比例线段三角形一边平行线.

1、比例线段 一、比例的性质： 如果a,b,c,d是比例线段,即 d c b a =（或 d c b a := ，那么线段d a是比例外项，线段b、c是比例内项，线段d是a,b,c的第四比例 项。补充:十字相乘:若 d c b a =，则; 对角线性质：若d c b a ，则；倒数性质:若 d c b a = ，则； 性质1:如果线段d c b a ,，满足d c b a =那么d c b b a d d c b b a -= -+=+,是否成立？性质2:如果线段d c b a ,，满足d c b a =，那么d c b a d b c a =+是否成立? 例题:已知:如图,EC AE BD AD

2、 =,求证:(1 EC AC DB AB = ；（2 AE AC AD AB =练习 1. 已知:如图,C是线段AB上的一点，且57=CB AB。则= CB AC , =AC CB 2. 已知（x +y :y =11:4,求（1x :y ; （2y x y x 32-的值. 3 .已知线段a、b、c、d成比例，其中a =12厘米,b =3厘米,c =4厘米,求第四 比例项d的长. 4.已知 ABC和厶ABC 中,3 =“=“=“A C CA C B BC B A AB 且 AB+BC+CA=24 厘米，求 ABC 的周长. 5.已知（3 k y x z x z y z y x =+=+=+,求

3、 k 的值. 比例中项黄金分割 四、比例中项 如果比例的两个内项（或两个外项相同a:b =b:c，那么这个相同的项叫做另两项 的比例中项.上述比例式中,b叫做a和c的比例中项.这时,ac b =2 。黄金分割 在比例式 AB AP AP PB = 厂 中，线段AP称为线段AB与线段PB的比例中项；如图，点P是线段AB上的一 个动点，则点P在运动过程中,线段AP,PB,AB之间有怎样的一个数量关系？如果点P 把线段AB分割成AP和PB(APPB两段，其中AP是AB和PB的比例中项，那么称 这种分割为 黄金分割(golden section点P称为线段AB的黄金分割点. AP与AB的比值称为黄金分

4、割数(简称黄金数.黄金分割数是一个无理数，在应 用时常取它的近似值0.618.般来说，一条线段的黄金分割点有 个.练习:1,求线段 a,b 的比例中项:(1 33,3=b a ;(2 2 1 5,215+=-= b a ; 2, 已知线段MN的长为2厘米，点P是线段MN的黄金分割点，则较长线段MP 的长是厘米，较短线段 PN的长是米. 3. 已知点P是线段AB上的黄金分割点,APPB,AB=4厘米那么线段AP,PB的 长分别是厘米和 厘米. 已知点P是线段AB上的黄金分割点，被分得的较长的线段PB=4厘米,那么较 短的线段PA=米,AB=厘米. f 五、面积比1 .同高三角形： (1如图(1,

5、D是BC边的中点，则 ?ACD ABD S S.(2如图(2,点D是边BC边上的一点，且DC:BD=1:2, 二？?ABD ADC S S ; (3如图(2若 23 S S ABD ABC =?,则=BC BD ; 面积之比可转化为线段之比，反之，线段之比也可以转化为面积之比 练习.(1如图,D是厶ABC的边BC上一点，若BD:DC=3:2,则 二？ ADC ABD S S ;二?ABC ADC S S ; (2如图若53 S S ABC ABD =?,则=BC BD ; 2.同底等高三角形 练习1.如图，已知梯形ABCD中,AB/DC, AOB的面积等于9平方厘 米, AOD的面积等于6平方

6、厘米. (1求厶BOC的面积.(2求0A CO OB DO 二的值. 2.如图:在梯形ABCD中,AD/BC ,4,2=?BOC oAB S S ,求梯形ABCD的面积. 3.探究新知：如图，已知 ABC与厶ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置 关系，并说明理由 三角形一边的平行线 六、三角形一边的平行线性质定理 三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直 线，截得的对应线段成比例符号表达式:DE / BC ,二例题:如图，已知DE / BC,AB=15,AC=10,BD=6,求 AE. 复合图形的证明与分析：例题1已知DF/BC,求证:CF OF BE OE A

7、D OD = 例题 2.已知 DE/AB、EF/BC,求证:CF OF AD OD = 例题 3. CD/AB、DE/BC,求证: OA OC OC OE = 例题4.如图,在平行四边形ABCD中,F为边BA延长线上一点，连接C、F交 AD于点E , 求证: CE AE 七、三角形一边的平行线性质定理的推论 可证得结论同样成立 由上述探究，请用语言叙述这一结论. 三角形一边的平行线性质定理的推论：平行于三角形一边的直线截其它两边所 在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例 符号表达式BC DE / ,二 例题 1，.已知:在厶ABC 中,BD 平分/ ABC,DE/BC,AE=4

8、,BC=8,求 AE 的长. 例题 2.,已知在梯形 ABCD 中,EF/AD,AD=2,BC=5,AE=1,BE=2,求 EF 的长. 例题3 .在 ABC中,D为BC中点,M为AD的中点，连接BM,延长BM交AC 于占 -J 八、 例题4.如图已知小明的身高是1.6米他在路灯下的影长为2米,小明距路灯灯 杆的底部3米,则路灯灯炮距地面的 八、三角形一边的平行线性质定理的推论 例题.如图,在平行四边形ABCD中,E为边BC的中点，分别连接A、E和B、 D交于点F，求BF:FD的值 D 练习1:如图,在平行四边形ABCD中,E、G为边BC和线段BE的中点，分别连 接A、E和G、D交于点F,求E

9、F:AF的值 练习2:如图,在平行四边形ABCD中,E、H为边BC和AB的中点，分别连接 E、H和B、D交于点F,求BF:FD的值 练习3:如图,在平行四边形ABCD中,M、N、P分别是AB、AD、AN的中点, 求EN : CN的值. 例题.已知在梯形 ABCD中,AD/BC,EF为中位线AD:BC=2:3,求EF:MN的值. 证明类： 例题1.如图,在厶ABC中，点D、E分别在AB、AC上QE/BC,点F在BC边 上,AF与 DE相交于点G.求证:AB -EG=AD CF 练习：已知:如图,AG/BC,BD=DC,求证:. 例题2.在 ABC中,D为边BC上一点，且，求证：/ BAD= /

10、CAD 例题3已知:如图，在平行四边形ABCD中，经过对角线BD的中点P的直线分别 交边AB、CD所在直线于点E、F,分别交边AD、BC于点M、N,求 证:PE PM=PF PN A B C D E P N M AC AB DC BD 例题 4.已知在梯形 ABCD 中,AD/BC,BE/CD,求证:FC 2=FA FE. 例题5.如图，在 ABC中,，求证:BD=EC 练习:如图在 ABC中，点D在BC的延长线上,点F在边AB上，联结DF交 AC 于点E ,如果，求证: FAE是等腰三角形 计算证明类: 练习1:在厶ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，且BE与CD交于点 G,点M、N

11、分别是BE、CD的中点，连接MN,求证:BC=4MN. D 练习2:在正方形ABCD中,E为边CD上一点,DE:EC=3:1,延长AE交BC边的 延长线于点F ,G为AE的中点，求BG:GD的值. 例题.已知:如图,BE,CF是厶ABC的中线,交于点G.求证: =GC GF GB GE三角形的三条中线交于一点 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心三角形重心定理 三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍.重 心练习 AB AC EF DF =DC DE BC AB = 2. 在 ABC 中,AB=AC=10,BC=16, E 为 AC 的中点，求 BE 的长； 3. 在

12、 ABC 中冲线 AD,BE,CF 交于点 G ,AD 丄CF,AD=9,CF=12 求 AB 和 BE 的长； 4. 已知:在 Rt ABC 中，/ BCA=900,AC=5, / B=300,G 是重心，则 CG=; 5. 在 ABC中冲线AD,BE交于点G ,CP/AD交BE延长线于点P,求PC;AD=; 图4 图5 6. 在等边厶ABC中,G为重心,AB=1,把厶ABG绕点A旋转使点B与点C重合, 占 八、 G到点G处，求S A Gb ; * 7. 在厶ABC中,G为重心,求证:S ABG =S BCG =S ACG 8.在四边形 ABCD中,G 1是厶ABC的重心,G 2是厶DBC的

13、重心,G 1G 2=2厘米, 求AD的长； 9.如图是一个半径为10圆心角为90勺扇形，点P是弧上一个动点（与A、B不 重合.PH丄OB,G是厶POH的重心，问点P在运动过程中，在PG,OG ,HG这三条线段 中，是否存在长度不变的线段？若存在是哪一条？它的长度等于多少？ 九、三角形一边的平行线判定定理.三角形一边的平行线判定定理 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三 角形的第三边. 符号表达式：./DB AD BC DE EC AE 根据比例的性质知，在关系式EC AE DB AD AC AE =AB ADAC EC =AB BD中,由其中一个可推出其余两个.

14、因此，以关系式 、之一为已知条件，都可推出DE / BC. 如果点D、E分别在线段AB,AC的延长线上或分别在它们的反向延长线上，且 具备条件之一，那么也可以用上述同样的方法推出DE / BC. 三角形一边的平行线判定定理推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两 边的延长线在第三边的同侧，所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的 第三边.练习 1. 已知:如图，点A 1、B 1、C 1分别在射线 0A、OB、OC上,且AB / A 1B 1,BC / B 1C 1.求证:AC / A 1C 1. 2已知:点D、E分别在 ABC的边AB和AC的延长线上，BD=2AB,CE=2AC.

15、求证:DE / BC. 3. 已知:如图，点0在厶ABC内部，点D、E、F分别在线段0A、OB、0C上, 且 DE / AB,EF / BC.求证:DF / AC. A 十、平行线分线段成比例定理 引入:如图,DE / FG / BC,已知 AF=27,DF=15,BF=9,AG=18.则 EG=_,GC=_ 平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例符号表达式：321/l I l ,(DF EF AC BC DF DE AC AB EF DE BC AB = / 当图中i2过AC的中点B,即 AB=BC时，则DE=EF. 平行线等分线段定理(直线在平移过程中，

16、上述比例式始终成立 两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另 一条直线上截得的线段也相等平行线分线段成比例定理与三角形一边的平行线的 性质定理有着内在的联系 例题已知:如图 I / I / 3,AM=3,BM=2,BC=4,DE=7.5,求 DM,DF 的长. 已知线段a、b、c,如何求作一条线段x,使x是a,b,c的第四比例项(即a:b=c:x. F面哪种画法是正确的 C 3. 练习 1如图，已知AD / BE / CF,它们依次交直线 I 1,于点A、B、C.和点D、E、F. (1 女口果 AB=6,BC=10,EF=8,贝U DE=; (2 如果 DE:EF

17、=3:5,AC=24,则 AB=,BC=. 2. 如图，直线i 1, i分别交直线i4点A、B、C,交直线i5点D、E、F,且 L 1 I 2 I 已知 AB=3,AC=5,DF=9,求 DE、EF 的长. 3. 如图，已知线段AB,在线段AB上求作一点C,使AC:CB=1:2. 5.如图，已知直线 E、F,且 I / I / I 3. 4. 如图，已知 AD / EF/ BC.(1 如果 AE=4,DF=5,EB=6,求 FC 的长.(2如果 AE:EB=2:3,FC=6,求 DF 的值. I 3别截直线|4点A、B、C,截直线I于点D、 (1 如果 AB=4,BC=8,DE=6,求 EF

18、的长. (2 如果 DE:EF=2:3,AC=15,求 AB 的长. 小结练习1: 1、如图ABC ?中,DE / BC,DE分别交AB、AC于点D、E ,则 =BD AD ,=AB AD ,=AB DB 。2、若B、C分别是/ ADE的边DE、AD的延长线上的点，且AE / BC则 =DC AD ,=AC AD ,=BE BD 3、ABC ?中,DE / BC,DE 分别交 AB、AC 于点 D、E,已知 AD=3,BD=2,CE=4,贝U AE=. 4、在ABC ?中,DE / BC ,DE分别交AB、AC于点D、E ,已知 AB=6,AD=2,EC=3,贝U AE=. 5、如果D、E分别

19、是/ ABC的边AB、AC的延长线上的点，且DE / BC ,AE =30,EC =20,AB =16 则 AD =. 6、在ABC ?中,D、E分别在AB、AC上，且DE / BC,如果 3 2 =DB AD ,且 AC =10,则 AE= . 7、在 ABC 中,D、E 分别在 AB、AC 的反向 延长线上,DE / BC ,若 AD : AB=3 : 4,EC=14厘米,贝U AC=. 8、在厶ABC中，点D、E分别在 AB、BC边上,DE / AC .如果AB =12cm ,BC =16cm ,AD =5cm ,那么 BE = cm . 9、如图，已知AE / BC ,AC、BE交于点

20、D ,若32=DC AD ,则 BE DE =;10、如图丄1 / L 2 / L 3,AB=3,BC=2,CD=1,则下列式子中不成立的是( (A EC : CG=5 : 1 (B EF : FG=1 : 1 (C EF : FC=3 : 2 (D EF : EG=3 : 5 11、如图，在ABC ?中,DE / BC ,交AB于D，交AC于E ,F为BC上的一点，DE 交AF AD =2BD ,AE=5,求(1 AF AG ;(2AC的长. 小结作业2: A 1、已知在ABC ?中,DE / BC ,点D、E分别在边AB、AC上。（1若 AD=5,DB=3,AE=4 求 EC 的长（2 若

21、 AB=9,DA=6,AE=4 求 AC 的长（3 若 AC=12,EC=4,DB=5 求 AB 的长 2、已知 AM 与 BN 相交于点 P ,AB / MN ,PN=8,PM=12,PA=6 求 AE 的长. 3、如图，在 ABC中，点D、E分别在AC、AB上，如果DE / BC , 183=?BCD ADE S S ,求 EBD S ? 小结练习3. 1、在 ABC中,D、E分别在AB、AC上，下列条件能判断 DE / BC 的是（）（1） AD=6 , BD=9, AE=4 , AC=10 （2） AD=8 , AC=16, AE=6 , AB=12 （3） AB=2DB ,、 PMN

22、 中, 点A、B分别在MP和NP的延长线上*贝u AM BN 8 BA ?、在 ABC 中,D、E分别在 AB、AC上,DE/ BC,贝U 4、在 ABC中,D、E分别在AB、AC 上,DE/ BC, DE=2, BC=5 , AE=3，贝U EC= 5、如图,已知菱形 ADEF , AC=15 , AB=10，则CF= . 6、如图，在 ABC中 C 90 ，四边形EDFC为内接正方 形,AC=5, BC=3，贝U AE : DF= . 7、如图，在平行四边形 ABCD中，E为的BC中 点,F 是 BE 的中点,AE 与 DF 交于 H，贝U AH : HE= C F A E D B . B D F A D H A D E F C A E C B F E C B第5题图第6题图第7题图8、如图，DE/ BC， EF/ AB，贝U下列式子中成立的是 (A)第8题图)AD BF AB DE EF AC AD BF ( B) (C) (D)、在 ABC 中