高三复习考试平面向量教案

1、平面向量第 1课时向量的概念与几何运算基础过关1 向量的有关概念既有又有的量叫向量的向量叫零向量的向量，叫单位向量叫平行向量，也叫共线向量规定零向量与任一向量且的向量叫相等向量2 向量的加法与减法求两个向量的和的运算，叫向量的加法向量加法按法则或法则进行加法满足律和律求两个向量差的运算，叫向量的减法作法是将两向量的重合，连结两向量的，方向指向3 实数与向量的积实数与向量 a 的积是一个向量，记作a 它的长度与方向规定如下： |a|当0 时，a 的方向与 a 的方向；当0 时，a 的方向与 a 的方向；当0 时，a( a )( )a( a b ) 共线定理：向量b 与非零向量 a 共线的充要条件

2、是有且只有一个实数使得4 平面向量基本定理：如果 e1、 e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1 、2 ，使得设 e 、 e2是一组基底， a x ey e， b x eye2，则 a 与 b 共线的充要条件是11112212典型例题题型一：平面向量的概念例 1. 出下列命题： 若 ab ，则 ab ； 若 A、B、C、D是不共线的四点， 则 ABDC 是四边形为平行四边形的充要条件；若 ab, bc ，则 ac ；ab 的充要条件是ab 且 a b ；若 a b ， b c ，则 a c 。其中，正确命题的序号是 _答案：。题型二：向量的基本

3、运算例 2已知 ABC 中， D 为 BC 的中点， E 为 AD 的中点设 AB a ， AC b ，求 BE 解：BEAEAB1(ABAC)AB3a 1b444变式训练1.如图所示， D 是 ABC 边 AB 上的中点，则向量CD 等于（）ABC1BA2AD1/24BC1B BC BA2CBC 1BA2DBC 1BA解:A2例 3.已知向量 a2e13e2 ， b2e1 3e2 ， c 2e19e2 ，其中 e1 、 e 不共线，求实数、，使 cab 2解 : c a b2 e 9 e (2 2)e ( 3 3)e22 2，且 3 3 92，且 11212变式训练 2：已知平行四边形ABC

4、D 的对角线相交于O 点，点 P 为平面上任意一点，求证：PA PBPCPD4PO证明PAPC2PO，PBPD2POPAPBPCPD4PO例 4.已知 ABCD 是一个梯形， AB 、 CD 是梯形的两底边，且AB 2CD， M 、N 分别是 DC 和 AB 的中点，若 ABa ， ADb ，试用a 、 b 表示 BC 和 MN 解：连 NC，则 NCAD b MNMC CN1 ABCN1 ab ； BC NC NBb1 a442变式训练 3：如图所示， OADB 是以向量 OA a ， OB b 为邻边的平行四边形，又BM 1BC ， CN 1 CD ，试用 a 、 b 表示 OM ，33O

5、N，MN 解 : OM 1 a 5 b ， ON 2 a 2 b ，663311MN a b26题型三：共线向量定理、平面向量基本定理及应用BDM NCOA例 5. 设 a ， b 是两个不共线向量，若 a 与 b 起点相同， t R， t 为何值时， a ， t b ， 1 ( a b )三向量的终点在一条直线上？3解：设 at b a1 (a b) (R)化简整理得： ( 21)a(t1)b0333210332 a 与 b 不共线 ，1t0t32故 t1 时， a, t b, 1 ( ab) 三向量的向量的终点在一直线上23变式训练4：已知 OAa,OBb, OC c, OD d,OEe

6、，设 tR ，如果 3a c,2 b d,e t( a b) ，那么 t 为何值时， C, D , E 三点在一条直线上？解：由题设知， CDd c2b3a, CEe c (t3)atb，C,D, E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得 CEkCD ，即 (t3)atb3ka 2kb ，整理得 (t 3 3k )a(2kt )b .若 a, b 共线，则 t 可为任意实数；若 a, b 不共线，则有t33k06t2k0，解之得， t.5综上， a, b 共线时，则 t 可为任意实数；a, b不共线时， t6.5小结归纳2/241认识向量的几何特性对于向量问题一定要结合图形进行研究向

7、量方法可以解决几何中的证明2注意 O 与 O 的区别零向量与任一向量平行3注意平行向量与平行线段的区别 用向量方法证明 AB CD ，需证 AB CD ，且 AB 与 CD 不共线要证 A 、B 、C 三点共线，则证 AB AC 即可4向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，特点：首尾相接首尾连；向量减法的三角形法则特点：首首相接连终点第 2 课时平面向量的坐标运算基础过关1 平面向量的坐标表示分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量i 、j作为基底，对于一个向量a ，有且只有一对实数x、y ，使得 a x i y j我们把(x、y)叫做向量 a 的直角坐标，记作并且

8、| a |2 向量的坐标表示与起点为的向量是一一对应的关系3 平面向量的坐标运算：若 a (x 1、 y1)， b (x2、 y2 )， R，则：a b a b a 已知 A(x 1 、y1) ，B(x 2、 y2)，则 AB 4 两个向量 a (x 1、 y1)和 b (x 2、 y2)共线的充要条件是典型例题题型一：平面向量的坐标运算例 1.已知点 A（2，3）， B（ 1，5），且 AC 1AB ，求点 C 的坐标3解AC1AB(1， 2)， OC OAAC (1,11 ) ，即 C(1,11 )3333变式训练 1.若 OA(2,8) ， OB(7,2) ，则 1 AB =.3解 :

9、(3,2) 提示： ABOBOA(9,6)例 2.已知向量 a (cos2， sin)， b (cos，sin)， | a b | 2 5，求 cos( )的值2225解 :| a b | 2 25 522 cos(2cos()2255cos3cos( )7)55222552525变式训练 2.已知 a 2 b (3，1)，2 a b ( 1， 2)，求 a b 解 a (1， 1)， b (1， 0)， a b (0，1)题型二：共线向量的坐标运算例 3. 已知向量 a (1, 2)， b (x, 1) ， e1 a 2 b ， e2 2 a b ，且 e1 e2 ，求 x解 : e (1

10、2x， 4)， e(2 x，3)， e e3(12x) 4(2 x)x 112122变式训练3.设 a (ksin, 1)， b (2 cos, 1) (0 ，)a b ，求证： k 3 3/24证明 : k 2 cos2 2 cos()k 3 3 0 k 3sinsin例 4. 在平行四边形ABCD 中， A(1 ， 1)， AB (6， 0)，点 M 是线段 AB 的中点，线段CM 与 BD 交于点 P(1) 若 AD (3， 5)，求点 C 的坐标；(2) 当| AB | | AD |时，求点 P 的轨迹解： (1)设点 C 的坐标为 (x0，y0)，DCPACADDB(3, 5)(6,

11、 0)(9, 5)( x0 1, y 0 5)AMB得 x010 y06 即点 C(10，6)(2) ABAD点 D 的轨迹为 (x1)2(y 1)236 (y1)M 为 AB 的中点P分 BD 的比为 12设 P(x，y)，由 B(7 ，1)则 D(3x 14， 3y2)点 P 的轨迹方程为 (x5) 2 ( y 1) 2 4( y 1)变式训练4.在直角坐标系 x、y 中，已知点 A(0 ， 1)和点 B( 3， 4)，若点 C 在 AOB 的平分线上，且 |OC |2，求 OC 的坐标解 已知 A (0，1)，B (3，4)设 C (0，5)，D ( 3，9)则四边形 OBDC 为菱形

12、AOB 的角平分线是菱形OBDC 的对角线 OD OD310OC2 OC2OD(10,3 10)31055小结归纳1 认识向量的代数特性向量的坐标表示，实现了“形”与 “数”的互相转化以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化2 由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，所以我们应根据题目的特点去选择向量的表示方法，由于坐标运算方便，可操作性强，因此应优先选用向量的坐标运算第 3 课时平面向量的数量积基础过关1两个向量的夹角：已知两个非零向量a 和 b ，过 O 点作 OA a ， OB b ，则 AOB (0 叫180做向量) a 与 b 的当 0时， a 与 b；当 180时， a

13、与 b；如果 a 与 b 的夹角是 90，我们说 a 与 b 垂直，记作2两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量a 与 b ，它们的夹角为，则数量叫做 a 与 b 的数量积 （或内积） ，记作 a b ，即 a b 规定零向量与任一向量的数量积为0若 a (x1 , y1)， b (x2, y2 )，则 a b 3 向量的数量积的几何意义：|b |cos 叫做向量 b 在 a 方向上的投影( 是向量 a 与 b 的夹角 )a b 的几何意义是，数量a b 等于4 向量数量积的性质：设a 、 b 都是非零向量，e 是单位向量， 是 a 与 b 的夹角e a a e 4/24 a b 当 a 与

14、 b 同向时， a b ；当 a 与 b 反向时， a b cos | a b | 5 向量数量积的运算律：a b ； ( a ) b a ( b) ( a b ) c 典型例题题型一：平面向量数量积的运算例 1. 已知 |a |4， |b |5，且 a 与 b 的夹角为60，求： (2 a 3 b ) (3 a 2 b )解 :(2 a 3 b )(3 a 2 b ) 4变式训练 1.已知 | a | 3，| b |4， |a b |5，求 |2 a 3 b |的值解:6 5题型二：平面向量的数量积解决夹角问题例 2. 已知向量 a (sin，1) ， b (1 ，cos)，22(1) 若

15、ab，求 ；(2) 求| a b |的最大值解： (1)若 ab ，则 sincos0即 tan1而(2,) ，所以42(2)a b32(sincos )322 sin()4当4时，ab 的最大值为21题型三：平面向量的数量积解决垂直问题例 3：已知 a(cos ,sin) ， b(cos ,sin)，其中 0(1)求证： ab与 ab 互相垂直；(2)若 kab 与 ak b的长度相等，求的值 ( k 为非零的常数 )证明：(ab ) (ab )a 2b 2(cos2sin2 ) (cos2sin2) 05/24a b 与 a b 互相垂直（2） kab(k coscos, k sinsin

16、) ,ak b(cosk cos,sink sin) ,k abk212k cos() , akbk 212k cos() ,而k21 2k cos()k 212k cos()cos()0 ，2题型四：平面向量的数量积解决三角形的形状的问题例 4.已知 O 是 ABC 所在平面内一点，且满足( OB OC ) (OB OC 2 OA ) 0，判断 ABC 是哪类三角形解:设 BC 的中点为 D，则 (OBOC )( OBOC2OA ) 02BC AD 0BC ADABC 是等腰三角形变式训练3：若 A(1,2), B(2,3), C (2,5) ，则 ABC 的形状是.解 : 直角三角形 .提

17、示： AB(1,1), AC(3,3), ABAC0, ABAC例 4.已知向量 m (cos , sin 和)n (2 sin , cos )( , 2 且)|m n | 8 2，求 cos()的值.528解 : mn (cos sin2 , cossin)由已知 (cos sin 2) 2 (cossin)2 12825化简： cos ()7254又 cos2 (1cos()16)2428251cos()16( , 2 ) cos()04225281cos()16cos () 44522528变式训练 4.平面向量 a( 3,1),b( 1 ,3 ) ，若存在不同时为0 的实数 k 和 t

18、 ，使 x at ( 2 3)b , y ka tb , 且 xy ，22试求函数关系式kf (t) .解：由 a(3,1),b( 1 ,3 ) 得 ab0,| a | 2,| b |122 a(t 23)b (katb)2ta bk (t 23)a bt(t 2200, ka3)b4kt33t0, k1 (t 33t), f (t )1 (t 33t)44小结归纳1运用向量的数量积可以解决有关长度、角度等问题因此充分挖掘题目所包含的几何意义，往往能得出巧妙的解法6/242注意 a b 与 ab 的区别 a b 0 a 0 ，或 b 0 3应根据定义找两个向量的夹角。对于不共起点的两个向量，通

19、过平移，使起点重合第 4 课时线段的定比分点和平移基础过关1 设 P1P2是直线 L 上的两点，点P 是 L 上不同于 P 、P 的任意一点，则存在一个实数使 P P ，叫做121PP22 设 P1（ x1、y1）， P2 （x2、 y 2），点 P（x、 y）分 P P 的比是 时，定比分点坐标公式为：12，中点坐标公式：。3 平移公式：将点 P（x 、y）按向量 a （ h、 k）平移得到点 P（x， y），则典型例题题型一：定比分点坐标公式的应用例 1. 已知点 A( 1, 4)， B(5, 2) ，线段 AB 上的三等分点依次为P1、P2，求 P1、P2 的坐标及 A、 B 分 P P

20、所成的比 .12解 P1(x 2) P2(3, 0)(2) 1, 22变式训练1.设|AB| 5，点 p 在直线 AB 上，且 |PA| 1，则 p 分 AB 所成的比为解 : 1或146题型二：平移公式的应用例 2. 将函数 y 2sin（2x 5） 3 的图象 C 进行平移后得到图象C，使 C 上面的一点 P（、 2）移至点 P（、 1），求图像 C对664应的函数解析式解 : C：y2sin(2x 2) 23变式训练2：若直线 2x y c0 按向量 a (1, 1) 平移后与圆 x 2 y 2 5 相切，则 c 的值为（）A8 或 2B 6或 4C4 或 6D 2或 8解 : A例 3

21、.设 a (sinx 1, cosx 1)， b ( 2 ,2 ) ， f (x) a b ，且函数 y f (x) 的图象是由 y sinx 的图象按向量 c 平移而得，求 c .22解 : c (2k ,2 ) (k z)4变式训练 3：将 y sin2x 的图象向右按 a 作最小的平移，使得平移后的图象在k , k (k Z) 上递减，则 a 2解 :(， 0)4例 4.已知 ABC 的顶点 A(0 、0)，B(4 、8)，C(6、 4)，点 M 内分 AB 所成的比为 3，N 是 AC 边上的一点，且 AMN 的面积等于 ABC的面积的一半，求 N 点的坐标解:由 S AMN|AM |

22、 |AN|1S ABC|AB|AC|2得|AN|2AN2|AC|3NC N(4， 8 ) 37/24变式训练 4.已知 ABC 的三个顶点为A （ 1，2）， B （ 4， 1）， C（3，4）(1)求 AB 边上的中线CM 的长及重心G 的坐标；(2)在 AB 上取一点 P，使过 P 且平行于BC 的直线 PQ 把 ABC 的面积分成45 两部分（三角形面积：四边形面积），求点P 的坐标解 : CM26G( 8 , 7 ) p(3, 4 )2333小结归纳1在运用线段定比分点公式时，首先要确定有向线段的起点、终点和分点，再结合图形确定分比2平移公式反映了平移前的点 P(x、 y)和平移后的点

23、 P(x 、 y)，及向量 a (h ，k)三者之间的关系它的本质是 PP a 平移公式与图象变换法则，既有区别又有联系，应防止混淆第 5 课时 解斜三角形 知识梳理1 内角和定理 ：在ABC 中， ABC； sin( AB)sin C ； cos(AB)cos Ccos ABsin C222 面积公式 : S ABC1 ab sin C1 bc sin A = 1 ca sin B2223正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.形式一：形式二：abcR ( 解三角形的重要工具 )sin A sin B2sin Ca2Rsin Ab2R sin B( 边角转化的重要工具 )c

24、2Rsin C4.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.形式一： a2b2c22bc cos Ab2c2a22ca cos B ( 解三角形的重要工具 ) c2a2b22ab cosC形式二： cos Ab2c 2a2； cos Bc 2a 2b2； cos C= a 2b 2c 22bc2ca2ab.5关于三角形面积问题 S ABC=1aha 1bhb 1chc（ha 、hb、 hc 分别表示 a、 b、c 上的高）；222 S ABC 1 absinC 1 bcsinA 1 acsinB；222 S ABC 2R2sinAsinBsinC

25、. （R 为外接圆半径） S ABCabc；4R S ABCs( sa)(s b)( s c) ,1s(a b c) ；2 S ABC r s,(r 为 ABC内切圆的半径 )8/24考点 1: 运用正、余弦定理求角或边题型 1. 求三角形中的某些元素 例 1 (2008 年广州市海珠区高三上期综练二)已知：A 、B 、C 是ABC 的内角， a,b, c 分别是其对边长， 向量 m3, cosA1 ，ncosA ,1 ， mn .2（）求角A 的大小；（）若 a2, cos B3 , 求 b 的长 .3解析 :( ) m3,cosA1 =3,cosA 11 分ncos2A ,1=sin A,

26、12 分 m n3 si nA c o sA 1 04 分sinA166 分2 0 A,6A65 , A6,7 分A.8分663()在ABC 中， A， a32 ， cos B33sin B1cos2 B1169 分由正弦定理知：ab,10分33sin Asin Ba sin B26424 2b3b=分sin A3.12332【名师指引】已知两边和其中一边的对角（如a、 b、A），应用正弦定理求B，由 A+B+C = 求 C，要注意解可能有多种情况【新题导练】1.在 ABC 中， a1， b7 ， B 60，求 c.解析：由余弦定理得( 7 ) 2 12 c2 2ccos60，c2c 60，解

27、得 c1 3， c2 2(舍去 ). c3.2若在 ABC 中， A600 , b1, S ABC3, 求 ABC 外接圆的半径 R.解析: S ABC1 bcsin A1 c33, c4, a213, a132222Ra13239 ,R39sin A3332题型 2判断三角形形状例 3在 ABC 中， bcosA a cosB，试判断三角形的形状 .【解题思路】判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形：（1）一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；（2）另一个方向是角，走三角变形之路.通常是运用正弦定理9/24 解析 ：方法 1：利用余弦定理将角化为边.bcosA a c

28、osB b b2c2a2a a2c2 b2 b2c2a2a2c2b2 a2b2 a b2bc2ac故此三角形是等腰三角形 .方法 2：利用正弦定理将边转化为角 .bcosA a cosB又 b 2RsinB， a 2RsinA 2RsinBcosA2RsinAcosB sinAcosBcosAsinB 0sin （ A B） 0 0 A， B， A BA B 0，即 AB 故三角形是等腰三角形 .【名师指引】判断三角形形状时一般从角入手，利用三角形内角和定理，实施关于三角形内角的一些变形公式.【新题导练】3.在 ABC 中，若 2cosBsinAsinC，则 ABC 的形状一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形解析： 2sinAcosB sin（AB） sin（ AB）又 2sinAcosB sinC， sin（A B） 0， ABcosAb4. 在 ABC 中，若 cosBa，则 ABC 的形状是 .()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.等边三角形解析：由已知 cosAbcosAsinBsin2A=sin2B 2A2B 或 2A 2B ，即 A B 或 A B 2，cosB a及正弦定理得 cosBsinA故 ABC 为等腰三角形或直角三角形.选 C考点 2: 三角形中的三角变换题型 : 利用正、余弦定理和三角函数的恒