02第二节边缘分布2016

1、高等院校非数学类本科数学课程高等院校非数学类本科数学课程 大大 学学 数数 学学( (四四) ) 概率论与数理统计概率论与数理统计 脚本编写：孟益民脚本编写：孟益民 教案制作：孟益民教案制作：孟益民 第三章 随机向量及其分布 理解二维随机变量的定义。 理解二维随机变量的分布函数及其性质。 了解二多维离散型随机变量的分布律。 了解条件分布的概念。 掌握二维连续型随机变量的概率密度，边缘分布、 随机变量的独立性。 掌握随机向量函数的分布。 本章学习要求： 二维联合分布全面地反映了二维随机变量 (X,Y)的取值及其概率规律. 而单个随机变量X,Y 也具有自己的概率分布. 那么要问:二者之间有 什么关

2、系呢? 第二节 边缘分布 一、随机向量（X，Y）的边缘分布函数 二、离散型随机向量（X，Y）的边缘分布 三、连续型随机向量（X，Y）的边缘概率密度 随机向量(X,Y)把两个随机变量X和Y作为一个整 体来研究，实际问题中有时需要研究随机向量(X,Y) 的分量X,Y的性质，为此，引入边缘分布. 一、随机向量（X，Y）的边缘分布函数 二维随机向量(X,Y)关于X、Y 的边缘分布函数 、 可由的分布函数 来确定. )(xFX )(yFY ),(yxF 二维随机向量(X,Y)关于两个分量X、Y 的分布函数 分别记为 、 ,分别称之为随机向量(X,Y)关于X、Y 的边缘分布函数. )(xFX)(yFY 定

3、义定义 若已知( )的分布函数为 ，则容易求 得关于 、 的边缘分布函数: YX,),(yxF XY ),(),(lim ,)( xFyxF YxXPxXPxF y X ),(),(lim ,)( yFyxF yYXPyYPyF x Y X Y ox X Y y o 边缘分布函数 、 分别表示随机向量( )落 入下图中的I、II 两个带阴影的半平面内的概率. )(xFX)(yFYYX, 而联合分布函数 表示随机向量 落在这两个半 平面的公共部分的概率 ),(yxF),(YX X Y ox X Y y o 设随机变量(X ,Y )的联合分布函数为 yx y C x BAyxF , 2 arcta

4、n 2 arctan),( 其中A , B , C 为常数. . (1) 确定A , B , C ； (2) 求X 和Y 的边缘分布函数； (3) 求P (X 2). 例例1 (1) 1 22 ),( CBAF 0 22 ),( CBAF 0 22 ),( CBAF 2 1 , 2 , 2 ACB (2) ),()(xFxFX ., 2 arctan 1 2 1 x x 解解 ),()(yFyF Y ., 2 arctan 1 2 1 y y (3) 2(1) 2(XPXP 2 2 arctan 1 2 1 1 .4/1 可以将二维 r.v.其边缘分布函数的概念推广到 n 维 r.v.其联合分

5、布函数与边缘分布函数. 设二维离散型随机向量( )的概率分布为： )21( ,i,jpyYxXP ijji YX, 二维离散型随机向量(X，Y)的两个分量X与Y的分 布律分别称为随机向量(X，Y)关于X 、Y 的边缘分布律 定义 二、离散型随机向量（X，Y）的边缘分布 对于给定的 (i=1,2,)，有 i x ji j i yYxXxX, ),( ji j i yYxXPxXP ji j yYxXP, j ij p , 2 , 1i 于是 同理可得,对于给定的 有 ), 2 , 1(jy j ,2, 1 jpyYP i ijj 将 和 分别记为 和 , 则有 i xXP j yYP i p j

6、 p ),( ipxXPp j ijii ),( jpyYPp i ijjj 注意注意： 记号pi中的是由pij关于j求和后得到的; 同样, pj是由pij关于i求和后得到的). 已知离散型随机向量（X，Y） 的分布律，求关于X 、Y 的边 缘分布律 已知二维离散型随机向量（X，Y）的分布律 求关于X 、Y 的边缘分布律 X Y 1 x 2 x i x 1 y 2 y j y 11 p 12 p ij p 21 p 1 i p j p1 2i p 22 p j p2 X、Y 的边缘概率分布可分别通过联合分布律表中按 各行与按各列相加而得到,见下表 1 y 2 y j y 1 x 2 x i x

7、 i p 1 p 2 p i p j p 1 p 2 p j p 12 p 11 p j p1 21 p 22 p j p2 1 i p 2i p ij p 1 X Y 某校新选出的学生会某校新选出的学生会 6 名成员名成员, , 文、理、工科各占文、理、工科各占1/6、 1/3、1/2，现从中随机指定，现从中随机指定 2 人为学生会主席候选人人为学生会主席候选人. . 令令X , Y 分别为候选人中来自文、理科的人数分别为候选人中来自文、理科的人数. .求求(X, Y) 的联合分的联合分 布律和边缘分布律布律和边缘分布律. . X 与Y 的可能取值分别为0 , 1与0 , 1 , 2. ,1

8、5/3 2 5 2 3 2 6 2 5 C C C C ) 00() 0() 0, 0(XYPxPYXP 由乘法公式 例例2 解解 ,15/ 3/) 0, 1( 2 6 1 3 1 1 CCCYXP ,15/2/) 1, 1( 2 6 1 2 1 1 CCCYXP . 0) 2, 1( YXP ,15/6/) 1, 0( 2 6 1 3 1 2 CCCYXP ;15/ 1/) 2, 0( 2 6 2 2 CCYXP ,15/3/)0, 0( 2 6 2 3 CCYXP 或由古典概型或由古典概型 类似有类似有 故联合分布律与边缘分布律为故联合分布律与边缘分布律为 0 1 0 1 2 3/15 6

9、/15 1/15 3/15 2/15 0 X Y pi p j 1/3 2/3 16/15 8/15 1/15 一整数N等可能地在1,2,3,.,10十个值中取一个 值. 设D(N)是能整除N的正整数的个数, F=F(N)是能 整除N的素数的个数(注意1不是素数), 试写出D和F的 联合分布律. 解 先将试验的样本空间及D,F取值的情况列表如下: 样本点12345678910 D1223242434 F0111121112 例3 样本点12345678910 D1223242434 F0111121112 D和F的联合分布律及边缘分布律如下表所示: D F 1234PF=j 01/100001

10、/10 104/102/101/107/10 20002/102/10 PD=i1/104/102/103/101 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面 出现的次数, 而 Y 为正面出现次数与反面出现次数之差的 绝对值, 求 (X ,Y) 的分布律 . ( X, Y ) 可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3) PX=0, Y=3 PX=1, Y=1 PX=2, Y=1 PX=3, Y=0 Y X 13 01 8 3 80 0 1 2 3 3 80 01 8 =3/8 =3/8 例例4 解解 =1/8 =1/8 我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边缘上，由

11、 此得出边缘分布这个名词. Y X 13 01 8 3 80 0 1 2 3 3 80 01 8 j P Yy i P Xx 1 8 3 8 3 8 1 8 6 82 8 联合分布与边缘分布的关系联合分布与边缘分布的关系 由联合分布可以确定边缘分布; 但由边缘分布一般不能确定联合分布. Y X 13 01 8 3 80 0 1 2 3 3 80 01 8 j P Yy i P Xx 1 8 3 8 3 8 1 8 6 82 8 三、连续型随机向量（X，Y）的边缘概率密度 二维连续型随机向量(X，Y)关于其分量X,Y的概率密 度分别记为 、 ，分别称 、 为(X，Y)关 的X,Y 边缘概率密度(

12、或边缘密度). )(xf X )(yfY)(xfX)(yfY ,dxf(x,y)dy)F(x,(x)F x X ,dyf(x,y)dxy)F(y)F y Y , f(x,y)dy(x)f X f(x,y)dx(y)f Y 根据概率的定义密度的定义，可得（X，Y）关于 X，Y 的边缘概率密度分别为 设随机变量X和Y具有联合概率密度 ., x,yx, f(x,y) 其它0 6 2 求边缘概率密度 和 . )(xf X )(yfY 例5 x y y=x2 y=x O . ,x,)x(xdy f(x,y)dy(x)f x x X 其它 , 0 10 66 2 2 解解 ., ,yy),y(dx f(x

13、,y)dx(y)f y y Y 其它 ., x,yx, f(x,y) 其它0 6 2 设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是 其它,0 0, 10),2( ),( xyxxcy yxf 求求 (1) c的值；的值； （2）两个边缘密度。两个边缘密度。 = 5c/24 ,c =24/5. 1 00 d(2)d x xcyxy (1) 2 1,d d R fx yx y yx x y 01x 1 23 0 2d 2 c xxx 例例6 解解 设设 (X,Y) 的概率密度是的概率密度是 求求 (1) c 的值的值; (2) 两个边缘密度两个边缘密度 . . 其它,0 0, 10),2( ),( xy

14、xxcy yxf ,d X fxfx yy 0 0 ,d ,d,d . X x x fxf x yy f x yyf x yy (2) x x y 0 yx 1 x x x 暂时固定暂时固定 例例6 解解 ),(01 yxx时，或当 . 0)(, 0),(xfyxf X 故都有 时，当10 x ),2( 5 12 2 xx 注意取值范围 0 24 (2) 5 d x yxy 综上述 , .,0 , 10,2 5 12 2 其它 xxx xf X x x yx x y 01 x x 0 0 ,d ,d,d . X x x fxf x yy f x yyf x yy 当 时,01x 设设(X,Y)

15、的概率密度是 (2) 求 (1) c的值; (2) 两个边缘密度 . 其它,0 0, 10),2( ),( xyxxcy yxf dxyxfyfY , yx y y y 1 1y 暂时固定暂时固定 0 y x 例例6 解解 ),(01 xyy时，或当 . 0)(, 0),(yfyxf Y 故都有 时，当10 y 1 1 ( )( , )d ( , )d( , )d . y Y y fyf x yx f x yxf x yx ), 2 2 2 3 ( 5 24 2 y yy 其它, 0 10), 2 2 2 3 ( 5 24 )( 2 y y yy yfY 综上述, 注意取值范围 1 )2( 5

16、 24 y dxxy 在求连续型随机向量的边缘密度时，往往要求联 合密度在某区域上的积分. 当联合密度函数是分片表 示的时候，在计算积分时应特别注意积分限 . 两个常见的二维分布: (1)(1)均匀分布均匀分布( (见上节见上节) ) (2)(2)二维正态分布二维正态分布 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 ,y,x , )(y )(y(x )(x )( f(x,y) )( 2 12 1 exp 12 1 2 2 2 2 21 21 2 1 2 1 2 2 21 其中 都是常数,且 称(X,Y)为服从 参数 的二维正态分布, 记为 2121 ,1| , 0, 0 21 , 2121 ),()

17、,( 2 2 2 121 NYX .dyee (x)f x y )( )(x X 2 1 1 2 2 22 1 2 1 12 1 2 2 21 12 1 解解 于是 , )(x x y )(y(x )(y 2 1 2 12 2 1 1 2 2 21 21 2 2 2 2 2 由于 , f(x,y)dy(x)f X .y,e (y)f )(y Y 2 2 2 2 2 2 2 1 同理有 令, 1 1 2 2 2 1 1 x y t 则,dtee (x)f /t )(x X 22 1 22 1 2 1 2 1 即 .xe (x)f )(x X 2 1 2 1 2 1 2 1 ),( 2 11 NX),( 2 22 NY 二维正态分布的两个边缘分布都是