巧用三线合一证题

1、巧用“三线合一”证题“三线合一”是等腰三角形的一条特殊性质，在一些几何题的证题过程屮有着广泛的 应用。本文结合实例说明其应用，一.直接应用“三线合一”供参考。ABC的角平分线，DE、DF分别是 ABD和 ACD的高。例1.已知，如图1, AD是求证：AD垂直平分 EF分析：要证AEF为等腰三角形即可证明：EF,因为有 12 ,所以只DE AB, DF AC12, AD AD RtAED RtAFDAE AF又 12AD垂直平分EF例2.如图2, ABC中，AB = AC , AD为BC边上的高，AD的中点为M , CM的延长线 交AB于点K,求证：AB 3AKK是AE的中点,分析：可考虑作DE

2、ZCK交AB于E,因为M是AD的屮点，所以只要证E是BK的中点，问题可得到解决。由于有AB AC , AD BC ,所以就想到用“三线合一”。证明：过点D作DE/CK交BK于点EABAC , AD BCBDDC ,BEEKAMM D ,AKKEAKKEEBAB3AK二.先连线，再用“三线合一”例3.如图3,在ABC中，A 90, AB AC , D是BC的中点，P为BC上任一点，作PE AB , PF AC ,垂足分别为E、F求证：(1) DE =DF； ( 2) D E D F分析：(1)欲证二线段相等， 容易想到利用全等三角形。观察DE为BDE或PDE的一边，DF为 DFP或DFC的边，但

3、它们都没有全等的可能。由于 D为等腰直角三角 形的底边BC上的中点，于是我们想到连结AD 一试，这时容易发现 AED CFD或BDF ADF问题得证。(2)欲证DE DF ,只要证 ADE ADF 90 ,即可但由(1)已证出ADECDF又 ADFCDF90 ,故问题解决证明：连结AD o D 是 BC的中点BAC90, ABAC1AD BD_ BC2DA 平分 BAC , ADBCDABDAC1BAC 452B 45AB AC ,PF AC ,PEAB四边形PEAF是矩形PEFABPE45BBEPE AF又ABAC ,E CF又EADFCD45 , AD DCAEDCFDDE DF(2) A

4、ED CFDADE CDF又 ADF CDF 90ADF ADE 90 即 DE DF三.先构造等腰三角形，再用“三线合一”例4.如图4,已知四边形ABCD中，ACB ADB 90 , M、N分别为AB、CD的中点，求证:MN CD分析：由于MN与CD同在 MCD中，又N为CD的中点，于是就想到证MCD为等腰三角形，由于MD、MC为RtADB、RtACB斜 边AB上的中线，因此1MD必CAB ,所以，问题容易解决。2证明：连结DM、CMACB ADB 90 , M是AB的中点1DM CM -AB2CM D是等腰三角形又N是CD的中点， MN CD例5.如图5, ABC屮，BC、CF分别平分ABC和 ACB , AE BE于E, AF CF于F,求证：EF%C分析：由BE平分 ABC、AE BE容易想到：延长AE交BC于M ,可得等腰BM A ,E为AM的屮点；同理可得等腰 CAN , F是AN的屮点，故 EF为 AM N的屮位线，命 题就能得证。证明：延长AE、AF分别交BC于M、N12, AE BEBAM为等腰三角形即 AB MB, AE EM同理AF FNEF为AMN的中位线EF /MN, EF /BC年级初中学科松学版本朋数内容标题巧用