范德蒙行列式及其应用word版本

1、范德蒙行列式及其应用精品文档目录摘要及关键词(1)一、范德蒙行列式(1)(一) 范德蒙行列式定义(1)(二) 范德蒙行列式的推广(4)二、范德蒙行列式的相关应用(8)(一) 范德蒙行列式在行列式计算中的应用 (8)(二) 范德蒙行列式在微积分中的应用 (14)(三) 范德蒙行列式在多项式理论中的应用 (19)(四) 范德蒙行列式推广的应用 (21)三、 结束语(22 )四、 参考文献(23 )收集于网络，如有侵权请联系管理员删除范德蒙行列式及其应用摘要：在北大版高等代数的教科书中，行列式是一个重点也是一个难点，它是学习线性方程组、矩阵、向量空间和线性变换的基础，起着重要作用。而行列式的计算具有

2、一定的规律性和技巧性，同时可以应用在很多领域。本文将通过对n阶范德蒙行列式的计算、推广及其证明，讨论它在行列式计算，微积分和多项式理论中的相关应用，然后主要研究一些与范德蒙行列式有关的例子，从中掌握行列式计 算的某些方法和技巧，这将有助于我们更好的应用范德蒙行列式解决问题。关键词：范德蒙行列式、行列式The Determinant of Vandermonde and Its ApplicationYup ing- Xiao(Departme nt of Mathematics Bohai Uni versity Jin zhou 121000 Chi na)Abstract: Higher

3、algebra textbook editi on in Beiji ng Uni versity,the determ inant is not only animportant point but also a difficult point,it is a foundation of leanning linear equati on s,matrices,vector space and lin ear tran sformati on ,it plays an importa nt role.A nd the calculati on of determ inant has a ce

4、rta in regularity and skills,it can be applied in many areas at the same time. This paper will be through the calculation,expansion and prove of a n band Van derm onde determ inan t,a nd discuss the calculati on of determ inan t,the releva nt applicati on in the calculus and mult ino mial theory, th

5、e n study some examples about the determ inant of Van derm on de,a nd acquire some methods and skills of determ inant calculati on, This will help us better use the determ inant of Van derm onde to solve the problems.Key words: the Van derm on der determ inant; determ inant一、范德蒙行列式(一)范德蒙行列式定义定义11关于变

6、元 XL xn的n阶行列式11L1X1X2LXnDn2X12X2L2Xn(1)LLLLn 1X1n 1X2Ln 1Xn叫做X1， X2 L Xn的n阶范德蒙行列式。F面我们来证明对任意的n（n 2）, n级范德蒙行列式等于洛,x?L Xn这n个数的 所有可能的差X Xj （ 1 j i n）的乘积。1 1我们对n作归纳法：当n 2时，=X2 x,结果是对的。设对于X-! x2n 1级的范德蒙行列式结论成立，现在来看 n级的情形。在（1）式中，第n行减去第n 1行的为倍，第n 1行减去第n 2行的 人倍，也就是由下而上依次地从每一行减去它上一行的 捲倍，有0X2X|X3X1LXnX1,c2d0x

7、2x1x2n 1n 2X2 X1X2X2X12x2X1X2n 1X2X1X22X3为 X3n 1n 2X3 X1X3X3X1 L2X3n 1X3X1X3X1X32Xnn 1XnXnX12Xnn 1XnX1Xnn 2X1XnX1Xnn 2X1XnX1）（X3X1)L (XnX1)X22X2Ln 2X2X3 Lx3 LL Lxn2 l1Xn2XnLn 2Xn后面这行列式是一个n 1阶的范德蒙行列式，根据归纳法假设它等于所有可能差X Xj（2 j i n）的乘积，而包含X1的差全在前面出现了，因此，结论对n级范德蒙行列式也成立，根据数学归纳法，完成了证明。用连乘号，这个结果可以简写为1X12X1Ln

8、 1X1Ln 1X2LLLLL1Xn2XnLn 1Xn(xi nXj)（二）范德蒙行列式的推广定义2推广的范德蒙行列式11L100LX1X2LXnA0L2片2XL2XnAxALLLLLLLLn i 1X1n i 1X2Ln i 1XnAi1Xni2A2 i 1x? i3 LVWxlxL Xn) =0A1ni 1XIi i1 10A1A1i1X2i2.2 n i 3An i 1X2n i1X2i21,2L ij）分别表示关于Xj其中 i i1 i2,0 ij(j 1,2)；Arj,A；j ,L Aj j 心（j 1,2）所在的列元素求rj各阶导数的系数。定理1Hi2nnV(x11,X22,X3L

9、 Xn)V(X1,X2LXn)j(X1Xp)(X2为)区Xp)j1 1j2 1P 2p 3证明(一)将 V(xIx22,X3L Xn)的第 n 1,n 2L n h 列分别提取 1!,2!,3!L ij 及n i1 1,n i1 2丄n h i?分别提取1!,2!,3!L i2!得行列式记为Vm ,并记i1i2n i m,即：V(x,x；,X3L xjjjjzM其中jl 1 j2 1因子,又因为第n1列到第i1 1 列中 cq cqCq（其中q,l为2,11L100L000L0XX2LXn10L010L02X1X；L2xnCx1L0C2X21L0LLLLLLLLLLLLm 1m 1%Lm 1X

10、icmx12C2 xm 3Cm 1XLC1 xm 1 1Cm 1X1cmx02C2 xm3 m 1入2LCm1xm（二）将Vm的第m 1,m 2L 2,1行各乘以xi,然后分别加到第m,m 1L 3,2 行,并按第列展开得到个m1阶行列式，记为Vm1 即：X2XX3LXnX10X2(X2X1)Xj(x3X) LXn(XnX1)(C2C1)XI1VmX；(X2X1)X (X3 X1)LXn(XnX1)(C3 c2)x2(C2 C；)X1LLLLLLX2 (xN)xm 2(X3n) Lm 2/X(XnN)（Cm1專図2(Cm1酩図3L010L0L03X2 1X10L0L0(C3X2 C2XI)X?

11、C3x?C2XL0LLLLLLL(C1 臨図11(Cm1 冷 Cm 2)冷3 (Cm 1X2cLxdx14 l (Cm 1x c 2x)xn i2 2将Vm1的第1，2，L1列分别提取（X2X1 ),(X3 X1)L (Xn X1)等nn3l , m1C；x2(C3X2C2X1)X2LC1xm 2 C1xmm 1入2m 2入211L110L0X2X3LXnX11L02X22X3L2Xn2X1C2XlL0LLLLLLLLm 2X2m 2X3Lm 2Xnm 2X1Cm 2Xm 3LC 1xm5 2入10L0c1x11L0其中i1 1Vm 1Xl ) Vm 1则Vm1C3 X2C2 X|(Xpp 2

12、Cm1Lm 32mX2 Cm 2X1X2LLl Cmn1X20L1“2n i2 2cm 2X1X2 2Vm 1的第n ii列减去第一列并提取因子（X2 Xi），得第n ii列为:（o,i,c；x2丄cm2xm3）T（x2 xi）作为公因子提到行列式外）再把该列乘以-1加到第n h 1列上去，得到第nii 1列为:(0,0,(Cl C2)X2 C；X1,L(cm1 cm2)x2n3(0,0, X2 X1,L cm 2(X2 X1)xJ4)TC2m 4 Tm 2x1x2丿2 m 4、T=(X2 X1 )(0,0,1 L Cm 2X2 )再将第n i1 1列乘以-1加到第n h2列，得第nii 2列

13、为3(0,0,0, x2 x1,L (Cm 1雳2用4 cmm 5、T2W2) /、/3 m 5、T=(x2X1)(0,0,0,1 L , Cm 2X2)这样一直进行到第ni1 i2 1 m 1列（共i2次）。同时还将第n列依次与第n 2,n 1,L 2,1 列互换，则此时：Vm 1(1)nn1(Xp *)(X2 Xjb ?P 211L100L000L0X1X2LXn10L010L02X12%LX；C1X11L0C；x21L0LLL LLLLLLLLLm 2X1m 2X2.m2_LXnC1m 32m 2X1Cmm 42XLJ1 1 m 和cm 2X1 111m 32Cm 2X2Cmm 42X2

14、l cmm2X2=(1)n1n(Xp Xj(X2X1)i2Vm1(x111 i21,x；,X3L x:n)p 2n(X1 Xp)(X2 X1)2Vm 1(x 1,x2!,X3丄 Xn)（四）反复利用*式得Vm 1(X1Xp)(X2P 2Xp)(X2xJ2Vm 2(X12 i2,X2 ,X3,L Xn)n(X12Xp) (X22(X； 2,X；,X3 丄 Xn)=L(为 Xp) (X2 Xi)iii2Vm ii(Xi,X；2,X3丄 Xn) p 2nii（五）仿照前面（二）V的变换，将Vmn的第m h 1,m h 2,L 2,1行乘 以X2，然后分别加到第m ii,m ii 1,L 3,2行，并

15、按第2列展开得到 一个m ii 1阶行列式Vm ii i，此时V ii i的第一列含公因子（Xi X2），而第2列至第n列分别含公因子（Xp X2）（其中p 3,4,L n）,而展开时Vmi i前面已含有一个负号，故可将该负号乘 进第一列使其含（X2 X.）这个公因子，此时只要仿照前面（三）的变 换，Vm (为，X；,X3,L Xn)(X2p 3Xp)(X2 Xi)Vm ii(Xi,x22 .,X3,L Xn)Ln p2(X2 Xp)3(X2Xi)i2Vn(Xi,X2,X3 丄 Xn)故 Vgxx,i1i2niiL Xn)V(Xi, X2,LXn)ji!J2!(XiXp)?ji 1j2 1p2

16、ni2(X2Xi)1 1(XiXp)p3同理可证明其推论V(xIx22,x33,Lxnn)i1L10L00XiX2LXnA11L0A；2Xi2X2L2XnA2 X1L0A2 X 2LLLLLLLLn i 1Xin iX21 Ln i 1Xn1n i 2An i 1X1LAi1An in i ii 111X1Anni 1 X2L0L0L0L0La；L0L0LAXnL0LLLLLL1A2 xn i i21-6 i i 入21 LA；n i 2i 1 XnLA inxnin 1f i 1 入ni 2二V （知X2丄Xn)gGg j2!Ljn!(X1 Xp)(X2 xj1 1(X2Xp) gj11j2

17、 1jn 1P 2p 3ni3(X3 xj11(X3X2)i2 1(X3P 4Xp)L (Xn X1)11(Xn X2)i2 1L (Xn Xn)in1 1 in1丿其中i i1i2 Lin，0 ij(j1,2,L n）的整数；Arj,A；j,L 心心1,2,L ij)iii2n分别代表关于Xj所在列元素求rj各阶导数的系数。当X!,x2L ,Xn互异i2inn时，V（xx22丄Xp） 0 ;否则为零。二、范德蒙行列式的相关应用（一）范德蒙行列式在行列式计算中的应用范德蒙行列式的标准规范形式是：11 L 1Xi2X2Xn2XnL(Xin i j 1Xj)Xix； 1 LXn根据范德蒙行列式的特

18、点，将所给行列式包括一些非范德蒙行列式利用各种方法将其化为范德蒙行列式，然后利用范德蒙行列式的结果，把它计算出来。常见的化法有以下几种：1.所给行列式各列（或各行）都是某元素的不同次幕，但其幕次数排列与范德蒙行列式不完全相同，需利用行列式的性质（如提取公 因式，调换各行（或各列）的次序，拆项等）将行列式化为范德蒙行列式例1计算1 1L2 22 L3 32 Ln n2 L12n3nnn解Dn中各行元素都分别是一个数自左至右按递升顺序排列，但111L11222L2n1Dn n!1332L3n1n!(2LLLLL1n2 nLn 1 nn!(n 1)!( n2)!L2!1!幕次数便从0变到n 1.1)

19、L (n 1)(32)L (n 2)L n (n 1)不是从0变到n r。而是由1递升至n。如提取各行的公因数，则方例2计算an(a 1) L (a n)nn 1, 八n 1 i、na (a 1) L (a n)Dn 1L L L La a 1 L an11 L 1解本项中行列式的排列规律与范德蒙行列式的排列规律正好相反，为使Dm中各列元素的方幕次数自上而下递升排列，将第n 1列依次与上行交换直至第1行，第n行依次与上行交换直至第2行L第2行依次与上行交换直至第n行，于是共经过n (n 1) (n 2) L次行的交换得到n 1阶范德蒙行列式:11Ln(n 1)aa 1LDn1 ( 1) 2LL

20、Ln 1 a/八n 1(a 1)Ln a(a 1)L(a n)nn 1(a n)n(n 1)(a 1a)(a 2 a)L (a n a) a2 (a 1)L a n (a (n 1)k!k 1若Dn的第i行（列）由两个分行（列）所组成，其中任意相邻两行（列）均含相同分行（列）；且 Dn中含有由n个分行（列）组成的范德蒙行列式，那么将Dn的第i行（列）乘以-1加到第i 1行（列），消除一些分行（列）即可化成范德蒙行列式:例3计算11 sin 12sin 1 sin 1.2.3sin 1 sin1 sin 21 11 sin 31 sin 4sin3 sin 3sin4 sin 4.2.3.2.3

21、sin3 sin 3sin4 sin 42sin 2 sin 2.2.3sin 2 sin 22 2解将D的第一行乘以-1加到第二行得:11sin 1sin2-22sin1 sin 1sin2sin 22323sin1 sin 1sin2sin 211sin 3sin4-22sin3 sin 3sin4sin 42323sin3 sin 3sin4sin 4再将上述行列式的第2行乘以-1力口到第3行，再在新行列式中的第3行乘以-1加到第4行得:1111sin 1sin2sin 3sin4.2.2.2.2sin 1sin2sin 3sin4.3.3.3.4sin 1sin2sin 3sin4D(

22、si ni sin j)1 j i 4例4计算1 X11 X2LXn2X12X2LLLLLnX1nX2 LnXn(1)解先加边，那么100L0111L12n2n11X11X1L1X11X1为LX12n2n11X21X2L1X21X2X2LX2LLLLLLLLLL2n2n11Xn1XnL1Xn1XnXnLXnD再把第1行拆成两项之和,200L0111L11X12X1LnX11X12X1LnX1LLLLLLLLLL1Xn2XnLnXn1Xn2XnLnXnDn2XLXj)(XiXn(Xk(Xk1n(Xk1 j k nXj)2i 1i 1n(Xii 11)11)k nXj)2.加行加列法各行（或列）元

23、素均为某一元素的不同方幕,但都缺少同一方幕的行列式，可用此方法:例5计算11L122L2X1X2Xn3X13X2LX3LLLLnX1nX2LnXnD3 n解作n 1阶行列式:由所作行列式可知通过比较系数得:3.拉普拉斯展开法111L1zXX2LXn222L2zX1X2Xn333L3zX1X2XnLLLLLnnnLnzX1X2XnDn 1n(Xi z)(XjXk)i 1z的系数为(1)2n1XiX2_而由上式可知Xn(丄)(Xji 1 Xi n j k ln 1D X1X2L Xn()(Xji 1 Xi n j k lz的系数为:Xk)Xk)运用公式D = M 1A1M 2A2MnA.来计算行列

24、式的值:例6计算解取第1,10X10Ln 1X10010y1Ln 10y110X20Ln 1cX20D010y2Lcn 10y2LLLLLLL10X n0Ln 1cX n0010ynLcn 10ynL 2n1 行,第1,3,3，L 2n 1列展开得：1XLn 1X1|1y1Ln 1y11X2Ln 1X21y2Ln 1y2=(xj G(yLLLLLLLLn j i1XnLn 1Xn1ynLn 1ynj y)4.乘积变换法kX2kXni 1Xk(k0,1,L 2n2)，计算行列式S)sLSn 13S2LSnLLLLSn 1SnLS2n 2nXii 1LnXii 1n2Xii 1Lnn 1Xi 1n

25、nXi 1L11L111X12X1Ln 1X1X1X2LXn12Ln 12X12X2L2XnX2X2X2LLLLLLnLn 1LLn 11Xn2XnLn 1XnX1X2LXn12Li 1l ijnX2n(XjnX)2nnXii 1n2nXii 1例8计算行列式(aobo)n(aob)nL(aobn)n(cbo)n佝d)nLbn)nLLLL(anbo)n(anb1)nL(anbn)nD成乘积的和。根据行列式的乘法规则,解在此行列式中，每一个元素都可以利用二项式定理展开，从而变对D2进行例2中的行的变换,就得到范德蒙行列式，于是C0cna。LC；a0b：bnLbnnC0C：a1LC：a；D2bon

26、1曙Lb：1LLLLLLLLC0C3LC：a：11L1DiD D1gD2，其中D D1 CD21a。Lnao11L11a1Lnan(n 1)bobLbnLLLLg(1) 2 gILLL1anLnanbobTLb：n(naj)g 1)(bbj)1)2C：C：L C；(ai=C1c2 LC：(qa)(b b)5.升阶法例9计算行列式D1X12 为Ln 2X1n为1X22X2Ln 2 xnX2LLLLLL12Ln 2nxn 1xn 1xn 1xn 112Ln 2nXnXnXnXn解将D升阶为下面的n 1阶行列式Vni11L11Xn 1Xnn 2X1n 1X1nX1n 2n 1nX2X2X2LLLn

27、2n 1nXn 1Xn 1Xn 1n 2n 1nXnXnXnn 2n 1nXXXx1x：Lx2x：LL L Lx； 1 LX； LxX2L即插入一行与一列，使Vn1是关于X1,X；,L Xn,x的n 1阶范德蒙行列式，此处X是变数，于是V, 1 (X Xj(X %)L (X Xn)(Xi Xj)故乂1是1 j i n一个关于X的n次多项式，它可以写成Vn 1(X Xj) Xn ( 1)(X1 X； L Xn)Xn1 L1 j i n另一方面，将V,1按其第n 1行展开，即得Vn1(x Xj)xn ( 1)2n1Dxn1 L1 j i n比较乩中关于Xn1的系数，即得D (N X2 LXn)(x

28、 Xj)1 j i n(二)范德蒙行列式在微积分中的应用范德蒙行列式不仅在行列式计算中应用广泛，而且在微积分中也有广泛应用，我们知道形如11L1为X2LXnV2X12X2L2Xn(Xj X)LLLL1 i j nn 1X1n 1X2Ln 1Xn的行列式为范德蒙行列式，下面将通过若干实例说明这个行列式在 微积分中的应用。例 12确定常数 a,b,c, d,使得 f (x) acosx bcos2x ccos3x d cos4x 当x 0时为最高阶的无穷小，并给出其等价表达式。解对f (x)的各项利用泰勒公式,f (x) a246.XXX1 -0(x6)b1泌(2x)4(2x)60(x6)2!4!

29、6!2!4!6! (3x)2(3x)4(3x)661 (4x)2(4x)4(4x)66、c10(x ) d10(x )2!4!6!2!4!6!a1b c d(a2 22 b 32 2c 4 d)x-(a 24b 34c444 d)x(a 26b 36c 46d)x6 0(x6)6!当x 0时，若f(x)最高阶无穷小在6阶以上，则有方程组a b c d 02 2 2a 2 b 3 c 4 d 0444a 2 b 3 c 4 d 06 6 . 6a 2 b 3 c 4 d 011112 2 2其系数行列式D 44 44为范德蒙行列式。由于D 0，故以12434441263646a,b,c,d为未知

30、数的方程组只有零解：a b c d 0,从而f(x) 0。这显然不合题意，故以下考虑f(x)当x 0时最高阶无穷小为6阶的情形，令ab cd0b cdaa22b32c42d0等价于22b32c42daa24b34c44d024b34c44da此以b,c,d为未知数的线形方程组，其系数行列式为范德蒙行列式。1112 2 2D123404小4鼻423492方程组有唯一一组依赖于a的解：b 2a,c -a,d -a，从而f (x)在x 0的邻域内的最高阶无穷小有下述形式的表达式：f (x) 才 a 27a -gp6a fg46a x6 0(x6) =-7 ax6 0(x6)例2设f(x)至少有k阶导

31、数，且对某个实数有lim x f(x) 0,lim x f(k)(x)0(1)xx试证：lim x f (i)(x)0,i0,1,2,L k,其中 f(0) (x)表示 f (x)。x证明由条件(1)，要证明limx f(i)(x) 0,只要将f(x)写成f(x)与xf(k)(x)的线形组合即可，利用泰勒公式，2k 1kf (x m) f (x) mf (x) m f (x) L m f(k 1(x) m f (k)( m) (2)2!(k 1)!k!其中 x m x m,m 1,2,L ,k,这是关于 f (x), f (x),L , f( )(x)的线形方程组，其系数行列式为1112!L1

32、(k1)!1222L2k1D2!(k1)!LLLLL1kk2Lkk12!(k1)!111L1亠2亠k 1122L21.2亠k 1133L31!2!L (k 1)!LLLLL.2k 11kkLk后一行列式为范德蒙行列式，其值为1!2!L (k 1)!,故 D 1，于是可以从方程组(2)把 f (x), f (x),L f(k 1(x)写成 f (x m) (m 1,2, L k)与fk( m)(m 1,2,L ,k)的线形组合，我们只要证明lim x f (x m) lim x f(k) ( m)0(m 1,2,L k)onrnr.是于KXX- tmH Xk在此式中分别令t x m , i 0及

33、令t m,i k,则得im x f(x m) lim x f(k)( m)0(m 1,2,L ,k)例32设f (x)在区间I上n阶可导(n 2),若x I, f(x) Mo, f(n)(x) Mn(Mo,Mn 为正常数)，证明：存在n 1个正常数Mi,M2丄Mni,使对x I,f(k)(x)Mk(k 1,2,L n 1)证明设aiL ,ani I,且ai 0, a a(i j)由泰勒公式，对i 1,2, L n 1精品文档收集于网络，如有侵权请联系管理员删除f(x aj f(x)由此得1 k!f(xa) f(x)ai n!因此f(k)(x)k!aif(x ajf(x)ain!fn()A2M0

34、石叽其中max ai1 i n 11兰1 k!(k)(x) A(x)(xI,i1,2,L n 1),(1)A(x)2Mo-Mn( x n!I,1,2,Ln 1)由于方程组1)的系数行列式2a13a11n 1a12!3!L(n 1)!23n 1a2a2Ia22!3!L(n 1)!LLLL23n 1an 1an 11an 12!3!L(n 1)!a1a2L1!2!L (n 1)!L1a2anan 1a1, a2 丄an 1qa2Lan2a2a2L2an 1nqna2Ln an右边的行列式为的范德蒙行列式。由aaj(ij)及 ai故由克莱姆法则知,存在与x无关的常数1(k)(k)2 丄1(k),使得

35、(k)/ 、f (x)ii(k)A(x), xI,k 1,2,L ,n由此推得x I, k1,2丄1,*)/ 、f (x)(k)iA(x)(k)iA2M0Mn!Mk例4设心论丄人两两互异，函数f (x)在x Xi处的值为f(Xi)yi(i0,1,L n)证明：存在唯一的n次多项式Pn(x)，使Pn(x) = yi(i0,1,L n)证明令Pn(x)ao qx a?x2 LanXn.由题设，有a。nL anXy0,a。ai为nL anX1y1,L LL LL L L LLaa(xnnL anXnyn.这是以ao, ai,L an为未知数的线形方程组，其系数行列式为范德蒙行列式的转置，1X0x2L

36、nX0D1x1X2LnX1(XjXi)LLLLL0 i j n1Xn2XnLnXn由于xXj(ij)故D 0，从而方程组存在唯一解，即存在唯一的多项式 R(x)，使巳(xj yi(i 0,1,L ,n)例5设函数f(x)在x 0附近有连续的n阶导数，且f (0)0, f (0)0,L f n(0)0.若Pi,P2丄Pn 1为一组两两互异的实数，证明：存在唯一的一组实数n 11, 2L n 1,使得当h 0时，i f (Pi h) f (0)是比hn高阶的无穷小i 1证明由题设条件，可得f(pih)(i 1,2, L n 1)在 x0处常有皮亚诺余项的马克劳林展开式：n k kf(Pih) 岭

37、f(k)(0) k 0 k!(hn),n k kf(P2h)旨 W N)f ( Pn ih)n k kPn1h f(k)(0)k 0 k!(hn),(n+1)(1)1(2)2 L (n1)1,得n 1i f(Pih)i 1f(0)f(0)1 n k!iPik f(k)(0)hk(hn)当h 0时，若i f (Pih)f (0)为比hn高阶的无穷小，则1P122 L1 P2 2P； 2P1 1L L L L L L LnnP1 1P2 2 L1,Pn 12Pn 1L L LnPn 1这是以1, 2,l n 1为未知数的线形方程组，其系数行列式11L1P1P2LPn 1D2Plp;LP； 1(Pj

38、 Pi) 0LLLL1 i j n 1nP1nP2LnPn 1故上述方程组有惟一解，即存在惟组实数 1, 2L n 1，使当h 0n 1 时， i f (Pi h) f (0)是比hn咼阶无穷小。i 1(三) 范德蒙行列式在多项式理论中的应用例1设f (x) c C1X L CnXn,若f (x)至少有 1个不同的根，则f(x) 0。证明 取X,X2丄Xn1为f(x)的n 1个不同的根，则有齐次线形方程组精品文档收集于网络，如有侵权请联系管理员删除CoGXiCClX2L L L L2 |C2X1 Lc2x2 LL L L Ln ccn X10,CnX20,L L L L2C0ClXn 1qXn

39、 1n cCnXn 10,其中C0,Ci,L Cn看作未知量因为方程组(2)的系数行列式D是Vandermonde行列式，且D(Xj X) 0,所以方程组(2)只有零解，从而有1 i j nC0 C| L Cn 0,即f (X)是零多项式。例2设a1,a2L an是数域F中互不相同的数,b1,d,L bn是数域F中任组给定的不全为零的数，则存在唯一的数域F上次数小于n的多项式证明设f (X)c0 c1x Lncn 1X1,由条件 f(ajbi，i 1,2,LC0Ln 1Cn 1 a1b1,C0Ln 1Cn 1&2b2,L LL LLL L L LLC0Ln 1Cn 1anbn,因为62丄an互不相同,所以方程组(3)的系数行列式1a1a