专题几何不等式

1、几何不等式东北师大附中 卢秀军一、基础知识1定义：几何问题中出现的不等式称为几何不等式常常表现为角的大小，线段的长短，面积的多少等在几何不等式的证明中，将综合运用到我们所学的很多知识，但最首要的是要注意运用几何中基本的不等 关系和一些重要定理证明不等式，视其论证过程中，以运用何种知识为主，大致分为三种方法：几何方 法；三角方法；代数方法。2 证明几何不等式常用方法(1) 代数方法：利用变量代换、因式分解、配方等手段将几何问题转为代数问题，其思路是：(1) 适当地引入变量，将几何问题化为代数问题，特别是二次函数；恰当选择变量为关键；(2) 利用重要的几何不等式及代数不等式；(3) 当证明涉及三角

2、形不等式时，注意应用：三边长的固有不等关系；海伦公式；边长的大小顺 序关系与对应角的大小顺序关系相同，而与对应高、中线及分角线长的顺序相反(2) 三角方法：利用三角函数来反映几何图形的变化规律，从而将几何问题转化为三角问题，这时最常 用的三角知识是：(1) 三角恒等变形：这主要是应用和、差、倍、半角公式，积化和差及和差化积公式等，制造出便于应 用已知不等式的形式，以完成命题的证明；(2) 边角互换：这主要是利用三角函数定义、正弦定理、余弦定理等，把一个关于角(边)的不等式转 化成边(角)的不等式(3) 几何方法：即指用纯粹的平面几何知识来证明几何不等式，这时最常用的平面几何知识是：(1) 抓住

3、几何图形的特征，挖掘几何图形中最基本的几何不等关系事实上，一些最基本的几何不等关系 在有关几何不等式的论证中异常活跃，常常成为解决问题的钥匙；(2) 与面积有关的几何不等式也占有重要地位.其内容丰富，涉及面宽，富于智巧证明这类不等式大都需要利用面积的等积变换、面积公式及面积比的有关定理等知识3 几个著名代数不等式在几何不等式的证明中，常常需要一些著名的代数不等式一一柯西不等式，排序不等式，算术平均不4 几个著名的几何不等式(1)托勒密定理的推广： 在凸四边形 ABCDK 定有：AB CD AD BC AC BD，等号成立时四边形 ABC是圆内接四边形CAD, ABEACD证明1 ：取点E，使

4、BAE则 ABE s ACDAB BE AB AE AC CD，AC AD AB CD AC BE(1)又 BAC DAE ABC s AED BC ACDE AD BC AD AC DE AB CD BC AD AC BE AC DE AC (BE DE) AC BD上式等号成立当且仅当 E在对角线BD上.此时 ABD ACD，从而四边形内接于圆证明2:复数法设A、B、C、D对应的复数分别是z,、z2、z3、z4用到下面的恒等式(乙Z4XZ2Z3)(Z2Z4XZ3z,)(Z3乙)(乙Z2)0则 AB CD AD BC |(z, Z2XZ3 Z4) | (z, Z4XZ2 Z3)|(Zi Z2

5、XZ3 Z4) (Zi Z4XZ2 Z3)| (Z2 Z4XZ3 zj| AC BD(2)(嵌入不等式)设 x,y,z R, A B C (2k 1) ,k Z，求证： x2 y2 z2 2yzcosA 2zxcosB 2xycosC等号成立的充要条件是：x ycosC zcosB及ysinC zsin B 证明：x2 y2 z2 2yz cos A 2zxcosB 2xy cosC2 2 2x 2( zcosB ycosC)x y z 2yzcos(B C)2 2 2x 2( zcosB ycosC)x (zcosB ycosC)(zsi nB ysi nC)2 2(x zcosB ycos

6、C)(zsi nB ysi nC)0当且仅当x ycosC zcosB且ysi nC zsi nB时取等号(3)艾尔多斯一一莫迪尔( ErdosMordell )不等式: 在ABC内部任取点P ， d a , d b , d c分别表示由点 点P到边BC,CA, AB的距离，则 d A dB de 2(da db dc)证明1:过P作直线XY分别交AB, AC于X,Y，使 AYXd a ,d b, d c分别表示由则 AYXs ABCAX AC AY ABXY BC，XY BC11又S AXYAX dcAY db22AXAYd AdcdbXYXY前ACAB即dAdcdbBCBCBAB同理：dB

7、dcdaACACBCACdedbdaABABd Ad Bde2(dadb dc)证明2: P,E，代F四点共圆1XY dA2则-dAsin A在 EFP中，由余弦定理得2 2 2EF2 dcdb2dc db cos(B(dc cosB dbcosC)(dc s in B2又 IbC da2- dadesin dB2d b2de2dB de cosdB de sin.(dB de)2 2dB de (1 cos )(dc sinB db sinC) EFdc sin Bdb sin Csin Bsin C d AsindcdbAsin A同理dsin Asin CBd,cd asin Bsin

8、Bdesin Asin Bdcdasi nCsin C d AdBde2(da dbdc)证明3:设APB,BPC则AB2 da2dB22dA dB cosBC2dB2de22d b d ecosCA2de2dA22de dAcosCPAsinde知dB de sindB de sin2dB de (1 cos )22dB de 2sin22 dB de cos21 即 da 2 dBdecos-同理1 Jdb 2 dedAcos2dcdadbdc1 dB decos2 、de dAcos2dAdBcosi)12(dAdBde)(嵌入不等式)证明四:设 BPCCPA 2APB 2 ，且设它们的

9、内角平分线长分别是wa、wb、wc，且 wa只要证更强的结论dA dB de 2(Wa WbWc)2dBde 1(dB de a)de a)dB dedBdc (dB2 dc2 a2 2dBdc)d b d e又 cos22 2 2dBde a22，即 dBde2dBdea22dBdC cos2同理wbJ2(1 cos 2 ) de2d Bdecosd b de.dBde cos dAde cosWc I dAdB cos由嵌入不等式得2(wa wb wc) 2(、., dBdecos. dAde cos,dAdB cos ) dA dB de(4) 外森比克不等式:设 ABe的边长和面积分别

10、为 a,b,c和S,则a2b2 c24.3S，当且仅当 ABe为正三角形时等号成立 证明方法很多，证明略5费尔马（Fermat）问题：在 ABC中，使 PA PB PC为最小的平面上的P点称为费尔马点 当BAC 120时，A点为费尔马点；当ABC中任一内角都小于120时，则与三边张角为120的P点为费尔马点A/, B/,C/，求证:例题例1 已知 ABC，设I是它的内心，A, B, C的内角平分线分别交其对边于1 AI BI CI 84 AA/BB/CC/27证明：令BCa,CAb, AB c由角平分线定理，易得IA/ A/BA/CaIAcbb c.AA/a bcIAbc.IAbcAA/a b

11、c1bcb c易得2b cb ca b cIAbc1八（J）AAZa bc2同理半 a c(-,1)BBZ a b c 2ICCC/则AAIB/BB/JC CC/处理（1）令弋AA/t3，则 t1,t 2, t31（丁时t2t3(1t2)(2t3)(2 t1)1t2)(1 t3)827(1t2)(2t3)1 丄(t1 t2 t3)三(如2t2t3842t3t1 )t1t2t31 Al Bl Cl84 AA/ BB/ CC/ 27处理(2 )令IAAA/IBx，BB/IC则xyz且 x, y, zG，1) xyz (-827xyz x(2x z)z2z)z(3 z)z - (z 3)2-2 22

12、416(z3)2在区间端点取到最小值) xyz 】2(32(z 4)13 2912 (1 4)材 4处理(3)利用内切圆与三角形的切点把每条边分成两部分作变换 令 a m n,b n k,c k mAl Bl Clmn 2km 2nk 2mnkAA/ BB/ CC/2(m n k)2(m nk) 2(mnk)33(m n k) (m n k) (mn mk nk)(m n k) mnk 138( m n k)4说明：证明关于三角形内各元素的各种不等式时，常作如下变换：(由于三角形的内切圆存在，三条边总可表示为)|a x y,b y z, c z x,(x, y,z 0)，反之，若三个正数 a,

13、b,c可以表示为上述形式，则 a,b,c定是某个三角形的三边，并且相应的三角形的其它元素也可以通过上面变换用x, y, z表示，有关三角形的一些几何不等式都可以化为关于 x, y,z的代数不等式例2 设P是 ABC内的一个点，Q,R,S分别是 代B,C与P的连线与对边的交点(如图)，求证:S QRSS ABC .4(QRS是塞瓦三角形)分析：利用补集思想o/L R证明 S ASR S BSQS CQRsS ABC4AS证明1 :令ASBQCRB -QCSBQCRA则由塞瓦定理1贝y S asr AS AR 、Sabc AB AC (1)(1)同理S BSQS ABCBQ BSBC AB ( 1

14、)(_1)S cqr CQ CRSABT BC AB (1)(1)只要证明S ASRS BSQ S CQR3SS ABC4即 (1)( 1)0)0(1)( 1) ( 1)( 1) 只要证6()(1 1 1只要证6(丄丄-1)(1 1 1显然（丄 1丄）（）61当一时取等号，此时 P是 ABC的重心2证明 2 :设 S PAC X,Spbc y,S PAB Z则 SB y, RA z,QC x SA x RC yQB zS ASRASARxzS ABCABAC(xy)(z y)S 同理一SBSQBQBSyzABCBCAB(y x)(z x)S CQRCQ CRxyS ABCBC AB (x z)

15、(y z)只要证明S asr S bsqS CQRABC即(xxzy)(zyzxy(y x)(z x) (x z)(y z)通分整理xz(xz)yz(yz) xy(xy)4(xy)(yz)(z x)即 x2(yz)y2(zx)2z2(x y)34(xy)(yz)(zx)y)-2 , xy 2、yz 2、zx 6xyz46xyz只要证 y2(x z) x2(y z) z2(x y)2 2 2 2 (x y y z z x) (xy2yzzx2)33x22y y2 z zx 33 xy22yz2 zx当且仅当xy z时取等号，此时P是ASBQCR证明3:令JJABBCCAntt BSCQAR .则

16、-1J1J1ABBCCA由塞瓦定理得(1)(1)(1整理得()1S ASRASAR(1S ABCABAC(1)S 1BSQBQBS冋理(1)S ABCBCABS CQRCQCRS ABCBCAB)只要证(1)(1)(1)事实上(1)(1)(1)12. 1：1)(1)(1)1 -i1 1344当且仅当1时取等号，此时ABC的重心且)23412Q,R,S是中点,例3 已知 ABC的面积为4 2(1)事实上 y2(x z) x2(y z) z2(x y)3xyz 3xyz 6xyz(0,1)成立证明1:由海伦公式，设 PS . p(p a)(p当且仅当pap证明2 :欲证S0(a b42, (1S，

17、三边分别为a,b,c，求证：S扣b c)b)( p c)3326pb p c即a b c时取等号c)2)2,. (1 )ABC的重心3 a b c 2T(h)，且当ab c)23b c时等号只要证(a b c)212 . 3St (a b c)2a2 b2 c2 2ab2bc 2ca 3(ab beca)故只要证ab be ca4._ 3S由柯西不等式(ab be ca)(sin Asin B sin C)(.absin C. besin A、.casin B)2ab bc casin Asin B sin C又 sin A sin Bsin C3相218Sab bc ca(3、2S)218S

18、18Ssin A sin B sin C18S3、. 324.3S从而结论得证当且仅当abc时，取等号例4在ABC 中，求证：cot证明1:设ABcx y, BC3 A3 B3 C “则cotcotcot(222又S,P(Pa)(pb)(p c)ax 3(x y3 A2cotcot39,3y 乙 CA b(与&r rxyz(xy z)3y3rS -(a b c)r2z)rxyz(x y z)(x yz)rcot3A2证明2 :xyzzcot3cot33y z3 r3xyz3_r3(xy z) xyz一 xyzAB3 33 xyz 36 xyzy, BC ay乙ca3 A 则 cot 一2cot

19、3cot3 号()32 ry 3 zr)(-)r rx333y z3 r由幕平均不等式x y z3得 x3y3z31(x y9z)3(1)由例3得S3 a b c、2z)23 (x y z)，即 r - (x993、3r代入（1）即可得到结论设ABC是锐角三角形，外接圆圆心为y z)O，半径为R，AO交BOC所在的圆于另一点A/，BO 交COA所在的圆于另一点 B/，CO交AOB所在的圆于另一点 C/证明：OA/ OB/ OC/ 8R3，并指出在什么情况下等号成立（第证明1 :作过BOC的圆直径0D则 DA/ODCO 90DOC BAC,AOC2 ABCA/OD 180DOCAOCACB在Rt

20、COD 中，ODOCcos DOCOCcos BAC37届IMO预选题）ACCABCAAB/在RtA/OD 中A/OOD cos DOA/OD cos(ACBABC)cos( ACB ABC)cos BACOCCADB/即 oa/ cos( ACBaBQr记为 OA，cos BACcos(Ccos AB)R同理OBcosBOC/cos(A B) RcosC只要证cos(A B) cos(B C)cosCcos Acos(C A)cosB.cos(A B) cos(A B)cos(A B)cos AcosBsin Asin BcosCcosAcosB sin Asin B1 cot A cot

21、B1 cot A cot B令 x cot A cot B, y cot B cot C, z cotC cot Ax y z cot A cot B cot B cotCcotC cot Acot A (cot B cot C) cot B cot Ccot(B C) (cot B cotC) cot B cot Ccot B cotC1(cotBcotC) cotB cotC 1cot B cotC而对于 ABC是锐角一角形，x, y,z0.cos(A B)1 x (xy) (zx) 2 . (x y)(z x)cosC 1 xy zy z同理 cos(B C) 2 (x y)(z y)c

22、os Ax zcos(B C) 2 _(x z)(z y)cosAx y显然成立证明2:如图，设 AO,BC交于D , BO, AC交于E , CO, AB交于F ,由A/, B,O,C四点共圆，得BA/OBCO CBOBOD s A/BOA/OBOBOOD二 A/OR2ODBzR 2从而B/O ,C/OOER2OF处理方式（1）A/O B/O C/OR3R3OD OE OFOAODOBOEOCOFA/O B/O C/OS1 S3 3S2 S2S3 8R3S2S33处理方式(2)令OAODOBx,OEOCy,QF z则ADS OBC1 OES OAC1OFS OBA1S ABCx 1, BES

23、 ABCy 1,CFS ABCz 11111 （利用面积关系）（再去分母，整理得 xyz xS2 , S COAS3令 S AOBS1 , S BOC令 3 xyzm，则 m33m20，即(m 1)2(m.m 20，即 xyz8证明3:由A/,B,O,C四点共圆,由托勒密定理，得AO BCR(A/CA/B).aoA/C A/EBC-R而易知 12.acA/BA/B A/CCDBDBC而 ABD)s COD.abOCRAOBDOD ODOD aoarOD同理bobor ,OEC/OCOOFR令 S AOBSi , S BOCS2,SCOAS3.A/O B/O C/OOA OBOCR3OD OEO

24、FS1 S3S S2S2S38S2S3Si33 xyz 2xyz2) 0x y z 2证明4:由A/,B,O,C四点共圆，由托勒密定理，得B/A/O BC R(A/C A/B)A。严设 AOC,AOBBOC在 A/BC中，由正弦定理，得absin acBACsin A/BCBCsin BA/C又 sinACB sin AOB/ /sin ,sinABC sin AOC sin/,sin BA/Csin.a/oABrsin sin rBCsin同理 B/OSinSi RsinC/Osin sin r sin以下略如图所示，设Ci , C2是同心圆，C2的半径是Ci半径的2倍，四边形AA2A3A4

25、内接于圆Ci，将A4A1延长交圆C2于Bl，将AA2延长交圆C2于B2，将A2A3延长交圆C2于B3 , A3A4延长交圆C2于B4 ,试证明：四边形 B1B2B3B4的周长大于等于四边形A1A2A3A4的 周长的2倍，并请确定等号成立的条件（第3届全国冬令营，i988年）证明：设公共圆圆心为 0，连结OAi,OBi,OB2在四边形OAi Bi B2中，运用推广的托勒密定理OBi A B2 OAiBi B2 OB2 A Bi 2R AiB2 RBiB22 R AiBi2A1B1 - Bi B22 A A22 A2B2 2A1 B-i6Ac.同理 B2B32A2A32A3B3 2A2B2B3B4

26、2 A3 A4 2A4 B42 A3B3B4B12 A4 Ai2 Ai Bi2 A4 B4结论得证 当且仅当O,Ai, Bi,B2四点共圆,OAi A4OB2 BiOBi B2OAi B2,- OAi是 A4A1A2的角平分线,- O到 A4AA2的两边的距离相等A4A1A?AiA1A2A3A4是正方形时，等号成立.同理四边形 AA2A3A4的各边相等，进而证四边形练习题1.如图，在 ABC中，ABAC, AM为中线,AMC内一点，证明：PB PC证明：在 AMC与AMB中,有两组对边对应相等，且AB AC ,所以 AMBAMC，于是AMC 90 ,则垂足H必在MC的内部或延长线上,过P作PH

27、 BC于H ,从而BH CH ,因此PB PC(斜线长与射影长的关系)2. 如图， MON 20 , A为0M上一点， OA 4 ,3 , B是ON上一点， D为ON上一点,故A、D/为定点，而连结 A、D/以线段最短,所以 AB BC CD A/D/ . (0A/)2 (0D/)2 2 0A/ OD/cos60 12 .说明：本题把“折线化直”，然后利用两点间线段距离最短来证明，这种“化直法”在解决几何不等式问 题中是常用的.3.设BC是 ABC的最长边，在此三角形内部任意选一点OA、OB、OC分别交对边于A,、B,、C,证明:(1) OA, OB, OC, BC ；(2)OA! OB, O

28、C, max AA, BB,CC ,分析:我们先证明一个简单但非常有用的引理:AC于S、T ,如图设点M是 PQR的边QR上的一点，贝U PM max PQ, PR.事实上，过P作PH QR，则利用斜线长和射影长的关系很容易说明便知引理成立.(1)过O分别作OX / AB, OY / AC，分别交BC于X、Y点,再过X、丫分别作XSCC,YT BB,分别交AB、易知， OXY s ABC，故XY是 OXY的最大边,由引理知，OA, max OX , OY XY ； 又因为 BXS s BCC, YCT s BCB,所以BXXSOC, (CC,max CA, BCBC ),CY YTOB,所以B

29、CXYBXYC OA,OB, OC,(2)令OA,OB,x,-OC, y,-z，那么xy zS OBCSOCAS OAB,AA,AB,CC,S ABCSABCS ABC所以 OA1 OB1 OC1 xAA1 yBB1 zCC1(x y z) max AA1, BB1, CC1 max AA1, BB1, CC14.设凸四边形 ABCD的面积为1，求证:说明：其实，由（2）和引理知（1）成立，所以我们也可以先证明（2），然后推得（1）.在它的边上（包括顶点）或内部可以找出四个点，使得以其中任意三个点为顶点的三角形的面积均不小于分析：如果ABCD是平行四边形，那么1ABC S BCD S ADC

30、S ABD4因此A、B、C、D即为所求的点;如果ABCD不是平行四边形，不妨设 AD与BC不平行，且 DAB CBA ,设AD与BC交于E又设D到AB的距离不超过 C到AB的距离，过D 作 DF /AB，交 BC 于 F ，分两种情况讨论:（1） DF不超过AB的一半，此时可在边AD，BC上分别取P，Q，使得PQ与AB平行，PQ等于AB1的一半，则有 S APQ S bpq S abe44sABCD1S ABQ S ABP 2 S APQ 2 S BPQ2ABE1s2ABCD即A、B、P、Q即为所求的四个点.（2）若DF大于AB的一半，则在线段DCFC上分别取P，Q，同样使PQ /AB，且PQ1 AB，2AE 于 E/ ,则PQ是ABE/的中位线再过A作BC的平行线I，它与CD的延长线的交则 S PCE / S AGP S延长AP交点为G，故有 S E/ABS PCE/SabCPS pda S ABCP S abcd ,于是同样可以证明 A、B、P、Q即为所求的四