02静电2(2011)

1、2021-6-5静电场2-yao 1 12.2 12.2 高斯定理高斯定理 一、电力线一、电力线 电力线电力线-形象地描述形象地描述电场强度矢量电场强度矢量的大小和方向的大小和方向 1 1、电力线的画法规定、电力线的画法规定 A B 电力线上任一点切线方向电力线上任一点切线方向 与该点的场强方向一致与该点的场强方向一致 （1） 的方向：的方向： E （2） 的大小的大小 E 引入引入电力线密度电力线密度 E 在电场中任意一点处，通过与在电场中任意一点处，通过与 垂直垂直的单位面积的的单位面积的 电力线的条数（电力线密度）电力线的条数（电力线密度） E 等于该点处等于该点处 的大小的大小 202

2、1-6-5静电场2-yao 2 2 2、各种带电体的电力线、各种带电体的电力线 正电荷正电荷 负电荷负电荷 一对等量异号电荷一对等量异号电荷 一对等一对等 量正点量正点 电电 荷荷 一对异号一对异号 不等量点不等量点 电电 荷荷 带电平行板电容器的电场带电平行板电容器的电场 + 2021-6-5静电场2-yao 3 3. 3. 电力线的性质电力线的性质 （1） 不闭合性：不闭合性： （2） 不相交性：不相交性： 不会在没有电荷的地方断开不会在没有电荷的地方断开，也不会形，也不会形 成闭合曲线。成闭合曲线。 电力线起自正电荷，止于负电荷；电力线起自正电荷，止于负电荷； 或来自无限远处，或伸向无限

3、远处；或来自无限远处，或伸向无限远处； 因为电场中每一点的场强因为电场中每一点的场强 都只能有一个确定的方向都只能有一个确定的方向 任何两条电力线在没电荷处都不会相交任何两条电力线在没电荷处都不会相交 2021-6-5静电场2-yao 4 二、电通量二、电通量 1 1、定义、定义 通过电场中某一给定面的电力线条数通过电场中某一给定面的电力线条数 e 2 2、计算、计算 (1). 匀强电场匀强电场- S 为平面的情况为平面的情况 ES e 当电力线与平面当电力线与平面 S 垂直时垂直时 定义面积矢量定义面积矢量 cosES e nSS 当电力线与平面当电力线与平面 S 斜交时斜交时 E S S

4、n E SE 大小：大小：s 方向方向:法线方向法线方向 0 e 当电力线与平面当电力线与平面 S 平行时平行时 2021-6-5静电场2-yao 5 (2) .非匀强电场非匀强电场-S 为曲面的情况为曲面的情况 SdEdScosEd SSS ee 面积元面积元 方向方向 dS n SdEcosEdSd e S n dS E 是标量，有大小，无方向，有正负。是标量，有大小，无方向，有正负。 e 2021-6-5静电场2-yao 6 规定规定-闭合曲面由内向外的方向闭合曲面由内向外的方向 为正为正n n E n E 0 e 0 e 电力线穿入闭合曲面电力线穿入闭合曲面电力线穿出闭合曲面电力线穿出

5、闭合曲面 下面推导高斯定理下面推导高斯定理 对闭合曲面对闭合曲面 当当S 内电荷电量为内电荷电量为 ，q e 与与 有什么定量关系？有什么定量关系？ q 2021-6-5静电场2-yao 7 三、三、 高斯定理高斯定理 （1） 点电荷在球面中心，其电场的电力线通点电荷在球面中心，其电场的电力线通 过球面的过球面的e=？ q r S 0 q dS r q S 2 0 4 1 1、举例说明、举例说明 电通量只与电通量只与 q 有关，与有关，与 r 无关无关 19 世纪中叶，德国物理学家、数学家高斯给出了世纪中叶，德国物理学家、数学家高斯给出了 通过通过闭合曲面电通量闭合曲面电通量和和场源电荷场源电

6、荷 q 之间的关系。之间的关系。 n Sd SdE S e dSEdSE SS cos 2021-6-5静电场2-yao 8 （2） 点电荷电场的电力线通过任意曲面的点电荷电场的电力线通过任意曲面的e=？ 由电力线的性质由电力线的性质-电力线不会在没有电荷的地方断开电力线不会在没有电荷的地方断开 穿过曲面穿过曲面 S1 的电力线，必穿过曲面的电力线，必穿过曲面 S2，当然必穿过，当然必穿过 曲面曲面 S3 由电力线的连续性知，从一由电力线的连续性知，从一 侧穿入的电力线必然从另一侧穿入的电力线必然从另一 侧穿出侧穿出 0 321 q eee 与闭合曲面的形状无关。与闭合曲面的形状无关。 e 0

7、 4e 1 S q E 2 S 3 S 4 S 闭合面外的电荷通过该闭合面闭合面外的电荷通过该闭合面 的的0 e 2021-6-5静电场2-yao 9 （3） S 内、外同时存在电荷内、外同时存在电荷e=？ 1 q 2 q 3 q S S e SdE SdEEE S )( 321 SSS SdESdESdE 321 0 1 q 0 2 q 0 )( 1 21 0 qq E P 321 EEEE P 点的场强点的场强 真空中通过任一真空中通过任一闭合曲面闭合曲面的电的电 通量等于包围在闭合曲面通量等于包围在闭合曲面内内的的 自由电荷的自由电荷的代数和代数和的的1/0倍。倍。 2 2、高斯定理表达

8、式、高斯定理表达式 内内 qSdE S e 1 0 2021-6-5静电场2-yao 10 (1)、曲面上各点的、曲面上各点的电场强度电场强度，是由全部电荷共同产生的，是由全部电荷共同产生的， 有曲面内电荷的贡献，也有曲面外电荷的贡献；有曲面内电荷的贡献，也有曲面外电荷的贡献； (2)、通过封闭曲面的、通过封闭曲面的电通量电通量，只由曲面内的电荷决定，只由曲面内的电荷决定， 与曲面外电荷无关。与曲面外电荷无关。 3、说明：、说明： 例例:已知一高斯面所包围的体积内电荷代数和已知一高斯面所包围的体积内电荷代数和q0， 则可肯定：则可肯定： (A) 高斯面上各点场强均为零高斯面上各点场强均为零 (

9、B) 穿过高斯面上每一面元的电场强度通量均为零穿过高斯面上每一面元的电场强度通量均为零 (C) 穿过整个高斯面的电场强度通量为零穿过整个高斯面的电场强度通量为零 (D) 以上说法都不对以上说法都不对 2021-6-5静电场2-yao 11 四、四、 高斯定理的应用高斯定理的应用 原则上讲原则上讲, 高斯定理可求解任何的静电场的高斯定理可求解任何的静电场的E, 但实际但实际 上上, 只有当电场分布只有当电场分布具有高度对称性具有高度对称性时时,才能用高斯定才能用高斯定 理求出场强分布理求出场强分布 0 内内 q SdE S e 应用高斯定理解题的一般步骤：应用高斯定理解题的一般步骤： (1)、由

10、电荷分析电场分布，找、由电荷分析电场分布，找E的方向和的方向和E的等值点的等值点 (2)、过求解点作闭合曲面 过求解点作闭合曲面（高斯面）（高斯面） 等值点构成闭合曲面：连接等值点构成闭合曲面：连接E E的等值点为闭合曲面的等值点为闭合曲面 等值点不构成闭合曲面：等值点不构成闭合曲面：闭合曲面上一部分闭合曲面上一部分E E 相等相等, , 另一部分与另一部分与E E垂直垂直 (3)(3)、计算、计算E E的通量的通量 0 内内 q SdE S 和和 根据根据求出求出E 0 内内 q SdE S 2021-6-5静电场2-yao 12 (1) 球对称带电体球对称带电体 球壳球壳 球体球体 球壳组

11、球壳组 (2) 面对称带电体面对称带电体 (3) 轴对称带电体轴对称带电体 无限大带电平面无限大带电平面 无限大带电平板无限大带电平板 无限大带电柱体无限大带电柱体 无限大带电柱面无限大带电柱面 无限大带电柱面组无限大带电柱面组 球球 形形 高斯面高斯面 封闭封闭 圆柱圆柱 形高形高 斯面斯面 无限长带电直线无限长带电直线 选两种高斯面：选两种高斯面： ( ( 球面上各点的场强大小相等，球面上各点的场强大小相等， 电力线垂直通过球面）电力线垂直通过球面） （圆柱面上圆柱面上某些面某些面的场强大小相等，电力线垂直通的场强大小相等，电力线垂直通 过该面；过该面；其它面上电力线平行通过，电通量为其它

12、面上电力线平行通过，电通量为0 0） 2021-6-5静电场2-yao 13 电量为电量为Q 、半径为、半径为R的的均匀带电球面均匀带电球面的场强分布的场强分布 Rr S e SdE 0 )(Rr S dSE 2 4 rE E Rr 0 Rr r Q 2 0 4 r 0 E R 高斯面高斯面 Sd 解：解： 0 Q )(Rr 场源为球对称场源为球对称场强为球对称场强为球对称球形高斯面球形高斯面 例题例题 1 P E E E E 内内 q e 1 0 2021-6-5静电场2-yao 14 例题例题 2 电量为电量为Q 、半径为、半径为R 的的均匀带电球体均匀带电球体的场强分布的场强分布 R 解

13、：解： S e SdE )(Rr )(Rr 3 33 4 3 4 r R Q Q r S dSE 2 4 rE E Rr R Qr 3 0 4 Rr r Q 2 0 4 r 0 E R 场源为球对称场源为球对称场强为球对称场强为球对称球形高斯面球形高斯面 3 3 R Qr 0 Q 0 Q 3 0 3 R Qr 内内 q e 1 0 2021-6-5静电场2-yao 15 例题例题 3 r 电荷线密度为电荷线密度为 的的无限长均匀带电直线无限长均匀带电直线的场强分布的场强分布 圆柱形高斯面圆柱形高斯面 Sd S e SdE 侧侧 SdE rlE 2 r E 0 2 0 l l Sd 解：解：场强

14、为轴对称场强为轴对称 上上底底 SdE 下下底底 SdE 0 0 Sd 内内 q e 1 0 2021-6-5静电场2-yao 16 r 电荷线密度为电荷线密度为 的的无限长圆柱面无限长圆柱面的场强分布的场强分布 圆柱形高斯面圆柱形高斯面 Sd S e SdE 侧侧 SdE rlE 2 )( 2 0 Rr r E l Sd 解：解： 场强为轴对称场强为轴对称 上上底底 SdE 下下底底 SdE )( 0RrE Sd 0 l R 0 )(Rr )(Rr 例题例题 4 0 0 内内 q e 1 0 2021-6-5静电场2-yao 17 E 例题例题 5 E 电荷面密度为电荷面密度为 的的无限大均

15、匀带电平面无限大均匀带电平面的场强分布的场强分布 S e SdE 0 S SE 0 2 E + + + + + + + + + + Sd Sd 侧侧面面 SdE 与平面正交对称的圆柱面为高斯面与平面正交对称的圆柱面为高斯面 解：解： 场强为面对称场强为面对称 0 Sd 左左底底 SdE 右右底底 SdE 0 SE S 内内 q e 1 0 2021-6-5静电场2-yao 18 例题例题6 两同心均匀带电球面两同心均匀带电球面，带电量分，带电量分 别为别为 ，半径分别为，半径分别为 R R1 1 、 、 R R2 2 , , 求各区域内的场强分布求各区域内的场强分布。 21 q,q o1 R

16、1 q 2 q I II III 2 R 0 解：解： 内内内内 21 1RR EEE 0 内内外外 21 2RR EEE 2 1 0 4 1 r q 2 1 0 4 1 r q 外外外外 21 3RR EEE 2 2 0 4 1 r q )( 4 )(0 2 0 Rr r q Rr E 方法一：方法一：结论公式叠加法结论公式叠加法 (1). 点点 1 P 1 0Rr 2 P 21 RrR (2). 点点 3 P 2 Rr (3). 点点 2021-6-5静电场2-yao 19 方法二：高斯定理方法二：高斯定理法法 o1 R 1 q 2 q I II III 2 R 内内 qSdE S e 1

17、 0 (1). 点点 1 P 1 0Rr S e SdE SdS E 2 4 rE 内内 q e 1 0 0 0 E 2 P 21 RrR (2). 点点 S e SdE S dSE 2 4 rE 内内 q e 1 0 0 1 q 2 1 0 4 1 r q E 3 P 2 Rr (3). 点点 S e SdE 2 4 rE 内内 q e 1 0 0 21 qq 2 21 0 4 1 r qq E 2021-6-5静电场2-yao 20 内容小结内容小结 一、电力线一、电力线 1 1、电力线的画法规定、电力线的画法规定 电力线上任一点切线方向与该点的场电力线上任一点切线方向与该点的场 强方向一

18、致强方向一致 （1） 的方向：的方向： E （2） 的大小：的大小： E 垂直于垂直于 的单位面积的电力线条数的单位面积的电力线条数 E E 2 2、电力线的性质、电力线的性质 （1） 不闭合性：不闭合性： （2） 不相交性：不相交性： 不会在没有的电荷的地方断开，不会在没有的电荷的地方断开， 也不会形成闭合曲线。也不会形成闭合曲线。 任何两条电力线在没电荷处都不会相交任何两条电力线在没电荷处都不会相交 电力线起自正电荷，止于负电荷；电力线起自正电荷，止于负电荷； 2021-6-5静电场2-yao 21 二、电通量二、电通量 通过电场中某一给定面的电力线条数通过电场中某一给定面的电力线条数 匀

19、强电场匀强电场-S 为平面为平面 SE e 非匀强电场非匀强电场-S 为曲面为曲面SdE S e 三、高斯定理三、高斯定理 内内 q 1 SdE 0 S e 2021-6-5静电场2-yao 22 四、高斯定理求场强（记住）四、高斯定理求场强（记住） 1. 均匀带电球面均匀带电球面 )( 4 )(0 2 0 Rr r q Rr E 内内 qsdE S e 0 1 点电荷的场强公式点电荷的场强公式 场强叠加原理场强叠加原理 2. 用结论公式叠加用结论公式叠加 3. 高斯定理高斯定理 1. 分割带电体直接积分法分割带电体直接积分法 五、场强的计算方法五、场强的计算方法 简单带电体的场强公式简单带电

20、体的场强公式 场强叠加原理场强叠加原理 2021-6-5静电场2-yao 23 (1) 带电体外电场分布带电体外电场分布 (2) 带电体内电场分布带电体内电场分布 dS 1 ES2 0 1e 0 1 2 d E x2S 1 ES2 0 2e 0 2 x E 厚度厚度 d 无限大均匀带电平板场强分布无限大均匀带电平板场强分布例题例题7 已知：单位体积内带电已知：单位体积内带电 (体电荷密度体电荷密度) P P x S o d S 2 E 2021-6-5静电场2-yao 24 2021-6-5静电场2-yao 25 2021-6-5静电场2-yao 26 解：应用高斯定理求解解：应用高斯定理求解 S2 1 ES2 0 1e 0 1 E S 1 ESES 0 21e 0E2 练习：练习：厚度为厚度为 d 的无限大平板，表面带电的无限大平板，表面带电 已知：已知： 求：电场强度分布求：电场强度分布 S S 1 E 1 E S 1 E 2 E d 2021-6-5静电场2-yao 27 0 3 q 0 4 q 0 3 q 0 6 q 4、有一边长为有一边长为a的正方形平面，在其中垂线上距中心的正方形平面，在其中垂线上距中心 O点点a/2处，有一电荷为处，有一电荷为q的正点电荷，则通过该平的正点电荷，则通过该平 面的电场强度通量为面的电场强度通量为 (B) (