04第04章 扭转

1、1 2 第四章第四章 扭转扭转 41 工程实例、概念 42 外力偶矩、扭矩 43 薄壁圆筒的扭转 44 圆轴扭转时的应力、强度计算 45 圆轴扭转时的变形、刚度计算 46 等直圆杆的扭转超静定问题 47 非圆截面杆的扭转 48 开口和闭合薄壁截面在自由扭转时的应力 49 圆柱形密圈螺旋弹簧的计算 扭转变形小结扭转变形小结 3 一、工程实例一、工程实例 1、螺丝刀杆工作时受扭。 2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。 41 41 工程实例、概念工程实例、概念 M M F F M 4 3、机器中的传动轴工作时受扭。 4、钻井中的钻杆工作时受扭。 M m 5 6 二、扭转的概念二、扭转的概念 受力特点：

2、受力特点：杆两端作用着大小相等方向相反的力偶，且作用 面垂直杆的轴线。 变形特点：变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。 轴轴：主要发生扭转变形的杆。 7 2、已知：功率 P马力(Ps)，转速 n转分(rmin；rpm)。 外力偶矩： 二、内力：二、内力：T T（扭矩）（扭矩） m)(N7024 n P m 一、外力：一、外力：m m （外力偶矩）（外力偶矩） 1、已知：功率 P千瓦(KW），转速 n转分(rmin； rpm)。 外力偶矩： m)(N9549 n P m 42 42 外力偶矩、扭矩外力偶矩、扭矩 8 2、内力的符号规定内力的符号规定：以变形为依据，按右手螺旋法则判断。 右手

3、的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若 其矢量方向背离所在截面则扭矩规定为正值，反之为负值。其矢量方向背离所在截面则扭矩规定为正值，反之为负值。 T + T - m m mT mT mx 0 0 T x 1、内力的大小、内力的大小：（截面法） 9 4 4、内力图（扭矩图）：、内力图（扭矩图）：表示构件各横截面扭矩沿轴线变化的图形。 作法：同轴力图：作法：同轴力图： 例例 已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从 动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。 n

4、A B C D m2 m3 m1 m4 （1 1）、截开面上设正值的扭矩方向。）、截开面上设正值的扭矩方向。 （2 2）、在采用截面法之前不能将外力简化或平移。）、在采用截面法之前不能将外力简化或平移。 3、注意的问题注意的问题 10 15.9(kN.m)m)(N1015.9 300 500 95499549 3 1 1 n P m 4.78(kN.m)m)(N 1078. 4 300 150 95499549 3 2 32 n P mm 6.37(kN.m)m)(N10 37. 6 300 200 95499549 3 4 4 n P m 求扭矩（扭矩按正方向设）求扭矩（扭矩按正方向设） 解

5、：解：计算外力偶矩计算外力偶矩 n P m9549 例例 已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从 动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。 11 n A B C D m2 m3 m1 m4 1 1 2 2 3 3 mkN56. 9 )78. 478. 4( , 0 322 322 mmT mmT mkN37. 6 , 0 43 43 mT mT mkN78. 4 0 , 0 21 21 mT mT m x T1 m2 m2m3 T2 m4 T3 绘制扭矩图绘制扭矩图 9.56 x T（kN.m） 4.78 6.37 BC

6、段为危险截面。段为危险截面。 12 实验变形规律应力的分布规律应力的计算公式。 1 1、实验：、实验： 43 43 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转 一、一、薄壁圆筒横截面上的应力薄壁圆筒横截面上的应力( (壁厚壁厚 0 10 1 rt ,r0：为平均半径） 13 2 2、变形规律：、变形规律： 圆周线圆周线形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 了一个不同的角度。 纵向线纵向线倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。 3 3、切应变（角应变、剪应变）：、切应变（角应变、剪应变）：直角角度的改变量。 4 4、定性分析横截面上的应力、定性分析横截面上的应力 00（1） 00（2） 因为同一圆

7、周上切应变相同，所以同一圆周上切应力大小相等。 因为壁厚远小于直径，所以可以认为切应力沿壁厚均匀分布 ,而且方向垂直于其半径方向。 14 5 5、切应力的计算公式：、切应力的计算公式： dAdA（dA）r0 。 dA=（r0d）t。 2. 2 0 2 0 2 00 trtdrrdAT A tr T 2 0 2 d 二、剪切虎克定律二、剪切虎克定律 G )1 (2 E G 在弹性范围内切应力与切应变成正比关系。 p p s b 15 在相互垂直的两个面上，切应力在相互垂直的两个面上，切应力 总是成对出现的，并且大小总是成对出现的，并且大小相等相等 ，方向同时指向或同时背离两个方向同时指向或同时背

8、离两个 面的交线。面的交线。 三、切应力互等定理三、切应力互等定理 a cd dx b dy dz z 0Ydydzdydz 0X dxdzdxdz 0 Z Mdydxdzdxdydz)()( 16 一、圆轴扭转时横截面上的应力（超静定问题）一、圆轴扭转时横截面上的应力（超静定问题） 几何关系：由实验通过变形规律应变的变化规律 物理关系：由应变的变化规律应力的分布规律 静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系应力的计算公式。 一）、几何关系一）、几何关系： 1 1、实验：、实验： 44 44 圆轴扭转时的应力、强度计算圆轴扭转时的应力、强度计算 17 18 19 2 2、变形规律：、变形规律：

9、圆轴线圆轴线形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 了一个不同的角度。 纵向线纵向线倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。 3 3、平面假设、平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状、大 小、间距不变，半径仍为直线。 4 4、定性分析横截面上的应力、定性分析横截面上的应力 00 （1） 00 （2） 因为同一圆周上切应变相同，所以同 一圆周上切应力大小相等，并且方向 垂直于其半径方向。 O 1 A 2 20 5 5、切应变的变化规律、切应变的变化规律： 二）物理关系：二）物理关系：弹性范围内工作时弹性范围内工作时 P max G G dx d G 方向垂直于半径。 dx d

10、dx Rd dx bb dx bb tg 1 1 b b1 a xdx GG x GG d d d tg 11 21 应力分布应力分布 （实心截面）（空心截面） 22 三）静力关系：三）静力关系： dAdAdAA O dA A A x G A x G AT A A A d d d d d d d 2 2 AI Ap d 2 令 x GI T p d d 代入物理关系式 得： x G d d p I T 圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算式。 p GI T x d d 23 横截面上 p P P W T I T I T max max max 抗扭截面模量，单位：m3 mm3 。 )( Tp

11、WW 整个圆轴上等直杆： p W Tmax max 变直杆： maxmax )( p W T 三、公式的使用条件：三、公式的使用条件： 1、等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。 Ip截面的极惯性矩，单位： m4 mm4 二、圆轴中二、圆轴中max max的确定 的确定 24 四、四、I Ip p, W, Wp p 的确定 的确定 ： 1 1、实心圆截面、实心圆截面 4 2 0 322 32 1 22DdddAI D AA P 3 max16 1 2 D D II W PP p 2 2、空心圆截面、空心圆截面 )1 ( 32 1 )( 32 1 2 44 44 2 2 32 D dDddAI D

12、d A P )1 ( 16 1 2 43 D D I W P p D d D d O d D O d AI Ap d 2 25 26 27 五、圆轴扭转时斜截面上的应力五、圆轴扭转时斜截面上的应力 低碳钢试件： 沿横截面断开。 铸铁试件： 沿与轴线约成45的 螺旋线断开。 因此还需要研究斜截面上的应力。 28 m T 方法：取单元体（单元体上的应力认为是均匀分布的） x 29 0cos)sin(sin)cos(0 dAdAdAN 0sin)sin(cos)cos(0 dAdAdAT 2sin 2cos 设：ef 边的面积为 dA 则 x n t e f b eb边的面积为dAcos bf边的面

13、积为dAsin 30 2、max：=00， max=（=0）。横截面上！ 1、max：=45。 max=（=0）。45斜截面！ 结论：结论： 如果材料的抗剪切能力差，构件就沿横截面发生破坏如果材料的抗剪切能力差，构件就沿横截面发生破坏 （塑性材料）；（塑性材料）； 如果材料的抗拉压能力差，构件就沿如果材料的抗拉压能力差，构件就沿4545斜截面发生破坏斜截面发生破坏 （脆性材料）。（脆性材料）。 2cos ; 2sin 分析：分析： 45 31 六、圆轴扭转时的强度计算六、圆轴扭转时的强度计算 1 1、强度条件：、强度条件： p W Tmax max 2 2、强度计算：、强度计算： 1）校核强度

14、； 2）设计截面尺寸； 3）确定外荷载。 max max p W T m max p WT max T Wp ）（空： 实： 4 3 3 1 16 16 D D Wp 32 33 一、变形：（相对扭转角）一、变形：（相对扭转角） dx GI T d GI T dx d dx d GIT P P P 45 45 圆轴扭转时的变形、刚度计算圆轴扭转时的变形、刚度计算 P GI TL T=常量,且分段。 P GI TL T=常量 )(xTT L P GI Tdx 单位：弧度（单位：弧度（radrad）。）。 GIGIP P抗扭刚度。抗扭刚度。 注意：注意： “ “T”T” 代入其代入其“、”号号 3

15、4 P GI T L 单位长度的扭转角， m rad 二、刚度条件：二、刚度条件： P GI Tmax max 0 max max 180 P GI T m 0 三、刚度计算：三、刚度计算： 1、校核刚度； 2、设计截面尺寸； 3、确定外荷载。 max max G T I p m max p GIT 35 例例 功率为150 kW，转速为15.4 转/秒的电动机转子轴如图所 示，许用切应力 =30 M Pa, 试校核其强度。 ).(1055. 1 60*4 .15 150 9549 9549 3 mN n P mTBC T 1.55 kN.m 解解：求扭矩及扭矩图 计算并校核切应力强度 D3

16、=135 D2=75 D1=70 AB C m m x MPa23 1670 1055. 1 16 1 3 6 3 max D T W T p 36 例例 长为 L=2 m 的圆杆受均布力偶 m=20 Nm/m 的作用，如图， 若杆的内外径之比为 =0.8 ，G=80 GPa ，许用切应力 =30 MPa，试设计杆的外径；若=2/m ，试校核此杆的 刚度，并求右端面转角。 解解：设计杆的外径 max max p W T x T(x)=mx=20 x Tmax=20*2=40Nm 37 3 1 4 max 1 16 ）（ T D 40Nm x T 代入数值得： D 0.0226m。 由扭转刚度条

17、件校核刚度 180 max max P GI T m D /89. 1 )1 (1080 1804032 4429 右端面转角为： 弧度）( 033. 0 2 )( 2 00 P L P L P GI mL dx GI mx dx GI xT max T Wp 1 16 D 4 3 ）（ p W 38 例例 某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率P1 = 500 马力， 输出功率分别 P2 = 200马力及 P3 = 300马力，已知： G=80 GPa ， =70 M Pa， =1/m ，试确定： AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？ 若全轴选同一直径，应为多少

18、？ 主动轮与从动轮如何安排合理？ 解解：图示状态下图示状态下, ,扭矩图扭矩图 500400 P1 P3P2 A C B T x 7024 4210 (Nm) m)(N7024 n P m ).(7024 500 500 7024 11 mNmT ).(4210 500 300 7024 32 mNmT 39 16 3 T d Wp mm)(4 .67 107014. 3 42101616 3 6 3 2 T d 180 32 4 G Td Ip mm)(80 107014. 3 70241616 3 6 3 1 T d 由刚度条件得：由刚度条件得： 由强度条件：由强度条件： max max

19、p W T 180 max max P GI T mm)(4 .74 1108014. 3 180421032 180 32 4 92 4 2 2 G T d mm)(84 1108014. 3 180702432 180 32 4 92 4 2 1 G T d 40 mm4 .74 ,mm84 21 dd综上：综上： 全轴选同一直径时全轴选同一直径时 mm84 1 dd 轴上的轴上的绝对值绝对值最大的扭矩最大的扭矩越小越越小越合理，所以，合理，所以，1轮和轮和2轮应轮应 该换位。该换位。换位后换位后, , 轴的最大直径才为轴的最大直径才为 75 75mm。 T x 4210 (Nm) 281

20、4 P1 P3P2 AC B 41 42 A1 A2 = =1.28 3 43 46 46 等直圆杆的扭转超静定问题等直圆杆的扭转超静定问题 解扭转超静定问题的步骤：解扭转超静定问题的步骤： 平衡方程；平衡方程； 几何方程几何方程变形协调方程；变形协调方程； 补充方程：把物理方程（力与变形的关系）代入几何方程得；补充方程：把物理方程（力与变形的关系）代入几何方程得； 解由平衡方程和补充方程组成的方程组。解由平衡方程和补充方程组成的方程组。 44 例例 长为 L=2 m 的圆杆受均布力偶 m=20 Nm/m 的作用，如图， 若杆的内外径之比为 =0.8 ，外径 D=0.0226 m ，G=80

21、GPa， 试求：固定端的反力偶。 解解：杆的受力图如图示， 这是一次超静定问题。 平衡方程为平衡方程为： 02mmm BA 几何方程几何方程： 0 BA 45 力的补充方程力的补充方程： 0 40220)( 2 00 P A P A L P BA GI m dx GI xm dx GI xT mN 20 A m 由平衡方程得由平衡方程得： 另:此题可由对称性直接求得结果。 mN 20 B m x 46 47 一、非圆截面杆与圆截面杆的区别 圆杆扭转时 横截面保持为平面； 非圆杆扭转时 横截面由平面变 为曲面（发生翘曲）。 47 47 非圆截面杆的扭转非圆截面杆的扭转 48 二、研究方法：弹性力

22、学的方法研究 三、非圆截面杆扭转的分类： 1、自由扭转（纯扭转）2、约束扭转。 四、分析两种扭转： 1 1、自由扭转：、自由扭转：各横截面翘曲程度不受任何约束（可自由凹凸） 任意两相邻截面翘曲程度相同。 受力特点受力特点：两端受外力偶作用。 变形特点变形特点:相邻两截面翘曲完全相同，纵向长度不变，所以纵 向应变等于零。 应力特点应力特点：横截面上正应力等于零，切应力不等于零。 2 2、约束扭转、约束扭转：由于约束条件或受力限制，造成杆各横截面翘 曲程度不同。 受力特点受力特点：两端受外力偶作用。 49 变形特点变形特点:相邻两截面翘曲不相同，纵向长度发生变化，所以 纵向应变不等于零。 应力特点

23、应力特点：横截面上正应力不等于零，切应力不等于零。 五、矩形截面杆的自由扭转： 1 1、分布：、分布： 2 2、应力计算、应力计算： 2 max hb T W T t （整个横截面上最大的切应力）。 短边中点 max1 3 3、变形：、变形： 3 hbG TL GI TL t 长边中点 , t GI T h b h 1 T max 注意！b 50 六、非圆截面杆扭转的有关规律： 1、截面周边各点处切应力的方向与周边平行（相切）。 2、在凸角处的切应力等于零。 3 1 ; ) 10 : ( b h 即对于狭长矩形 51 一、切应力流的方向与扭矩的方向一致。一、切应力流的方向与扭矩的方向一致。 二

24、、开口薄壁截面杆在自由扭转时的切应力分布如图（二、开口薄壁截面杆在自由扭转时的切应力分布如图（a），厚），厚 度中点处，应力为零。度中点处，应力为零。 48 48 开口和闭合薄壁截面在自由扭转时的应力开口和闭合薄壁截面在自由扭转时的应力 52 三、闭口薄壁截面杆在自由扭转时的切应力分布如图（三、闭口薄壁截面杆在自由扭转时的切应力分布如图（b b），同），同 一厚度处，应力均匀分布。一厚度处，应力均匀分布。 53 四、闭口薄壁截面杆自由扭转时的切应力计算，在（四、闭口薄壁截面杆自由扭转时的切应力计算，在（c）图上取）图上取 单元体如图（单元体如图（d）。）。 图（c） d x d d 2 d d

25、 1 1 2 图（d） 2211 d d ; 0ddxxX 常量 2211 dd 54 d min max 2 T ddd 22)( ddsT 积。为厚度中线所包围的面 2 1 dds 55 例例 图示椭圆形薄壁截面杆，横截面尺寸为：a=50 mm， b=75 mm，厚度t =5 mm，杆两端受扭转力偶 T=5000 Nm， 试求此杆的最大切应力。 解解：闭口薄壁杆自由扭转时的最大切应力： b a t MPa42 10755052 5000 22 9 min max d abt TT 56 48 48 圆柱形密圈螺旋弹簧的计算圆柱形密圈螺旋弹簧的计算 一、概述一、概述 弹簧的特点变形大 弹簧的

26、用途缓冲作用、控制机械运动、测量力的大小等。 圆柱形密圈螺旋弹簧外型为圆柱型、螺距很小（50）、 弹簧沿轴线方向成螺旋式。 二、二、 应力的计算应力的计算 F Fs T F F 57 58 t s TQ W T A F max 近似值：近似值： 323 8 1 2 416 2 d DF D d d F d FD 前提条件前提条件 （1） 角很小，忽略角的 影响，认为簧丝横截面与弹簧轴线在 同一平面内（与 F力在同一平面）。 （2）dD ，忽略簧丝曲 率内影响，按直杆计算。 =+ Q T Fs T=FD/2 Fs=F D F Fs T 59 三、强度条件三、强度条件: : 8 3 max d D

27、F K 精确值：（修正公式，考虑弹簧曲率及剪力的影响）精确值：（修正公式，考虑弹簧曲率及剪力的影响） 33 max 88615. 0 44 14 d DF K d DF CC C 其中： d D C C . C C K 6150 44 14 称为弹簧指数。 称为曲度系数。 60 四、变形计算四、变形计算 1、定义、定义：弹簧沿轴线方向的伸长或缩短量“”。 2、分析弹簧的变形、分析弹簧的变形： （1）、各横截面由扭转变形引起的轴向方向的伸长或缩短； （2）、各横截面由剪力引起的变形（ dD ），可忽略。 3、变形公式、变形公式 T A B T dS D/2 O O1 d d 设：B截面相对A转动

28、d角度 44 16 ) 32 ( ) 2 ( )( 2 )( 2 dG FDds d G ds FD GI Tds d d D dtg D d P 4 2 8 dG dsFD d 61 为弹簧常数。 64 ; 64 3 4 4 3 nR Gd K K F Gd nFR 4 3 4 2 4 2 0 4 2 8888 Gd nFD Dn dG FD L dG FD ds dG FD d L s D=2R，R为弹簧的平均半径，n为弹簧的有效圈数。 讨论讨论1、 d 越小越大，减震越好；但此时将增大。 2、n、D越大越大，减震越好；但n大时将引起 侧向弯曲从而发生失稳破坏（解决方法：在中间 加导杆）。

29、 62 例例 圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为：D=125mm，簧丝直 径为：d =18mm，受拉力 F=500N 的作用，试求最大切应力 的近似值和精确值；若 G =82GPa，欲使弹簧变形等于 6mm， 问：弹簧至少应有几圈？ 解解：最大切应力的近似值： MPa)(3 .29 018. 0 500125. 08 ) 1 1252 18 ( 8 ) 1 2 ( 3 3 max d DF D d 63 最大切应力的精确值： 091 6150 44 14 ; 6315 18 125 . C . C C K. d D C MPa)(2 .33 018. 0 500125. 08 09. 1 8 33 max d DF K 弹簧圈数： 6 . 6 125. 050064 1018826 64 3 64 3 4 FR Gd n （圈） 64 扭转变形小结扭转变形小结 一、扭转的概念一、扭转的概念 受力特点：受力特点：杆两端作用着大小相等方向相反的力偶，且作用面 垂直杆的轴线。 变形特点：变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。 二、外力：二、外力：m m （外力偶矩）（外力偶矩） 功率 P千瓦，转速 n转分。m)(N9549 n P m 三、内力：