03-4 振型函数的正交性与连续系统的响应.振型叠加法

1、燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 从前面讨论可以看到，一些简单情形下的振型函数是从前面讨论可以看到，一些简单情形下的振型函数是 三角函数，它们的正交性是自然的。三角函数，它们的正交性是自然的。 同有限自由度系统一样，连续系统也存在固有振型的同有限自由度系统一样，连续系统也存在固有振型的 正交性这一重要的特性。正交性这一重要的特性。 在一些复杂情况下，振型函数还包含双曲函数，它们在一些复杂情况下，振型函数还包含双曲函数，它们 的正交性以及更一般情形下振型函数的正交性尚待进一的正交性以及更一般情形下振型函

2、数的正交性尚待进一 步说明。步说明。 3.5 振型函数的正交性振型函数的正交性 仅以梁弯曲振动的振型函数论证其正交性。仅以梁弯曲振动的振型函数论证其正交性。 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 设设Yr(x)和和Ys(x)分别代表对应于分别代表对应于r阶和阶和s阶固有频率阶固有频率 r 和和 s的两个不同阶的振型函数，代入上式得的两个不同阶的振型函数，代入上式得 )0(Lx 0)()()( d )(d )( d d 2 2 2 2 2 xYxAx x xY xEJ x 梁横向振动的振型函数方程为梁横向振

3、动的振型函数方程为 22 2 22 d( )d ( )( ) ( )( ) dd r rr Y x EJ xx A x Y xxL xx (1) 22 2 22 d( )d ( )( ) ( )( ) dd s ss Y x EJ xx A x Y xxL xx (2) 用用Ys(x)乘方程乘方程(1)，并在梁全长上进行积分，并在梁全长上进行积分 用用Yr(x)乘方程乘方程(2)，并在梁全长上进行积分，并在梁全长上进行积分 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 22 2 22 0 0 d( )d ( )(

4、 )d( )( )( )( )d dd LL r srrs Yx YxEJ xxx A x Yx Yxx xx 222 222 0 0 d( )d( )dd ( )( )d( )( ) dddd LL rr ss Y xY x Y xEJ xxY xdEJ x xxxx 2 0 ( )( )( )( )d L rrs x A x Yx Yxx 22 22 0 0 d ( )d( )d( )dd ( )( )( ) ddddd L L srr s Y xY xY x Y xEJ xEJ xdx xxxxx 22 22 0 0 d ( )d( )d( )d ( )( )( ) dddd L L s

5、rr s Y xY xY x Y xEJ xd EJ x xxxx 2222 2222 0 0 0 d ( )d( )d( )d( )d( )d ( )( )( )( ) dddddd L L L ssrrr s Y xY xY xY xY x Y xEJ xEJ xEJ xdx xxxxxx 22 2 22 d()d ()()()() dd r rr Yx E JxxAx Yx xx (1) 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 22 2 22 d( )d ( )( ) ( )( ) dd s ss Y

6、 x EJ xx A x Y xxL xx (2) 用用Yr(x)乘方程乘方程(2)，并在梁全长上进行积分。同理可得，并在梁全长上进行积分。同理可得 222 222 0 0 222 222 0 0 2 0 d( )d( )dd ( )( )d( )( ) dddd d( )d( )d( )d( ) ( )( )d dddd ( ) ( )( )( )d L L ss rr L L ssrr L srs YxYx YxEJ xxYxEJ x xxxx YxYxYxYx EJ xEJ xx xxxx x A x Yx Yxx 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engi

7、neering, Yanshan University 经过变换后得如下两个方程经过变换后得如下两个方程 222 222 0 0 222 222 0 0 2 0 d( )d( )dd ( )( )d( )( ) dddd d( )d( )d( )d( ) ( )( ) dddd ( ) ( )( ) ( )d L L rr ss L L ssrr L rrs Y xY x Y xEJ xxY xEJ x xxxx Y xY xY xY x EJ xEJ xdx xxxx x A x Y x Y x x (3) 222 222 0 0 222 222 0 0 2 0 d( )d( )dd ( )

8、( )d( )( ) dddd d( )d( )d( )d( ) ( )( )d dddd ( ) ( )( )( )d L L ss rr L L ssrr L srs YxYx YxEJ xxYxEJ x xxxx YxYxYxYx EJ xEJ xx xxxx x A x Yx Yxx (4) 两式左右对应相减两式左右对应相减 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 22 0 22 22 0 0 22 22 0 0 ( ) ( )( )( )d d( )d( )d( )d ( )( )( ) dddd

9、 d( )d( )d( )d ( )( ) dddd L rsrs L L srr s L L ssr r x A x Y x Y xx Y xY xY x Y xEJ xEJ x xxxx Y xY xY x Y xEJ xEJ(x xxxx 注意注意:上式右边是上式右边是x=0和和x=L的端点边界条件。对于固支的端点边界条件。对于固支 端、铰支端和自由端的任一组合而成的梁，上式右边都端、铰支端和自由端的任一组合而成的梁，上式右边都 等于零。等于零。 将上面两式相减得将上面两式相减得 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan U

10、niversity 因此，上述方程可以简化为因此，上述方程可以简化为 0d )()()()( 0 22 xxYxYxAx L srsr 按照假设，按照假设，Yr(x)和和Ys(x)是对应于不同固有频率的振是对应于不同固有频率的振 型函数型函数(r s， r s)，由此得出，由此得出 L sr xxYxYxAx 0 0d)()()()()(sr 显然，振型函数显然，振型函数Yr(x)和和Ys(x)对于质量对于质量 (x)A(x)是正是正 交的，这就是简单支承条件下梁振型函数对于质量的正交的，这就是简单支承条件下梁振型函数对于质量的正 交性条件。交性条件。 燕山大学机械工程学院 School of

11、 Mechanical Engineering, Yanshan University 振型函数对于刚度振型函数对于刚度EJ(x)的正交性的正交性 L sr xxYxYxAx 0 0d)()()()()(sr 代入式代入式(3) 将振型函数对于质量将振型函数对于质量(x)A(x) 的正交性关系的正交性关系 222 222 0 0 222 222 0 0 2 0 d( )d( )dd ( )( )d( )( ) dddd d( )d( )d( )d( ) ( )( ) dddd ( ) ( )( ) ( )d L L rr ss L L ssrr L rrs Y xY x Y xEJ xxY x

12、EJ x xxxx Y xY xY xY x EJ xEJ xdx xxxx x A x Y x Y x x (3) 当当rs时时， 0 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 22 22 0 d( )d ( )( )d0 dd L r s Y x Y xEJ xxrs xx 对于固支端、铰支端和自由端的任一组合的梁，振对于固支端、铰支端和自由端的任一组合的梁，振 型函数对于刚度型函数对于刚度EJ(x)的正交条件表示为的正交条件表示为 0d d )(d d )(d )( 2 2 2 2 0 x x xY x

13、 xY xEJ sr L )(sr 由此可见，梁弯曲振动振型函数对刚度由此可见，梁弯曲振动振型函数对刚度EJ(x)的正交的正交 性，实际上是振型函数的二阶导数所具有的正交性。性，实际上是振型函数的二阶导数所具有的正交性。 22 22 0 0 22 22 0 d( )d( )d( )d ( )( )( ) dddd d( )d( ) ( )0 dd L L srr s L sr Y xY xY x Y xEJ xEJ x xxxx Y xY x EJ xdx xx 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 设设

14、Yr(x)和和Ys(x)为正则振型函数，则有为正则振型函数，则有 式中式中 rs为克朗尼格为克朗尼格 符号。符号。 0 ( ) ( ) ( ) ( )d,1,2, L rsrs x A x Y x Y x xr s 振型函数的正则化振型函数的正则化 用途：对振型函数正则用途：对振型函数正则 化，确定正则化系数化，确定正则化系数 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 考虑如下关系考虑如下关系 可得可得 22 2 22 0 d( )d ( )( )d,1,2, dd L r srrs Y x Y xEJ xx

15、r s xx 22 2 22 0 d( )d( ) ( ) dd L sr rrs Y xY x EJ xdx xx 可按以上两式对振型函数正则化。可按以上两式对振型函数正则化。 222 222 0 0 222 222 0 0 2 0 d( )d( )dd ( )( )d( )( ) dddd d( )d( )d( )d( ) ( )( ) dddd ( ) ( )( )( )d L L rr ss L L ssrr L rrs Y xY x Y xEJ xxY xEJ x xxxx Y xY xY xY x EJ xEJ xdx xxxx x A x Y x Y xx (3) 0 ( ) (

16、 )( )( )d,1,2, L rsrs x A x Yx Yxxr s 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 在讨论离散系统响应时，采用了振型叠加法。在讨论离散系统响应时，采用了振型叠加法。 利用系统的振型矩阵进行坐标变换，可以将系统相互利用系统的振型矩阵进行坐标变换，可以将系统相互 耦合的物理坐标运动方程变换成解耦的固有坐标运动方耦合的物理坐标运动方程变换成解耦的固有坐标运动方 程，从而使多自由度系统的响应分析问题可以按多个单程，从而使多自由度系统的响应分析问题可以按多个单 自由度系统的问题分别加以

17、处理。自由度系统的问题分别加以处理。 3.6 连续系统的响应连续系统的响应振型叠加法振型叠加法 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 多自由度离散系统振动微分方程多自由度离散系统振动微分方程： 离散系统响应求解方法离散系统响应求解方法振型叠加法振型叠加法 ( ) tMxCxKxQ 多自由度离散系统的自由振动多自由度离散系统的自由振动： 0MxKx 2 MKB 特征矩阵：特征矩阵： 振型方程：振型方程： 0BA 2 0KMA 2 0BKM 固有频率方程：固有频率方程： 求出求出n个固有频率个固有频率 求出求

18、出n个振型向量个振型向量 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 振型矩阵振型矩阵： 离散系统响应求解方法离散系统响应求解方法振型叠加法振型叠加法 )()2() 1 ( )( 2 )2( 2 ) 1 ( 2 )( 1 )2( 1 ) 1 ( 1 )()2() 1 ( n nnn n n n AAA AAA AAA AAAP T P T P PKPK PMPM 对角矩阵对角矩阵 振型矩阵的正交性振型矩阵的正交性： )()2( 2 ) 1 ( 1 )( 2 )2( 22 ) 1 ( 21 )( 1 )2( 12

19、 ) 1 ( 11 )()2( 2 ) 1 ( 1 n nnnn n n n n n n AAA AAA AAA AAAN 正则振型矩阵正则振型矩阵： 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 离散系统响应求解方法离散系统响应求解方法振型叠加法振型叠加法 正则振型矩阵的正交性正则振型矩阵的正交性： 2 T T n NMNI NKN Nx QNKNCNM 2 n CQ 正则坐标变换：正则坐标变换： 对于比例阻尼，上述运动微分方程完全解耦；对于比例阻尼，上述运动微分方程完全解耦； 对于一般阻尼，假设阻尼矩阵非对角

20、元素为对于一般阻尼，假设阻尼矩阵非对角元素为0，运动微分方程解耦，运动微分方程解耦! 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 经过坐标变换后，就可以把连续系统按一系列单自由经过坐标变换后，就可以把连续系统按一系列单自由 度系统的形式来处理，可以方便地得出系统对初始激励、度系统的形式来处理，可以方便地得出系统对初始激励、 外部激励的响应；也可以求出系统对初始激励、外部激外部激励的响应；也可以求出系统对初始激励、外部激 励的共同响应。励的共同响应。 只要把连续系统的位移表示成振型函数的级数，利用只要把连续系统的

21、位移表示成振型函数的级数，利用 振型函数的正交性，就可以将系统物理坐标的偏微分方振型函数的正交性，就可以将系统物理坐标的偏微分方 程变换成一系列固有坐标的二阶常微分方程组。程变换成一系列固有坐标的二阶常微分方程组。 对于具有无限多个自由度的连续系统，也可以用类似对于具有无限多个自由度的连续系统，也可以用类似 的方法来分析系统的响应。的方法来分析系统的响应。 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 以梁的弯曲振动为例，说明振型叠加法在连续系统中以梁的弯曲振动为例，说明振型叠加法在连续系统中 的应用。的应用。

22、设梁的弯曲刚度为设梁的弯曲刚度为EJ(x)，单位体积质量为，单位体积质量为 (x)，横截，横截 面积为面积为A(x)，分布激励载荷为，分布激励载荷为f(x,t) 。 梁的弯曲振动微分方程为梁的弯曲振动微分方程为 这是非齐次偏微分方程，其全解包含两部分：一部分是这是非齐次偏微分方程，其全解包含两部分：一部分是 对应于齐次方程的通解，相当于自由振动的解；另一部对应于齐次方程的通解，相当于自由振动的解；另一部 分是对应于非齐次项的特解，即受迫振动的响应。当给分是对应于非齐次项的特解，即受迫振动的响应。当给 定激励函数定激励函数f(x,t)时，可求得激励的响应。时，可求得激励的响应。 ),( ),(

23、)( ),( )()( 2 2 2 2 2 2 txf x txy xEJ xt txy xAx 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 设在给定边界条件下的固有频率为设在给定边界条件下的固有频率为 r，相应的振型函，相应的振型函 数为数为Yr(x)，引进正则坐标，引进正则坐标qr(t)，根据振型叠加法，可将梁，根据振型叠加法，可将梁 横向振动偏微分方程和给定边界条件的解横向振动偏微分方程和给定边界条件的解y(x,t)变换为变换为 )()(),( 1 tqxYtxy r r r 将上式代入梁横向振动的偏微分

24、方程将上式代入梁横向振动的偏微分方程 ),( )( d )(d )( d d )()()()( 2 2 1 2 2 1 txf tq x xY xEJ x tqxYxAx r r r r r r ),( ),( )( ),( )()( 2 2 2 2 2 2 txf x txy xEJ xt txy xAx 可得可得 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 上述方程两边同时乘以上述方程两边同时乘以Ys(x)，并在整个区间，并在整个区间(0 xL/v，Qr(t)=0，梁作自由振动，自由振动初始，梁作自由振动，

25、自由振动初始 条件是条件是qr(L/v) 与与 ， 便可得到自由振动的便可得到自由振动的 解。解。 vLqr 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University连续系统共振破坏实例连续系统共振破坏实例 近代工程上许多因共振造成的灾难性事故给近代工程上许多因共振造成的灾难性事故给 我们留下的教训就显得非常深刻。我们留下的教训就显得非常深刻。 1940年年7月月1日美国西海岸华盛顿州建成了一日美国西海岸华盛顿州建成了一 座当时位居世界第三的座当时位居世界第三的Tacoma大桥。大桥中央大桥。大桥中央 跨距为跨距为853.4

26、 m，全长，全长1810.56 m，桥宽，桥宽11.9 m， 梁高为梁高为1.3 m，为悬索桥结构，设计可以抗，为悬索桥结构，设计可以抗60 m/s 的大风。但不幸的是大桥刚建成的大风。但不幸的是大桥刚建成4个月后个月后 (1940年年11月月7日日)就在就在19 m/s的小风吹拂下整体塌的小风吹拂下整体塌 毁。毁。 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 美国华盛顿州Tacoma悬索桥 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan Univers

27、ity 振动形式：横向振动、扭转振动振动形式：横向振动、扭转振动 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 复杂系统动力学仿真实例：复杂系统动力学仿真实例： 游梁式抽油系统动力学仿真。游梁式抽油系统动力学仿真。 系统描述：系统描述：系统边界、系统组系统边界、系统组 成；研究目的；系统简化。成；研究目的；系统简化。 力学模型：力学模型：地面装置力学模型；地面装置力学模型； 井下装置力学模型。井下装置力学模型。 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yansha

28、n University 1、力学模型、力学模型 地面装置地面装置 力学模型力学模型 力力 学学 模模 型型 井下装置井下装置 力学模型力学模型 单自由度系统力学模型单自由度系统力学模型 两自由度系统力学模型两自由度系统力学模型 多自由度系统力学模型多自由度系统力学模型 离散离散连续混合系统动力学模型连续混合系统动力学模型 纵向振动纵向振动 力学模型力学模型 三维振动三维振动 力学模型力学模型 抽油杆柱纵向振动力学模型抽油杆柱纵向振动力学模型 杆液耦合纵向振动力学模型杆液耦合纵向振动力学模型 杆管液耦合纵向振动力学模型杆管液耦合纵向振动力学模型 抽油杆柱三维振动力学模型抽油杆柱三维振动力学模型

29、 杆液三维耦合振动力学模型杆液三维耦合振动力学模型 杆管液三维耦合振动力学模型杆管液三维耦合振动力学模型 地面装置单自由度地面装置单自由度 + 抽油杆柱纵向振动力学模型抽油杆柱纵向振动力学模型 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 2、数学模型、数学模型 (1)曲柄运动规律数学模型曲柄运动规律数学模型 0 0 2 2 2 0 0 1 2 e ee tt tt dJd JM dtd Me Me(电动机机械特性、地面运动件重力、运动副摩电动机机械特性、地面运动件重力、运动副摩 擦、传动机构速比、悬点载荷擦、传

30、动机构速比、悬点载荷PRL) 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 抽油系统示意图抽油系统示意图 (2)抽油杆柱纵向振动数学模型抽油杆柱纵向振动数学模型 燕山大学机械工程学院 School of Mechanical Engineering, Yanshan University 抽油杆柱纵向振动的力学模型：抽油杆柱纵向振动的力学模型： 弹簧固定于基础之上，基础按悬点弹簧固定于基础之上，基础按悬点 运动规律上下往复运动。运动规律上下往复运动。 抽油杆柱任意截面的运动可以分抽油杆柱任意截面的运动可以分 解成两部分：一是该截面随悬点的解成两部分：一是该截面随悬点的 运动；二是该截面相对于悬点的运运动；二是该截面相对于悬点