不等式与线性规划含答案.

1、不等式与线性规划考情解读 (1)在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的 解法、基本不等式及线性规划问题基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直 接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题(2)多与集合、函数等知识交汇命题，以填空题的形式呈现，属中档题1四类不等式的解法(1) 一元二次不等式的解法先化为一般形式 ax2bxc0(a0)，再求相应一元二次方程 ax2bxc0(a 0)的根， 最后 根据相应二次函数图象与 x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集(2) 简单分式不等式的解法变形? gfxx0(0(1时， af(x)ag(x)? f(x)g(

2、x)；当 0aag(x)? f(x)1 时， logaf(x)logag(x)? f(x)g(x)且 f( x)0 ， g(x )0；当 0alog ag(x)? f(x)0，g(x)0. 2五个重要不等式2(1) |a|0，a20(aR)(2) a2b22ab(a、bR)(3) a2 b ab(a0，b0) a b 2(5)(4) ab ( 2 )2(a，b R) a b2ab2 abab(a0，b0)3二元一次不等式 (组 )和简单的线性规划 (1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等 (2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：画出可行域；根据线性目标函

3、数的几何 意义确定最优解；求出目标函数的最大值或者最小值4两个常用结论a0，(1) ax2 bx c0( a 0)恒成立的条件是 0.a0，(2) ax2bxc0(a0)恒成立的条件是0.热点一 一元二次不等式的解法1x例 1 (1)(2013 安徽 )已知一元二次不等式 f(x)0 的解集为 x|x2 ，则 f(10x)0 的解集 为(2)已知函数 f(x)(x2)(axb)为偶函数，且在 (0， )单调递增，则 f(2x)0 的解集为思维启迪 (1)利用换元思想，设 10xt，先解 f(t)0.(2) 利用 f(x)是偶函数求 b，再解 f(2x)0. 答案 (1) x|xlg 2 (2)

4、 x|x41解析 (1) 由已知条件 010x2，解得 x0.f(2 x)0 即 ax(x 4)0 ，解得 x4.思维升华 二次函数、二次不等式是高中数学的基础知识，也是高考的热点，“ 三个二次 ”的相互转化体现了转化与化归的数学思想方法(1)不等式 x10的解集为 2x1(2)已知 p：? x0R，mx2010，q：? xR，x2mx10.若 pq 为真命题，则实数 m 的 取值范围是 1答案 (1)(2，1 (2)( 2,0)1解析 (1)原不等式等价于 (x1)(2x1)0 或 x10，即 2x1或 x 1，所以不等式的解集1为 (2， 12(2)p q 为真命题，等价于 p，q 均为真

5、命题命题 p 为真时， m0；命题 q 为真时， m2 40，解得 2m2.故 p q 为真时， 2m0，且 m3 n4 1.所以 mn 的最大值为 3.22(2)2x2(xa) 2ax axa 2 2 xa x2a2a 42a，3由题意可知 4 2a7，得 a2，即实数 a 的最小值为 32.热点三 简单的线性规划问题例 3 (2013 湖北)某旅行社租用 A、B两种型号的客车安排 900名客人旅行， A、B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60人，租金分别为 1 600元/辆和 2 400 元/辆，旅行社要求租车总数不超过 21 辆，且 B 型车不多于 A 型车 7 辆，则租金最少为

6、元思维启迪 通过设变量将实际问题转化为线性规划问题答案 36 800解析 设租 A型车 x辆，B 型车 y辆时，租金为 z元，y 满足 y x 7则 z1 600x 2 400y，且 x，xy21 36x60y900，x，y 0，x，yN画出可行域如图，2z直线 y32x2 4z00过点A(5,12)时纵截距最小，所以 zmin51 6002 4001236 800，故租金最少为 36 800 元思维升华 (1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标 函数中的字母系数的取值范围 (2)解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所 表示的几何意义，利用数形结合

7、找到目标函数的最优解(3)对于应用问题，要准确地设出变量，确定可行域和目标函数x0，(1)已知实数 x，y 满足约束条件 4x3y4 ，则 wyx 1的最小值是 xy02xy 10 ，表示的平面区域内存在点 P(x0， y0)，(2)(2013 北京)设关于 x，y 的不等式组 xm0满足 x02y02，求得 m 的取值范围是 答案(1)1 (2) ， 23解析 (1) 画出可行域，如图所示wy 1y 1 表示可行域内的点x为10(x，y)与定点 P(0， 1)连线的斜率，观察图形可知PA 的斜率最小(2)当 m 0 时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点 P(

8、x0， y0)满足 x0 2y0 2，因此 m0. 如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域1要使可行域内包含 y12x1 上的点，只需可行域边界点1 1 2(m，m)在直线 y2x1 的下方即可，即 m 2m 1，解得 m3.1几类不等式的解法 一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程的根， 也是相应的二次函数图象与 x 轴交点 的横坐标，即二次函数的零点；分式不等式可转化为整式不等式（组 ）来解；以函数为背景的不等式可利用函数的单调性进行转化2基本不等式的作用 二元基本不等式具有将“积式”转化为“和式”或将“和式”转化为“积式”的放缩功能， 常常用于比较数 （式 ）的大小或证明不等式

9、或求函数的最值或解决不等式恒成立问题解决问题的关键是弄清分式代数式、函数解析式、不等式的结构特点，选择好利用基本不等式的切入 点，并创造基本不等式的应用背景，如通过“代换” 、“拆项”、“凑项”等技巧，改变原式的 结构使其具备基本不等式的应用条件利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相 等”的条件，三个条件缺一不可3线性规划问题的基本步骤（1）定域 画出不等式 （组）所表示的平面区域， 注意平面区域的边界与不等式中的不等号的对 应；（2）平移 画出目标函数等于 0时所表示的直线 l，平行移动直线， 让其与平面区域有公共点， 根据目标函数的几何意义确定最优解，注意要熟练把握最常见的几类目标

10、函数的几何意义；（3）求值 利用直线方程构成的方程组求解最优解的坐标，代入目标函数，求出最值 . 真题感悟1（2014 山东改编 ）已知实数 x，y满足 axay（0ay21 1； ln（x21）ln（y21）； sin xsin y; x3y3.答案 1解析 因为 0a1，axy.采用赋值法判断，中，当 x 1，y 0 时， 211 ，不成 立中，当 x0，y1时，ln 10，数形结合知，满足12a14，1a433 即可，解得 1a2.所以 a 的取值范围是 1a2.押题精练1为了迎接 2015 年 3 月 8 日的到来，某商场举行了促销活动，经测算某产品的销售量 P 万 2件（生产量与销售

11、量相等 ）与促销费用 x 万元满足 P3 2 ，已知生产该产品还需投入成本 （10x 12P）万元（不含促销费用 ），产品的销售价格定为 （4 P ）万元/万件，则促销费用投入 2（10P2P）万元，所以 y 2万元时，厂家的利润最大？ 答案 1解析 设该产品的利润为 y 万元，由题意知，该产品售价为（102P）P102P x 16 4 x（x0）， 所以 y17 （ 4 x1）17 Px1x 124 x1 13（当且仅当 4 x1，即 x 1时取等号 ），所以促销费用投入 1 万元时，厂家的利润最大3xy0，2若点 P（x，y）满足线性约束条件x 3y20， 点 A（3， 3），O 为坐标原

12、点， 则OAOPy0，的最大值为 答案 6解析 由题意，知 OA （3， 3），OP（x，y），则 OAOP3x 3y.令 z 3x 3y， 如图画出不等式组所表示的可行域，可知当直线 y 3x 33 z 经过点 B 时， z 取得最大值3x y 0 ，x 1 ，由 解得即 B（1， 3），故 z 的最大值为 31 3 36.x 3y 20，y 3，即 OAOP的最大值为 6.113如果关于 x的不等式 f（x）0和 g（x）0 的解集分别为 （a，b），（b，a），那么称这两个不等式为 “对偶不等式” ，如果不等式 x24 3xcos 220 与不等式 2x24xsin 210为“对偶不等

13、式”，且 （2， ，）则 .答案 56解析 由题意可知 ab 2，a b 4 3cos 2，11 2sin 2 ，baa b即a b 2sin 2，ab 2 3cos 2 2sin 2 ， tan 2 3. （2，）5 5 2（ ，2，）2 . .36（推荐时间： 50 分钟 ）一、填空题 x 1 ， x0 ，1函数 f（x）则不等式 x （x 1）f（x1）1 的解集是 x1， x 0 ，答案 x|x 21解析 当 x1 时，原不等式可化为x （x 1） （x）1，解得 x2 1恒成立，所以 xlg x（x0）；1 sin x 2（xk， k Z）；sin x x212|x|（xR）； 21

14、 1（xR）x 1答案 解析 应用基本不等式： x， y0， x2 y xy（当且仅当 xy 时取等号 ） 逐个分析，注意基本不 等式的应用条件及取等号的条件2 1 1当 x0 时， x2 4 2x2 x，所以 lg x2 14 lg x（x0），故不正确； 运用基本不等式时需保证 “ 一正、二定、三相等 ”， 而当 xk，kZ 时，sin x的正负不定，故不正确； 由基本不等式可知，正确；1当 x 0 时，有 21 1，故不正确x 13 （2013 重庆改编 ）关于 x 的不等式 x22ax 8a20）的解集为 （x1，x2），且 x2x115，则a .答案 52解析 由 x22ax8a20

15、，得 （x2a）（x4a）0，所以不等式的解集为 （2a,4a），即5x24a，x1 2a，由 x2 x1 15，得 4a（2a）15，解得 a2.4 （2014 重庆改编 ）若 log4（3a4b）log2 ab，则 ab 的最小值是 答案 7 4 3ab0，a0，解析 由题意得 ab 0，所以 ，b0.3a 4b0，又 log 4（3a 4b） log 2 ab， 所以 log4（3a4b） log4ab， 所以 3a4bab，故 431.ab所以 ab（ab）（4a3b）73ba4ab72 3ba4ab 74 3，当且仅当 3a 4b时取等号 bax y 50，5已知 变量 x，y 满足

16、约束条件 x2y10， 则 z x2y1 的最大 值为x 1 0答案 8xy5 0，解析 约束条件 x2y 10， 所表示的区域如图，x10由图可知，当目标函数过 A(1,4)时取得最大值，故 z x 2y 1的最大值为 124 18.6已知 f(x)是 R 上的减函数， A(3，1)，B(0,1)是其图象上两点，则不等式 |f(1ln x)|1 的解 集是 答案 （1，e2） e解析 |f（1 ln x）|1， 1f（1 ln x）1， f（3） f（1 ln x）f（0），又 f（x）在R 上为减函数， 01 ln x3， 1ln x2， 12 x0，则 m n的最小值为 答案 32 2解

17、析 点 A（1,1）在直线 2mxny20 上， 2m n 2，又 mn0， m0 且 n0.1 2m n12（22nmmn1）m1n1（m11n）2m2nm n m n 21 2m n 312（3 2 2nmmn）23 2，当且仅当 2mn，即 n 2m 时取等号， nm1 13 1 1的最小值为 3 2.m n2二、解答题219设集合 A 为函数 yln（x22x8）的定义域，集合 B 为函数 yxx1的值域，集合 C 1为不等式 （axa1）（x 4）0 的解集（1）求 A B；（2） 若 C? ?RA，求 a 的取值范围解 （1）由 x2 2x80，得 4x0，即 x1时， y211，

18、此时 x0，符合要求；当 x10，即 x0 时，C x| 4xa2 ，不可能 C? ?R A；当 a0 时，C x|x 4或 xa2，若 C? ?RA，则 a122，a221， 22 a0.故 a 的取值范围为 22，0)110已知函数 f(x)3ax3bx2(2b)x1 在 xx1 处取得极大值，在 x x2处取得极小值， 0x11x20；(2)若 za2b，求 z 的取值范围(1) 证明 求函数 f(x)的导数 f(x)ax22bx 2b.由函数 f(x)在 xx1 处取得极大值， 在 xx2 处取得极小值， 知 x1，x2是 f (x) 0 的两个根， 所以 f (x) a(xx1)(xx2)当 x0 ， 由 x x10，x