合情推理之归纳推理剖析

1、合情推理之归纳推理剖析合情推理之归纳推理剖析 合情推理之归纳推理剖析合情推理之归纳推理剖析 1.成语成语“一叶知秋一叶知秋” 2.2.一天，有一小贩在卖一篮橙子，我先尝了一天，有一小贩在卖一篮橙子，我先尝了 一个，觉得甜，又尝了一个，也是甜的，再一个，觉得甜，又尝了一个，也是甜的，再 尝了一个，还是甜的，所以我觉得尝了一个，还是甜的，所以我觉得: : 这一篮这一篮橙子橙子都是甜的。都是甜的。 合情推理之归纳推理剖析合情推理之归纳推理剖析 已知已知 判断判断 前提 未知未知 结论结论 结论 合情推理之归纳推理剖析合情推理之归纳推理剖析 合情推理之归纳推理剖析合情推理之归纳推理剖析 案例案例1：

2、由铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，由铜、铁、铝、金、银等金属都能导电， 由此猜想：由此猜想： 案例案例2：三角形的内角和是三角形的内角和是180180度，凸四边形的内角度，凸四边形的内角 和是和是360360度，凸五边形的内角和是度，凸五边形的内角和是540540度，度， 由此猜想：由此猜想： 一切金属都能导电。一切金属都能导电。 凸凸n边形的内角和是边形的内角和是 (n-2) 1800 。 案例案例3： 由此猜想：由此猜想： 第一个数为第一个数为2;第二个数为第二个数为4; 第三个数为第三个数为6;第四个数为第四个数为8 第第n个数为个数为2n. 合情推理之归纳推理剖析合情推理之归纳推理剖

3、析 归纳推理 合情推理之归纳推理剖析合情推理之归纳推理剖析 铜能导电铜能导电 铝能导电铝能导电 金能导电金能导电 银能导电银能导电 一切金属一切金属 都能导电都能导电. 三角形内角和三角形内角和 为为 凸四边形内角凸四边形内角 和为和为 凸五边形内角凸五边形内角 和为和为 180 360 540 凸凸n边形边形 内角和为内角和为 .1802 n 郑州市，甲、郑州市，甲、 乙、丙、丁四乙、丙、丁四 所高中学生对所高中学生对 数学学习的印数学学习的印 象。象。 全市高中全市高中 生普遍对生普遍对 数学学习数学学习 的印象。的印象。 第一个数为第一个数为2 第二个数为第二个数为4 第三个数为第三个数

4、为6 第四个数为第四个数为8 第第n个个 数为数为2n. 部分部分 个个别别 整整 体体 一一 般般 合情推理之归纳推理剖析合情推理之归纳推理剖析 合情推理之归纳推理剖析合情推理之归纳推理剖析 归纳推理的一般模式归纳推理的一般模式: S1具有具有P, S2具有具有P, Sn具有具有P, (S1,S2,Sn是是A类事物的对象）类事物的对象） 所以所以A类事物具有类事物具有P。 合情推理之归纳推理剖析合情推理之归纳推理剖析 这种由某类事物的部分对象具有某些特征这种由某类事物的部分对象具有某些特征, ,推推 出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理, , 或者

5、由个别事实概栝出一般结论的推理或者由个别事实概栝出一般结论的推理, ,称为称为 归纳推理归纳推理.(.(简称：归纳简称：归纳) ) 归纳推理的几个特点：归纳推理的几个特点： 1.1.归纳是归纳是由部分到整体、由个别到一般的推理。由部分到整体、由个别到一般的推理。 2.2.归纳是依据若干已知的的现象推断尚属未知的现归纳是依据若干已知的的现象推断尚属未知的现 象象, ,因而结论具有猜测性因而结论具有猜测性. . 3.3.归纳的前提是特殊的情况归纳的前提是特殊的情况, ,因而归纳是立足于观因而归纳是立足于观 察、经验和实验的基础之上察、经验和实验的基础之上. . 归纳是立足于观察、经验归纳是立足于观

6、察、经验、实验和对有限资料分实验和对有限资料分 析的基础上析的基础上. .提出带有规律性的结论提出带有规律性的结论. .需证明需证明 4.4.归纳推理能够发现新事实、获得新结论，是做出科归纳推理能够发现新事实、获得新结论，是做出科 学发现的重要手段。学发现的重要手段。 合情推理之归纳推理剖析合情推理之归纳推理剖析 合情推理之归纳推理剖析合情推理之归纳推理剖析 合情推理之归纳推理剖析合情推理之归纳推理剖析 凸多面体凸多面体面数（面数（F F）顶点数（顶点数（V V）棱数（棱数（E E） 四棱柱四棱柱 三棱锥三棱锥 八面体八面体 三棱柱三棱柱 四棱锥四棱锥 尖顶塔尖顶塔 四棱柱四棱柱 6812 6

7、44 三棱锥三棱锥 1286 八面体八面体 合情推理之归纳推理剖析合情推理之归纳推理剖析 凸多面体凸多面体面数（面数（F F）顶点数（顶点数（V V）棱数（棱数（E E） 四棱柱四棱柱 三棱锥三棱锥 八面体八面体 三棱柱三棱柱 四棱锥四棱锥 尖顶塔尖顶塔 四棱柱四棱柱 6812 644 三棱锥三棱锥 1286 八面体八面体 695 三棱柱三棱柱 合情推理之归纳推理剖析合情推理之归纳推理剖析 凸多面体凸多面体面数（面数（F F）顶点数（顶点数（V V）棱数（棱数（E E） 四棱柱四棱柱 三棱锥三棱锥 八面体八面体 三棱柱三棱柱 四棱锥四棱锥 尖顶塔尖顶塔 四棱柱四棱柱 6812 644 三棱锥三

8、棱锥 1286 八面体八面体 695 三棱柱三棱柱 558 四棱锥四棱锥 合情推理之归纳推理剖析合情推理之归纳推理剖析 凸多面体凸多面体面数（面数（F F）顶点数（顶点数（V V）棱数（棱数（E E） 四棱柱四棱柱 三棱锥三棱锥 八面体八面体 三棱柱三棱柱 四棱锥四棱锥 尖顶塔尖顶塔 四棱柱四棱柱 6812 644 三棱锥三棱锥 1286 八面体八面体 695 三棱柱三棱柱 558 四棱锥四棱锥 9169 尖顶塔尖顶塔 合情推理之归纳推理剖析合情推理之归纳推理剖析 合情推理之归纳推理剖析合情推理之归纳推理剖析 1 1、歌德巴赫的一个猜想的提出过程：歌德巴赫的一个猜想的提出过程： （1)他先无意

9、中发现：他先无意中发现：3710，31720，131730， 歌德巴赫猜想歌德巴赫猜想: :“任何一个不小于任何一个不小于6 6的偶数都的偶数都 等于两个奇质数之和等于两个奇质数之和” 综上述他得出一个规律：综上述他得出一个规律： 偶数奇质数奇质数偶数奇质数奇质数 （2)他后来又把上面的式子改写为他后来又把上面的式子改写为:1037，20317， 301317 63+3， 1000100029+97129+971， 83+5， 1002=139+863, 105+5, 125+7， 147+7， 165+11, 18 =7+11, ， 观察下列一个推理问题观察下列一个推理问题 合情推理之归纳推

10、理剖析合情推理之归纳推理剖析 应用归纳推理可以应用归纳推理可以 发现新事实发现新事实, ,获得新结论获得新结论! ! 归纳推理是科学发现的重要途径归纳推理是科学发现的重要途径! ! 合情推理之归纳推理剖析合情推理之归纳推理剖析 半个世纪之后，欧拉发现： 429496729712 5 2 猜想：.12 2 是质数 n 6700417641 新新的的猜猜想想： 形形如如 2 21 n （5n ） 的的数数都都是是合合数数. . 12 , 12 , 12 876 222 后来人们发现都是合数. ,1712, 512 21 22 都是质数 ,6553712,25712 43 22 实验观察实验观察 大

11、胆猜想大胆猜想 检验猜想检验猜想 归纳推理的归纳推理的 一般步骤一般步骤 归纳推理的结论不一定成立归纳推理的结论不一定成立 合情推理之归纳推理剖析合情推理之归纳推理剖析 n a 1 a n n n a a a 1 1 n a n 1 n 归纳推理不但能猜归纳推理不但能猜 测和发现结论，还测和发现结论，还 能探索和提供解题能探索和提供解题 思路。思路。 拓展延伸拓展延伸: 这样解严谨吗？这样解严谨吗？ 改为解答题，归纳改为解答题，归纳 的结论对你的解题思路的结论对你的解题思路 有启发吗有启发吗? 合情推理之归纳推理剖析合情推理之归纳推理剖析 合情推理之归纳推理剖析合情推理之归纳推理剖析 _b_a

12、b, a ( b a 6 b a 6 15 4 4 15 4 4 8 3 3 8 3 3 3 2 2 3 2 2练习1 均为实数），请推测 ，若， ，：已知 635 课堂练习课堂练习: 合情推理之归纳推理剖析合情推理之归纳推理剖析 由此推测有 ）计算得到： , 2 7 )32(, 3)16(, 2 5 )8(, 2)4(, 2 3 )2( ( 1 4 1 3 1 2 1 1)( fffff Nn n nf 练一练：练一练： )( 2 2 )2 ( Nn n f n 合情推理之归纳推理剖析合情推理之归纳推理剖析 1234567898765432112345678987654321 1.根据下列计

13、算快速填空根据下列计算快速填空: 111 1211111 12321111111 111111111111111111 合情推理之归纳推理剖析合情推理之归纳推理剖析 2.根据下列图案中点的排列规律根据下列图案中点的排列规律,猜想第猜想第(5)个个 图形有多少个点组成图形有多少个点组成,是怎样排列的是怎样排列的? (1)(2)(3)(4)(5) 那么那么 第第n个图形中共有多少个点呢个图形中共有多少个点呢? 合情推理之归纳推理剖析合情推理之归纳推理剖析 的概念的概念. . 的作用的作用. . 的一般步骤的一般步骤. . 观察、分析观察、分析提出猜想提出猜想检验猜想检验猜想 . . 个别个别 一般

14、一般部分部分 整体整体 归纳推理的结论不一定成立归纳推理的结论不一定成立 合情推理之归纳推理剖析合情推理之归纳推理剖析 n 合情推理之归纳推理剖析合情推理之归纳推理剖析 123 设设 为把为把 个圆环从个圆环从1号针移到号针移到3号针的最少次数，则号针的最少次数，则 n an n 1 a 合情推理之归纳推理剖析合情推理之归纳推理剖析 123 设设 为把为把 个圆环从个圆环从1号针移到号针移到3号针的最少次数，则号针的最少次数，则 n an n 1 a n 2 a 合情推理之归纳推理剖析合情推理之归纳推理剖析 123 设设 为把为把 个圆环从个圆环从1号针移到号针移到3号针的最少次数，则号针的最

15、少次数，则 n an n 1 a n 2 a n 3 a 猜想猜想 a an n= = 2 2n n -1 -1 合情推理之归纳推理剖析合情推理之归纳推理剖析 将将搬动的方法系统化可拆解为以下搬动的方法系统化可拆解为以下 三个步骤：三个步骤： 1. 1. 先将上面先将上面n-1n-1片圆环依规则移动到片圆环依规则移动到 某一根针上某一根针上至少需搬动至少需搬动a an-1 n-1次； 次； 2. 2. 再将最大的圆环移动到空的针再将最大的圆环移动到空的针 上上 至少需搬动至少需搬动1 1次；次； 3.3.最后将那最后将那n-1n-1片圆环再依规则移动到片圆环再依规则移动到 最大的圆环上最大的圆

16、环上至少需搬动至少需搬动a an-1 n-1次； 次； 至少共须搬动至少共须搬动a an n=a=an-1 n-1+1+a +1+an-1 n-1=2a =2an-1 n-1+1 +1次次 设设an为把为把n个圆环从一根针移到另一根针的最少次数，则个圆环从一根针移到另一根针的最少次数，则 合情推理之归纳推理剖析合情推理之归纳推理剖析 哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture) 在陈景润之前，关于偶数可表示为在陈景润之前，关于偶数可表示为 s s个质数的乘积个质数的乘积 与与t t个质数的乘积之和个质数的乘积之和( (简简 称称“s + t s + t ”问题问题) )之

17、进展情况如下之进展情况如下: : 19201920年，挪威的布朗年，挪威的布朗(Brun)(Brun)证明了证明了 “9 + 9 9 + 9 ”。 19241924年，德国的拉特马赫年，德国的拉特马赫(Rademacher)(Rademacher)证明了证明了“7 + 7 7 + 7 ”。 19321932年，英国的埃斯特曼年，英国的埃斯特曼(Estermann)(Estermann)证明了证明了 “6 + 6 6 + 6 ”。 19371937年，意大利的蕾西年，意大利的蕾西(Ricei)(Ricei)先後证明了先後证明了“5 + 7 5 + 7 ”, , “4 + 9 4 + 9 ”, ,

18、 “3 + 15 3 + 15 ”和和“2 + 366 2 + 366 ”。 19381938年，苏联的布赫年，苏联的布赫 夕太勃夕太勃(Byxwrao)(Byxwrao)证明了证明了“5 + 5 5 + 5 ”。 19401940年，苏联的布赫年，苏联的布赫 夕太勃夕太勃(Byxwrao)(Byxwrao)证明了证明了 “4 + 4 4 + 4 ”。 19481948年，匈牙利的瑞尼年，匈牙利的瑞尼(Renyi)(Renyi)证明了证明了“1 + c 1 + c ”，其中，其中c c是一很大的自然数。是一很大的自然数。 19561956年，中国的王元证明了年，中国的王元证明了 “3 + 4

19、3 + 4 ”。 19571957年，中国的王元先後证明了年，中国的王元先後证明了 “3 + 3 3 + 3 ”和和 “2 + 3 2 + 3 ”。 19621962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩(BapoaH)(BapoaH)证明了证明了 “1 + 5 1 + 5 ”，中国的，中国的 王元证明了王元证明了“1 + 4 1 + 4 ”。 19651965年，苏联的布赫年，苏联的布赫 夕太勃夕太勃(Byxwrao)(Byxwrao)和小维诺格拉多夫和小维诺格拉多夫(BHHopappB)(BHHopappB)，及意大，及意大 利的朋比利利的朋比利(Bombieri

20、)(Bombieri)证明了证明了“1 + 3 1 + 3 ”。 19661966年，中国的陈景润证明了年，中国的陈景润证明了 “1 + 2 1 + 2 ”。 最终会由谁攻克最终会由谁攻克 “1 + 1 1 + 1 ”这个难题呢？现在还没法预测。这个难题呢？现在还没法预测。 合情推理之归纳推理剖析合情推理之归纳推理剖析 四色猜想的提出来自英国。四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西年，毕业于伦敦大学的弗南西 斯斯格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有 趣的现象：趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，

21、使得有共看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共 同边界的国家着上不同的颜色。同边界的国家着上不同的颜色。”这个结论能不能从数学上加以这个结论能不能从数学上加以 严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二 人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作 没有进展。没有进展。 美国数学家富兰克林于美国数学家富兰克林于1939年证明了年证明了22国以下的地图都可以国以下的地图都可以 用四色着色。用四色着色。1950年，有人从年，有人从22国推进到国推进到35国。国。1960年，有人又年，有人又 证明了证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了 50国。看来这种推进仍然十分缓慢