全国卷历年高考解析几何解答题真题归类分析(含答案)

1、全国卷历年高考解析几何解答题真题归类分析(含答案)一、椭圆(2015年2卷)已知椭圆C:9x2+y2=m2(m0),直线I不过原点0且不平行于坐标轴，1与C有 两个交点A,B,线段AB的中点为M.(1)证明:直线0M的斜率与I的斜率的乘积为定值.若I过点e，m),延长线段0M与C交于点P四边形OAPB能否为平行四边形？若能,求此时I的斜率,若不能，说明理由分析：(1)将直线y=kx+b(k丰0,b丰与椭圆C:9x2+y2=m2(mo)联立,结合根与系数的关系及中点 坐标公式证明.(2)由四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段0P互相平分求解证明.kbk2 9解析】：设直线 l:y=k

2、x+b(k 工0,b 丰0),A(y),B(x2,y2),M(x M,yM).将 y=kx+b 代入 9x2+y2=m2 得(k2+9)x2+2kbx+b 2-m2=0,故 Xm凶 生yMXm2yMkM b于是直线OM的斜率kOMk 9即kOM k=-9,所以直线OM的斜率与I的斜率的积是定值.四边形OAPB能为平行四边形，因为直线I过点Q,m),所以I不过原点且与C有两个交点的充要条件是k0,k丰、由得OM的方程为y=-jx.设点P的横坐标为Xp.9由y kX，得X：9x2 y2 m2k2m229k281，即xpkm3； k29将点(m,m)的坐标代入I的方程得b3m(3 k)3，因此Xmk

3、(k 3)3(k29)四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段 AB与线段OP互相评分，即xPXM 于是kmk=k(k=)m，解得 k-k.,k因为kio,k 3,i=1,2所以当I的斜率为4-或4+时,四边形OAPB为平行四边形(2016年1卷)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为 A,直线I过点B(1,0)且与x轴不重合，I交 圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交 AD于点E.(1)证明|EA|+|EB|为定值，并写出点 E的轨迹方程；设点E的轨迹为曲线 Ci,直线I交Ci于M,N两点,过B且与I垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形 MPNQ面积的取值范围.【解析】 圆A整理为(x+

4、1) 2x_ y_ 1方程为y k x 2 .联立 43 并整理得， 3 4k2 x2 16k2x 16k2 120y k x 2+y2=16，点A坐标为(-1,0),如 图,/ BE / AC,贝ACB= / EBD,由 |AC|=|AD|,贝U/ ADC= / ACD,/ EBD= / EDB,贝U |EB|=|ED|, |AE|+|EB|=|AE|+|ED|=|AD|=4.所以E的轨迹为一个椭圆方程为2 2x y+=1(y 丰 0);432 2XyC仁 +寻=1；设l :x=my+1,因为PQ丄l ,设PQ:y=-m(x-1),联立l与椭圆 C1,x2xTmy2Ly1,得(3m 2+4)

5、y 2+6my-9=0;1,则 |MN|= 1 m |yM-yN|=12 . 36m? 36 3n? 4 12 m, 13m_4_44m21 m2圆心A到PQ距离d=2m,所以 |PQ|=2 ,| AQ|24 ”3n?4 , Smpnq = .1m2 ,1 1?|MN| |PQ|=212 m213nf44” 3m2 4 24 ni1=24 12,83).432(2016年2卷)已知椭圆E: xt2k(k 0)y 1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为3的直线交E于A, M两点，点N在E上，MA丄NA.(I)当t 4 , AM AN时，求 AMN的面积;(II )当2 AM AN时，求k的取值

6、范围2 2【解析】 当t 4时，椭圆E的方程为x y 1 , a点坐标为 2, 0，则直线AM的43解得x 2或x328k 6，则 AM 14kk28 k264k2k2123 4 k2因为AMAN，所以AN 112123k k因为AMAN , k0，所以124k21 k2123k -，k整理得k1 4k2 k4k20无实根，所以k 1 .所以AAMN的面积为；am123 414449直线AM的方程为y k x t，联立2乞13k x t并整理得,3 tk2 x22Utk2x t2k2 3t 0，解得t tk23 ttk2所以AM1 k2t tk23 t3 tk3 tk，所以AN,26 tk t

7、k3k因为2 AMAN，所以21 k2tk2k23k整理得,6k2k33k2因为椭圆E的焦点在x轴,所以26k3k3k2整理得k21k32解得32 k（2017年1卷）已知椭圆C,四点 R 1,1 , P2 01,P3P4 1更中恰有三点在椭圆C上.2(1)求C的方程;(2)设直线丨不经过点P2且与C相交于B两点若直线P2A与直线P2B的斜率的和为求证：丨过定点.解析：（1）根据椭圆对称性，必过Ps , P4，又P4横坐标为1，椭圆必不过P，所以过P2 , P3 , P4 三点将 P2 0，1 ，P311拧代入椭圆方程得F3 ，解得a24 ,b2 1，所以椭圆C的方程为(2)当斜率不存在时，设

8、,yA 1 yA 1kP2A kP2B故不满足.当斜率存在时,设i：y消去y整理得4k则 kP2A kF2By11X1y2X28k b 11 ,4 b 1 b 1所以直线I的方程为y kx2XTI :Xkx by2 1.1，得28kbx 4b2k2k 1 .当 x(2017年2卷)设O为坐标原点，动点uuuuuuu垂足为N，点P满足NP , 2NM (1)求点P的轨迹方程;uur(2)设点Q在直线x 3上，且OP左焦点F .0，X1X2洛X1X21，此时2时，y此时X2kx2M在椭圆l过椭圆右顶点，不存在两个交点,B X2，y2，联立8kb24kX1X1X2y kx b2 x4b224y 4

9、041 4k28k 8kb 8kb8 kb21 4k24b244?64k，存在k使得，所以I过定点2 ,2C：x-2y21上，过0成立.M作x轴的垂线,uuuPQ 1 求证：过点P且垂直于OQ的直线I过C的uui解析：(1)设点 P(x, y)，易知 N(x, 0) , NP (0 ,uuuiuy),又 NM1 uuu2NP1 2所以点M x，石y 又M在椭圆C上，所以y(2)由题知F 1,0，设Q 3,t ,P m, n2y 1uuu，则OQ3,t ,iuuPFuurOQuuuPF 3 3mtn ,uuuOP m, nunrPQ3 m,tuuu 由OPmuPQ3mm2 tn n21 又由(1

10、)知m2n22 ,所以 3 3m tnujur0，从而OQuuu PF 0,uuu即OQ PF 又过点P存在唯一直线的垂直于 OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线I过曲UJU线C的左焦点F 1,0 .二、抛物线2(2015年1卷)在直角坐标系xoy中，曲线C： y=与直线y kx a ( a 0)交与M,N4两点，(I)当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(H) y轴上是否存在点 P,使得当k变动时，总有/ OPM= / OPN ?说明理由.分析：(I)先求出 M,N的坐标，再利用导数求出M,N. (H )先作出判定，再利用设而不求思想即将y kx a代入曲线C的方程整理成关于 x的一元

11、二次方程，设出 M,N的坐标 和P点坐标，利用设而不求思想， 将直线PM , PN的斜率之和用a表示出来，利用直线PM , PN的斜率为0,即可求出a, b关系，从而找出适合条件的P点坐标.解析：（I）由题设可得 M（2、a,a） , N（ 2,2, a），或 M（2、2, a） , N（2 為,a）.AY_-x，故y 在x = 2、2a处的到数值为 a, C在(2、,2a,a)处的切线方程为242y a . a（x 2、a），即、.ax y a 0 .故 y 在 x=-2. 2a 处的到数值为-、a , C 4在( 2j2a,a)处的切线方程为 y a、a （x 2、a），即.ax y a

12、0 .故所求切线方程为 .ax y a 0或；ax y a 0.(n)存在符合题意的点，证明如下：设P (0, b)为复合题意得点， M(x-,y-) , N(X2,y2)，直线PM, PN的斜率分别为k-,k2.将 y kx a 代入 C 得方程整理得 x2 4kx 4a 0. x1 x2 4k, x)x24a.二 k）k2y, b y2 b 2kx,X2 （a b）（xi x2） k（a b）x-ix2x-i x2aa时，有k1 k2=0,则直线pm的倾斜角与直线 pn的倾斜角互补,故/ OPM= / OPN,所以P（0, a）符合题意.(2016年3卷)已知抛物线 C:y2=2x的焦点为

13、F,平行于x轴的两条直线 丨12分别交C 于A,B两点，交C的准线于 P,Q两点.(1)若F在线段 AB上,R是PQ的中点证明:AR / FQ ;若 PQF的面积是厶 ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程【解析】（1）由题意可知F 2,02 a,设 li:y=a,l 2：y=b 且 ab 丰 0,A ，a,Bb1,Q 2,b ,R1P ,a2方程为 2x-(a+b)y+ab=0,1 a2 ,因为点b2，记过F在线段A,B两点的直线方程为l,由点A,B可得直线直线FQ的斜率为k2,所以k1=-1b,k2 =AB上,所以ab+仁0,记直线AR b=-b,又因为ab+仁0,1 12 2的斜率为k

14、i,所以k1=F b1a ba1 2 abab ab,所以 ki=k2,即 AR / FQ.（2）设直线AB与x轴的交点为Xi,0，所以 S ABF=*b FDX1又 Sapqf =S pqf=2S abf 即:1=2 X2x1（2）设圆M过点P 4, 2，求直线l与圆M的方程.解析：（1）显然当直线斜率为设 l: x my 2 , A(X1,yJ ,0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意.2xBXy），联立my2，得 y2 2my4m 16恒大于0,X1X2 y2uir uiuOAAOB24(m1)2m 2m 4（2）若圆y1(my1y2 2m,2)(my2所以OAy”22)y22（mOB，即点O在圆M上.1)y1y2 2m(y1y2)即(my12)( my22)(yc22mAP BP，即(x 4)(X24)(%2)( y22)2)(y2 2) 0，即(m1)y1 y2 (2m 2)(y11或1.20 ,y2)化简得解得X1=0（舍）或 X1=1.设满足条件的AB的中点为 E（x,y）.2y21当AB与x轴不垂直时，由kAB=k de可得（x丰1而,所以a b x 1a b y2y =x- 1（x 工 1）.当AB与x轴垂直时,E与D重合,所以，所求轨