月需求量月需求量( (单位单位: :万件万件) )100100110110120120130130 月份数月份数6 6242418181212 【解析解析】(1)(1)记事件记事件A A为为“该公司所选的该公司所选的3

44、3个城市中至少个城市中至少 有有1 1个在国内个在国内”, ,则则P(A)=1- P(A)=1- 所以该公司所选的所以该公司所选的3 3个城市中至少有个城市中至少有1 1个在国内的概率个在国内的概率 为为 . . 3 8 3 13 C115 C143 ， 115 143 (2)(2)当当n=11n=11时时,Y,Y的分布列为的分布列为: : Y Y9509501 1001 100 P P0.10.10.90.9 当当n=12n=12时时,Y,Y的分布列为的分布列为: : 当当n=13n=13时时,Y,Y的分布列为的分布列为 Y Y9009001 0501 0501 2001 200 P P0.

45、10.10.40.40.50.5 Y Y8508501 0001 0001 1501 1501 3001 300 P P0.10.10.40.40.30.30.20.2 思想方法系列思想方法系列2626离散型随机变量的分布列中的分离散型随机变量的分布列中的分 类整合思想类整合思想 【思想诠释思想诠释】分类整合思想是将较复杂的数学问题分分类整合思想是将较复杂的数学问题分 解成若干个基础性问题解成若干个基础性问题, ,通过对基础性问题的解答来实通过对基础性问题的解答来实 现解决原问题的思想策略现解决原问题的思想策略. .解决有关离散型随机变量的解决有关离散型随机变量的 分布列问题时分布列问题时,

46、,要注意以下几点要注意以下几点: : (1)(1)仔细审题仔细审题, ,明确随机变量的所有可能取值及其对应明确随机变量的所有可能取值及其对应 事件事件, ,做到不重不漏、分类互斥做到不重不漏、分类互斥. . (2)(2)求事件概率时注意互斥事件和对立事件概率公式的求事件概率时注意互斥事件和对立事件概率公式的 应用应用. . 【典例典例】某班级某班级5050名学生的考试分数名学生的考试分数x x分布在区间分布在区间 50,100)50,100)内内, ,设考试分数设考试分数x x的分布频率是的分布频率是f(x)f(x)且且f(x)=f(x)= 考试成绩采用考试成绩采用“5 5分分 制制”, ,规

47、定规定: :考试分数在考试分数在50,60)50,60)内的成绩记为内的成绩记为1 1分分, ,考试考试 分数在分数在60,70)60,70)内的成绩记为内的成绩记为2 2分分, ,考试分数在考试分数在70,80)70,80) n 0.4 10nx10(n1)n5 6 7 10 n b 10nx10(n1)n8 9. 5 ， ， ， ， 内的成绩记为内的成绩记为3 3分分, ,考试分数在考试分数在80,90)80,90)内的成绩记为内的成绩记为4 4 分分, ,考试分数在考试分数在90,100)90,100)内的成绩记为内的成绩记为5 5分分. .在在5050名学生名学生 中用分层抽样的方法中

48、用分层抽样的方法, ,从成绩为从成绩为1 1分、分、2 2分及分及3 3分的学生分的学生 中随机抽出中随机抽出6 6人人, ,再从这再从这6 6人中随机抽出人中随机抽出3 3人人, ,记这记这3 3人的人的 成绩之和为成绩之和为(将频率视为概率将频率视为概率).). (1)(1)求求b b的值的值, ,并估计该班的考试平均分数并估计该班的考试平均分数. . (2)(2)求求P(=7).P(=7). (3)(3)求随机变量求随机变量的分布列的分布列. . 【解析解析】(1)(1)因为因为f(x)=f(x)= 所以所以 所以所以b=1.9.b=1.9. n 0.4 10nx10(n1)n5 6 7

49、 10 n b 10nx10(n1)n8 9. 5 ， ， ， ， 56789 (0.4)(0.4)(0.4)(b)(b) 1 10101055 ， 估计该班的考试平均分数为估计该班的考试平均分数为 5678 (0.4) 55(0.4) 65(0.4) 75(1.9) 85 1010105 9 (1.9) 9576. 5 (2)(2)由题意可知由题意可知, ,考试成绩记为考试成绩记为1 1分分,2,2分分,3,3分分,4,4分分,5,5分分 的频率分别是的频率分别是0.1,0.2,0.3,0.3,0.1,0.1,0.2,0.3,0.3,0.1,按分层抽样的方按分层抽样的方 法分别从考试成绩记为

50、法分别从考试成绩记为1 1分分,2,2分分,3,3分的学生中抽出分的学生中抽出1 1 人人,2,2人人,3,3人人, ,再从这再从这6 6人中抽出人中抽出3 3人人, ,所以所以P(=7)=P(=7)= 2112 3132 3 6 C CC C3 . C10 (3)(3)由题意由题意,的可能取值为的可能取值为5,6,7,8,9,5,6,7,8,9, 所以所以的分布列为的分布列为: : 11112 12312 33 66 21 32 3 6 3 3 3 6 C C CC C13 P(5)P(6) C20C10 C C33 P(7)P(8) 10C10 C1 P(9). C20 ， ， ， ， 【

51、技法点拨技法点拨】 离散型随机变量分布列的求解规律离散型随机变量分布列的求解规律 步骤步骤要点要点 明取值明取值 要确定随机变量要确定随机变量的可能取值有哪些的可能取值有哪些, ,明确明确 每个取值所表示的意义每个取值所表示的意义 求概率求概率 求随机变量分布列的关键是求各个概率值求随机变量分布列的关键是求各个概率值, , 要弄清概率类型要弄清概率类型, ,以便套用相关的公式计算以便套用相关的公式计算, , 遇到个别概率计算困难时遇到个别概率计算困难时, ,还可用互斥事件、还可用互斥事件、 对立事件的概率公式计算对立事件的概率公式计算 步骤步骤要点要点 画表画表 格格 按规范要求形式写出分布列按规范要求形式写出分布列 会检会检 验验 在利用随机变量分布列求概率时在利用随机变量分布列求概率时, ,应注意应应注意应 用分布列的性质用分布列的性质, ,特别是求随机变量某一范特别是求随机变量某一范 围内取值的概率时围内取值的概率时, ,要注意它在