梁的应力计算（经典实用）

1、第六章第六章 梁的应力梁的应力 6-2 6-2 梁的正应力强度条件及其应用梁的正应力强度条件及其应用 6-3 6-3 梁的合理截面形状及变截面梁梁的合理截面形状及变截面梁 （工程上提高弯曲强度的一些措施）（工程上提高弯曲强度的一些措施） 6-4 6-4 矩形截面梁的切应力矩形截面梁的切应力 6-6 6-6 梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件 6-1 6-1 梁的正应力（纯弯曲）梁的正应力（纯弯曲） 梁的应力计算 回顾与比较回顾与比较 内力内力 N F A 应力应力 P I T FS M ? ? 6-1 6-1 （纯弯曲）梁的正应力（纯弯曲）梁的正应力 梁的应力计算 纯弯曲纯弯曲 梁段梁段CD

2、CD上，只有弯矩，没有剪力上，只有弯矩，没有剪力纯弯曲纯弯曲 梁段梁段ACAC和和BDBD上，既有弯矩，又有剪力上，既有弯矩，又有剪力横力弯曲横力弯曲 6-1 6-1 （纯弯曲）梁的正应力（纯弯曲）梁的正应力 梁的应力计算 一、几何方面一、几何方面 dx aa bb m n n m 平面假设：平面假设： 横截面变形后保持为平面，且仍横截面变形后保持为平面，且仍 然垂直于变形后的梁轴线，只是绕截然垂直于变形后的梁轴线，只是绕截 面内某一轴线偏转了一个角度。面内某一轴线偏转了一个角度。 6-1 6-1 （纯弯曲）梁的正应力（纯弯曲）梁的正应力 m aa b b mn n d 梁的应力计算 凹入凹入

3、一侧纤维一侧纤维缩短缩短 突出突出一侧纤维一侧纤维伸长伸长 中间一层纤维长度不变中间一层纤维长度不变 中性层中性层 中性层与横截面的交线中性层与横截面的交线 中性轴中性轴 设想梁是由无数设想梁是由无数 层纵向纤维组成层纵向纤维组成 6-1 6-1 （纯弯曲）梁的正应力（纯弯曲）梁的正应力 梁的应力计算 胡克定理胡克定理E y E 建立坐标建立坐标 二、物理方面二、物理方面 (6-1) (6-2) dx aa bb m n n m oo y 6-1 6-1 （纯弯曲）梁的正应力（纯弯曲）梁的正应力 离中性层越远，线应变越大，曲率离中性层越远，线应变越大，曲率1/（弯曲程度）（弯曲程度） 越大，同

4、一位置线应变越大。越大，同一位置线应变越大。 梁的应力计算 三、静力学方面三、静力学方面 Z 1 EI M (6-5) FN、My、Mz 6-1 6-1 （纯弯曲）梁的正应力（纯弯曲）梁的正应力 EIZ 弯曲刚度弯曲刚度 梁的应力计算 正应力公式正应力公式 变形几何关系变形几何关系 物理关系物理关系 y E y E 静力学关系静力学关系 Z 1M EI Z I My 为梁弯曲变形后的曲为梁弯曲变形后的曲 率率 1 为曲率半径为曲率半径， 6-1 6-1 （纯弯曲）梁的正应力（纯弯曲）梁的正应力 (6-6) 梁的应力计算 正应力分布正应力分布 Z I My Z max max I My max

5、Z M W Z max Z I W y M M 与中性轴距离相等与中性轴距离相等 的点，的点， 正应力相等；正应力相等； 正应力大小与其到正应力大小与其到 中性轴距离成正比；中性轴距离成正比； 中性轴上中性轴上,正应力等于零正应力等于零 min Z M W 6-1 6-1 （纯弯曲）梁的正应力（纯弯曲）梁的正应力 梁的应力计算 常见截面的常见截面的 IZ 和和 WZ Z 圆截面圆截面矩形截面矩形截面空心圆截面空心圆截面空心矩形截面空心矩形截面 A dAyI 2 Z Z max y z I W 64 4 Z d I 3 32 z d W )1 ( 64 4 4 Z D I 3 4 (1) 32

6、z D W 12 3 Z bh I 2 6 z bh W 1212 3 3 00 Z bhhb I 33 00 0 ()/(/2) 1212 z b hbh Wh 6-1 6-1 （纯弯曲）梁的正应力（纯弯曲）梁的正应力 梁的应力计算 弹性力学精确分析表明，弹性力学精确分析表明， 当跨度当跨度 l 与横截面高度与横截面高度 h 之之 比比 l / h 5 （细长梁）时，（细长梁）时， 纯弯曲正应力公式对于横力纯弯曲正应力公式对于横力 弯曲近似成立。弯曲近似成立。 横力弯曲横力弯曲 6-1 6-1 （纯弯曲）梁的正应力（纯弯曲）梁的正应力 梁的应力计算 横力弯曲正应力公式横力弯曲正应力公式 Z

7、I My maxmaxmax max ZZ MyM IW 横力弯曲最大正应力横力弯曲最大正应力 6-1 6-1 梁的正应力梁的正应力 细长梁的细长梁的纯弯曲纯弯曲或或横力弯曲横力弯曲 横截面惯性积横截面惯性积 I IYZ YZ =0 =0 弹性变形阶段弹性变形阶段 公式适用范围公式适用范围 梁的应力计算 例例6-1 6-1 6-1 梁的正应力梁的正应力 长为长为l l的矩形截面梁，在自由端作用一集中力的矩形截面梁，在自由端作用一集中力F F， 已知，已知，h=0.18mh=0.18m，b=0.12mb=0.12m，y=0.06m,a=2my=0.06m,a=2m， F=1.5kNF=1.5kN

8、。试求。试求C C截面上截面上K K点的正应力。点的正应力。 解：先算出解：先算出C C截面上的弯矩截面上的弯矩 mN103m2N105 . 1aFM 33 C 截面对中性轴（水平对称轴）的惯性矩为：截面对中性轴（水平对称轴）的惯性矩为： 44 333 Z m10583. 0 12 m18. 0m12. 0 12 bh I 梁的应力计算 例例6-1 6-1 6-1 梁的正应力梁的正应力 长为长为l l的矩形截面梁，在自由端作用一集中力的矩形截面梁，在自由端作用一集中力F F， 已知，已知，h=0.18mh=0.18m，b=0.12mb=0.12m，y=0.06m,a=2my=0.06m,a=2

9、m， F=1.5kNF=1.5kN。试求。试求C C截面上截面上K K点的正应力。点的正应力。 根据公式：根据公式： 代入公式时，不考虑正负号。代入公式时，不考虑正负号。 MPa09. 3m06. 0 m10583. 0 mN103 y I M 44 3 Z C K C C截面弯矩为负，截面弯矩为负，K K点位于中性轴上面，所以点位于中性轴上面，所以K K点应力点应力 为拉应力。为拉应力。 梁的应力计算 弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件 Z W max maxmax max z MyM I 1.1.等截面梁弯矩最大的截面上等截面梁弯矩最大的截面上 2.2.离中性轴最远处离中性轴最远处 4.

10、4.脆性材料脆性材料抗拉和抗压性能不同，两方面都要考虑抗拉和抗压性能不同，两方面都要考虑 tt max, cc max, 3.3.变截面梁要综合考虑变截面梁要综合考虑 与与M z I 6-2 6-2 梁的正应力强度条件及其应用梁的正应力强度条件及其应用 梁的应力计算 根据弯曲正应力强度条件根据弯曲正应力强度条件 1.1.强度校核强度校核 2.2.选择截面选择截面 3.3.计算梁所能承载的最大荷载计算梁所能承载的最大荷载 6-2 6-2 梁的正应力强度条件及其应用梁的正应力强度条件及其应用 Z max max W M max Z M W Zmax WM 梁的应力计算 BA l = 4m q=2k

11、N/m x C xm M x m4kN8/ql2 210 140 mkN4 8 ql M 2 max 1. 求支反力求支反力kN4F Ay kN4F By 解：解： 例题6-2 6-2 6-2 梁的正应力强度条件及其应用梁的正应力强度条件及其应用 =10MPa，试校核该梁 的强度。 2. 求最大弯矩求最大弯矩 32 222 Z m10103. 0 6 m21. 0m14. 0 6 bh W 最大正应力为：最大正应力为： MPa10MPa88. 3 m10103. 0 mN104 W M 32 3 Z max max 满足强度要求。满足强度要求。 梁的应力计算 例题6-4 6-2 6-2 梁的正

12、应力强度条件及其应用梁的正应力强度条件及其应用 简支梁上作用两个集 中力，已知l=6m， F1=15kN，F2=21kN。 如果梁采用热轧普通 工字钢，钢的许用应 力=170MPa，试选 择工字钢的型号。 解：先画出弯矩图，最大弯矩发生在F2作用截面上，其值 为38kNm。根据强度条件，梁所需的弯曲截面系数为： 333 6 3 max Z cm223m10223. 0 Pa10170 mN1038M W 梁的应力计算 例题6-4 6-2 6-2 梁的正应力强度条件及其应用梁的正应力强度条件及其应用 根据算得的WZ值，在 附录型钢表上查出与 该值相近的型号，就 是我们所需的型号。 注意：选择的工

13、字钢型号WZ值一般要求计算值，才能满 足强度要求。 附录A，附表4，P232页。 查出20a钢相近WZ值237cm3，故选择20a号工字钢。 如选取的工字钢WZ值略小于计算值，则应再校核下强度， 当max不超过的5%时，还是满足工程需要的。 梁的应力计算 6-2 6-2 梁的正应力强度条件及其应用梁的正应力强度条件及其应用 例题6-5一形截面的外伸梁如图所示，已知形截面的外伸梁如图所示，已知l=600mm， a=40mm，b=30mm，c=80mm，F1=24kN,F2=9kN,材料材料 的许用应力的许用应力t=30MPa，许用压应力，许用压应力c=90MPa。试校 核梁的强度。 解：先画出弯

14、矩图。需算出形心C的位置及截面对中性轴 的惯性矩，算得结果为： 45 Z21 m10573. 0I ,m038. 0y,m072. 0y 梁的应力计算 6-2 6-2 梁的正应力强度条件及其应用梁的正应力强度条件及其应用 因材料的抗拉与抗压性能不同，截面对中性轴又不对称， 所以需对最大拉应力与最大压应力分别进行校核。 （1）校核最大拉应力 由于截面对中性轴不对称。而正负弯矩都存在，因此，最 大拉应力不一定发生在弯矩绝对值最大的截面上。应该对 最大正弯矩和最大负弯矩两个截面上的拉应力进行分析比 较。 梁的应力计算 6-2 6-2 梁的正应力强度条件及其应用梁的正应力强度条件及其应用 在最大正弯矩

15、的C截面上，最大拉应力发生在截面的下边 缘，其值为 在最大负弯矩的B截面上，最大拉应力发生在截面的上边 缘，其值为 2 Z C max y I M 1 Z B max y I M 梁的应力计算 6-2 6-2 梁的正应力强度条件及其应用梁的正应力强度条件及其应用 在上面两式中，MCMB而y2y1，应比较MCy2与MBy1： 2 Z C max y I M 1 Z B max y I M C B 23 2C mN103m038. 0mN107 . 2yM 23 1B mN129m072. 0mN108 . 1yM 因MCy2方形方形圆形圆形 由此推断：工字型截面优于矩形截面。由此推断：工字型截面

16、优于矩形截面。 梁的应力计算 6-3 6-3 变截面梁形状及变截面梁变截面梁形状及变截面梁 换个角度思考：换个角度思考： WZ值与截面高度和面积分布有关，截面高度越大、面值与截面高度和面积分布有关，截面高度越大、面 积分布离中性轴越远的话，积分布离中性轴越远的话，WZ值就越大，这也是工字值就越大，这也是工字 型形梁更合理的主要原因之一。型形梁更合理的主要原因之一。 M 从应力角度分析：从应力角度分析： 梁的应力计算 6-3 6-3 变截面梁形状及变截面梁变截面梁形状及变截面梁 二、变截面梁二、变截面梁 BA l = 4m q=2kN/m x C xm M x m4kN8/ql2 变截面梁变截面

17、梁横截面沿梁轴横截面沿梁轴 线变化的梁线变化的梁 等强度梁等强度梁梁强度沿轴线梁强度沿轴线 均匀分布均匀分布 xW xM Z max xM xWZ 梁的应力计算 6-3 6-3 变截面梁形状及变截面梁变截面梁形状及变截面梁 当荷载比较复杂时，等强度梁难以加工，增加了加工当荷载比较复杂时，等强度梁难以加工，增加了加工 制造成本，一般很少采用等强度梁。制造成本，一般很少采用等强度梁。 xM xWZ 梁的应力计算 6-3 6-3 变截面梁形状及变截面梁变截面梁形状及变截面梁 BA l FAY FBY x2 x1 C F ab M x 梁的应力计算 6-4 6-4 矩形截面梁的切应力矩形截面梁的切应力

18、 x dx x y P m q(x) A B m n m1 n1 分几种截面形状讨论弯曲切应力分几种截面形状讨论弯曲切应力 一、矩形截面梁切应力一、矩形截面梁切应力 ( /) s F 1 1、横截面上各点的切应力方向平行于剪力、横截面上各点的切应力方向平行于剪力 2 2、切应力沿截面宽度均匀分布、切应力沿截面宽度均匀分布 关于切应力的分布作两点假设：关于切应力的分布作两点假设： Fs b h y m n m1 n1 O p1 q1 p dx x y z 梁的应力计算 6-4 6-4 矩形截面梁的切应力矩形截面梁的切应力 一、矩形截面梁一、矩形截面梁 bI SF Z ZS 切应力计算公式：切应力

19、计算公式： （6-116-11） 式中，式中，F FS S- -横截面上的剪力；横截面上的剪力；I IZ Z- -截面对中性轴的惯性矩；截面对中性轴的惯性矩； b-b-截面的宽度；截面的宽度；S SZ Z- -为面积为面积A A* *对中性轴的静矩。对中性轴的静矩。 A A* *是过欲求应力点的水平线到截面边缘间的面积。是过欲求应力点的水平线到截面边缘间的面积。 K F FS S、S SZ Z均代绝对均代绝对 值，切应力方向值，切应力方向 依剪力方向确定。依剪力方向确定。 梁的应力计算 6-4 6-4 矩形截面梁的切应力矩形截面梁的切应力 二、矩形截面梁切应力分布二、矩形截面梁切应力分布 bI

20、 SF Z ZS 公式中，对某一截面来说，公式中，对某一截面来说， F FS S、I IZ Z、b b均为常数，只有均为常数，只有 静矩是变量。静矩是变量。 0Z yAS 2/y 2 h yy 2 h b 2 2 y 4 h 2 b 梁的应力计算 6-4 6-4 矩形截面梁的切应力矩形截面梁的切应力 二、矩形截面梁切应力分布二、矩形截面梁切应力分布 bI SF Z ZS 2 2 Z y 4 h 2 b S 12 bh I 3 Z 2 2 3 S y 4 h bh F6 抛物线抛物线 当当y=h/2,=0 当当y=0,max 中性轴上切应力最大，上中性轴上切应力最大，上 下边缘为下边缘为0，和正

21、应力相，和正应力相 反。反。 梁的应力计算 6-4 6-4 矩形截面梁的切应力矩形截面梁的切应力 二、矩形截面梁切应力分布二、矩形截面梁切应力分布 2 2 3 S y 4 h bh F6 4 h bh F6 2 3 S max bh2 F3 S A F 2 3 S 矩形截面上最大切应力为平均切应力的矩形截面上最大切应力为平均切应力的1.51.5倍。倍。 梁的应力计算 6-4 6-4 矩形截面梁的切应力矩形截面梁的切应力 例例6-6 6-6 矩形截面简支梁如图所示，已知，矩形截面简支梁如图所示，已知，l=3ml=3m，h=160mmh=160mm， b=100mmb=100mm，h h1 1=4

22、0mm=40mm，F=3kNF=3kN。试求。试求m-mm-m截面上截面上K K点的切应力。点的切应力。 解：首先求得解：首先求得m-mm-m截面上的剪力为截面上的剪力为3kN3kN，截面的惯性矩及面，截面的惯性矩及面 积积A A* *对中性轴的静矩分别为：对中性轴的静矩分别为： 44 333 Z m10341. 0 12 m16. 0m1 . 0 12 bh I 梁的应力计算 6-4 6-4 矩形截面梁的切应力矩形截面梁的切应力 例例6-6 6-6 矩形截面简支梁如图所示，已知，矩形截面简支梁如图所示，已知，l=3ml=3m，h=160mmh=160mm， b=100mmb=100mm，h

23、h1 1=40mm=40mm，F=3kNF=3kN。试求。试求m-mm-m截面上截面上K K点的切应力。点的切应力。 33 0Z m1024. 0m06. 0m04. 0m1 . 0yAS K K点的切应力为点的切应力为 MPa21. 0 m1 . 0m10341. 0 m1024. 0N103 bI SF 44 333 Z ZS 梁的应力计算 6-6 6-6 梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件 如前所述，对某一横截面来说，最大切应力发生在中性如前所述，对某一横截面来说，最大切应力发生在中性 轴上，最大值为：轴上，最大值为： bI SF Z max,ZS max 对全梁来说，最大切应力发生在

24、剪力最大的截面上，即对全梁来说，最大切应力发生在剪力最大的截面上，即 bI SF Z max,Zmax,S max 强度条件为：强度条件为： bI SF Z max,Zmax,S max 对梁校核时，要同时满足正应力、切应力强度条件，二对梁校核时，要同时满足正应力、切应力强度条件，二 者有主次，一般以正应力强度设计为主，选好截面后再者有主次，一般以正应力强度设计为主，选好截面后再 通过切应力条件校核。通过切应力条件校核。 梁的应力计算 6-6 6-6 梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件 解：分别检查正应力和切应力。最大正应力、最大切解：分别检查正应力和切应力。最大正应力、最大切 应力分别发生

25、在最大弯矩与最大剪力的截面上，应力分别发生在最大弯矩与最大剪力的截面上，W WZ Z、b b 及及S SZ,max Z,max均可在型钢表中查得（ 均可在型钢表中查得（P232P232）。）。 例例6-8 一外伸工字形钢梁，工字钢的型号为一外伸工字形钢梁，工字钢的型号为22a，梁上荷，梁上荷 载如图所示。已知，载如图所示。已知，l=6m，F=30kN，q=6kN/m，材料的，材料的 许用应力许用应力=170MPa、=100MPa。试检查此梁是否安。试检查此梁是否安 全。全。 从附表从附表4 4中查得：中查得： 333 Z m10309. 0cm309W m105 . 7db 3 表 m189 . 0 cm 9 . 18 S I max,Z Z 梁的应力计算 6-6 6-6 梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件 最大正应力为：最大正应力为： MPa170MPa126 m10309. 0 mN1039 W M 33 3 Z max max