2020版高考数学培优考前练理科通用版练习：4.1数列基础题Word版含解析

1、专题四数列4.1数列基础题命题角度 1 求数列的通项公式高考真题体验 对方向nn2n+ 1n*,则1.(2016 浙江 13)设数列 a 的前 n 项和为 S ,若 S = 4,a = 2S+ 1,n Na1=,S5=.答案1 121解析由题意 ,可得 a1+a 2= 4,a2= 2a1+ 1,所以 a1= 1,a2= 3.再由 an+ 1= 2Sn+ 1,an= 2Sn-1 + 1(n 2),得 an+ 1-an= 2an,即 an+ 1= 3an(n 2).又因为 a2= 3a1,所以数列 an 是以 1 为首项 ,3 为公比的等比数列.1- 35所以 S5= 1 -3 = 121.2.(

2、2015 全国16)设 S是数列 a 的前 n 项和 ,且 a=- 1,a=S S ,则 S =.nn1n+ 1n n+ 1n答案-1?1解析 由 an+ 1=S n+1-Sn=Sn Sn+ 1,得 ? - ?11111?= 1,即?- ?=- 1,则 ? 为等差数列 ,首项为?=- 1,公差为?+1?+1?1d=- 1, 1 =-n ,Sn=- 1 .?典题演练提能 刷高分1.(2019 四川广元万达中学、八二一中学高一下学期期中考试)设数列 a 中 ,已知na = 1,a = 1+1(n 1),则 a = ()?1n3?-1853A. 5B.3C.2D.2答案C解析 因为 a1n12131

3、=3= 1,a= 1+ ?(n 1),所以 a = 1+ ?= 2,a= 1+ ?2.故选 C.?-112321.2.已知数列 an 的前 n 项和为 Sn,且 Sn= 2 n+ 2n,则 a5=答案14解析由题意得 a55 4 325-32=S -S = 25 +224 + 2 =14.Sn是数列 an的前n,log3Sn+ 1 =n+ 1, an的通项公式为.3 已知项和 且则数列答案an= 8,?=1,2 3?,? 2解析由 log 3nnn+ 1,( S +1)=n+ 1,得 S + 1= 3当 n= 1 时 ,a1=S1= 8;当 n2 时 ,an=Sn-Sn-1= 23n,所以数列

4、 an 的通项公式为 an= 8,?=1,23?,? 2 .4.已知数列 an 前 n 项和为 Sn,若 Sn= 2an-2n,则 Sn=.答案 n2n解析 Snn nn n- 1nnn- 1n= 2a -2 = 2(S -S )-2 ,整理得S -2S= 2 ,等式两边同时除以2n 有?2?-1-2?-1= 1,又 S1= 2a1-2=a 1,可得 a1=S1=2,?所以数列 bn?1 为首项 ,1 为公差的等差数列,所以?n可看作以n.=2 ?2 ?=n ,所以 S =n 25.已知数列 an 的前 n 项和是 Sn,且 an+Sn= 3n-1,则数列 an 的通项公式an=.答案3-12

5、 n- 2解析由题得 an+Sn= 3n-1,an- 1+Sn-1= 3n-4 ,13两式相减得an=2 an- 1+ 2 ,1an-3= 2 (an-1-3), an-3 是一个等比数列,1n-11n-1,所以 an-3= (a1-3) 2=(1- 3) 2an= 3-1n-2.2故填 3- 12n- 2.命题角度 2 等差数列基本量的运算高考真题体验 对方向1.(2019 全国9)记 S为等差数列 a 的前 n 项和 .已知 S = 0,a= 5,则 ()nn45A. an= 2n-5B. an =3n-10212C.Sn= 2n -8nD.Sn =2 n -2n答案A?4 = 4?1 +

6、430,? = -3,?=2解析由题意可知 ,2解得 1故 ann?=2 .= 2n-5,S =n -4n,故选 A .?5 = ?1 + 4?=5,2.(2018 全国4)记 S 为等差数列 a 的前 n 项和 ,若 3S =S+S,a = 2,则 a = ()nn32415A .-12B.-10C.10D.12答案B解析 因为 3S3 2433 334343.设公差为11=S+S ,所以3S = (S -a )+ (S +a),即 S =a-ad,则 3a+3d=d ,又由 a = 2,得d=- 3,所以 a5=a 1+ 4d=- 10.3.(2017 全国 4)记 Sn 为等差数列 an

7、 的前 n 项和 .若 a4 +a 5= 24,S6= 48,则 an 的公差为 ()A .1B.2C.4D.8答案C解析设首项为 a145116165,公差为 d,则 a +a=a + 3d+a + 4d= 24,S = 6a +2 d= 48,联立可得2? + 7?= 24 ,13-,得 (21-15)d= 24,即 6d= 24,所以 d= 4.6?1 + 15?= 48 ,4.(2017 全国9)等差数列 a 的首项为 1,公差不为0.若 a ,a ,a成等比数列 ,则 a 前 6 项的和为n23 6n()A. -24B. -3C.3D.8答案A解析设等差数列的公差为2262d,则 d

8、0,?=a= (1+d )(1 +5d),解得 d=- 2,所以3a ,即 (1+ 2d)65S6= 61+ 2 (-2)=- 24,故选 A .?5.(2019 全国 14)记 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和 .若 a10,a2= 3a1,则 ?10 =.5答案4解析设等差数列 an 的公差为d. a10,a2= 3a1, a1+d= 3a1,即 d= 2a1.10? +10 9?100?1210=1= 4. ?5425?55? +2?11典题演练提能 刷高分1.设等差数列 a 的前 n 项和为 S ,若 a = 7,S= 12,则 a= ()nn3310A.10B.28C.30D.

9、145答案B?3 = ?1 + 2?=7,?1 = 1,解析由题意 ,设等差数列的首项为a1,公差为 d,则 ? = 3? + 3?=12 ,解得 所以31?= 3,a =a+ 9d= 1+93= 28,故选 B .1012.(2019 四川百校高三模拟冲刺)已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn,且 S7 =28,则 a4= ()A.4B.7C.8D.14答案A7(? +? )解析S7=17 = 7a4= 28,故 a4= 4.故选 A.23.我国古代数学名著九章算术均输中记载了这样一个问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何?”其意思为 “已知甲、乙、丙、丁、戊五人分

10、5 钱 ,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,问五人各得多少钱?”(“钱 ”是古代一种重量单位).这个问题中,等差数列的通项公式为()A. -1n+ 7(n N* ,n 5)66B.1 n+ 3 (nN * ,n 5)62C.1 n+ 7 (nN * ,n 5)66D.-1n+ 3(n N* ,n 5)62答案D解析依题意甲、乙、丙、丁、戊所分得钱分别为a- 2d,a-d ,a,a+d ,a+ 2d,由题意可知 a-2d+a-d=a+a+d+a+ 2d,所以 a=- 6d,又 a-2d+a-d+a+a+d+a+2d= 5a= 5,所以 a= 1,所以

11、此等差数列首项为4113*3,公差为 -6,故通项公式为an=- 6n+ 2(n N ,n 5),故选 D.4.在等差数列 an 中,a1+a 3+a 5 = 105,a2+a 4+a 6= 99,以 Sn表示 an 的前 n 项和 ,则使Sn 达到最大值的n是()A.21B.20C.19D.18答案B解析因为 a1+a 3+a 5= 105,a2 +a 4+a 6= 99,所以 a3= 35,a4= 33,从而 d=- 2,a1= 39,Sn= 39n+ 1 n( n-1)(-2)=-n 2+ 40n,2所以当 n= 20 时 ,Sn 取最大值 ,故选 B .5.(2019 广东潮州高三二模

12、) 我国古代名著九章算术中有这样一段话: “今有金锤 ,长五尺 ,斩本一尺 ,重四斤 ,斩末一尺 ,重二斤 .”意思是 :“现有一根金锤 ,长 5 尺,头部 1 尺 ,重 4 斤 ,尾部 1 尺 ,重 2 斤 ”,若该金锤从头到尾 ,每一尺的重量构成等差数列 ,该金锤共重多少斤 ?()A.6 斤B.7 斤C.9 斤D.15 斤答案D解析因为每一尺的重量构成等差数列 an, a1= 4,a5= 2, a1+a 5= 6,数列的前5 项和为?+?S5= 51 2 5= 53= 15.即金锤共重 15斤 ,故选 D .6.设等差数列 a 的前 n 项和为 S ,若 S S S,则满足 S S S7S

13、5,6576546a1+d 7a1+d 5a1+d,222 a7 0,13 (? +?12 (?+?S13=113 )112 )+a 7) 0,=13a7 0,S12= 6(a622满足 SnSn+ 1 0 的最大的自然数n 是 ()A.7B.8C.9D.10答案C解析? = ? + ?= 7,解得? =9,21 1-2,?4= ?1 + 3?= 3,?=所以 Sn= 9n+ ?(?-1)(-2)=-n 2+ 10n,2所以 -n2+ 10n 0,所以 0n 0),4?1( 1-?)?1 =1,1 -?= 15,则42解得 ?=2,?1= 3?1 ? + 4?1,所以 a31 22=aq =

14、12 = 4.故选 C.2.(2017 全国 3)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层 ,红光点点倍加增 ,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯 ?”意思是 :一座 7 层塔共挂了381 盏灯 ,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2 倍 ,则塔的顶层共有灯 ()A .1 盏B.3 盏C.5 盏D.9 盏答案B?(1 -2 7)解析设塔的顶层共有x 盏灯 ,则各层的灯数构成一个公比为2 的等比数列,由1 -2= 381,可得 x= 3,故选 B .nn112653.(2019 全国=,?.14)记 S为等比数列 a 的前 n项和 .若 a34=a,则 S =答案1213解析设等比

15、数列 an 的公比为q,则 a4=a 1q3=1 q3,a6=a 1q5 = 1q5.3321615?4=a 6,9 q =3 q .q0,q= 3.?51(1 -35)121(1- ?)=3.S5= 11 -?1 -3=3?4.(2017 北京 10)若等差数列 an 和等比数列 bn 满足 a1=b 1=- 1,a4=b 4= 8,则 ?2=.2答案1解析设等差数列 an 的公差为d,等比数列 bn 的公比为q,由题意知 -1+ 3d=-q 3= 8,-1 +3?= 8,?=3,即 3解得 -? = 8,?=-2.?2-1+3故 ? = 1.2-1(-2)典题演练提能 刷高分1.Sn 是正

16、项等比数列 an 的前 n 项和 ,a3= 18,S3= 26,则 a1= ()A.2B.3C.1D.6答案A2= 18 ,由题得 ?12解析?1+ ?1?+ ?1? = 26 ,?10, ?1 = 2,故选 A . ?= 3,2.等比数列 a 中各项均为正数,S 是其前 n 项和 ,满足 2S = 8a + 3a,a= 16,则 S = ()nn312 44A.9B.15C.18D.30答案D解析设等比数列 an 的公比为 q(q 0). 2S3= 8a1 +3a2, 2(a1+a 2+a 3)= 8a1 + 3a2,即 2a3-a2-6a1= 0.32q2-q- 6= 0,q= 2 或 q

17、=- 2 (舍去 ). a4= 16,a1?4?42(1-2441(1 -?)= 3= 2,S =1 -2= 30.故选 D.?1 -?3.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题:“三百七十八里关 ,出行健步不为难 ,次日脚痛减一半 ,六朝才得到其关 ,要见次日行里数 ,请公仔细算相还.”其大意为 “有一个人走了 378 里路 ,第一天健步行走 ,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了 6 天后到达目的地 ,请计算此人第二天走的路程 ”.该问题的计算结果为 ()A.24 里B.48 里C.96 里D.192 里答案C解析由题意得此人每天走的路程构成公比为1 的等比数列 ,且前 6

18、项的和为 378,求该数列的第2 项 .2? 1 -( 1) 61设首项为 a1,则有12= 378,解得 a1= 192,则 a2= 1922= 96(里 ).故选 C.11 -24.(2019 河北保定高三第二次模拟考试)等比数列 an 中,若 an 0,a2a4= 1,a1+a 2+a 3= 7,则公比 q= ()11A. 4B.2C.2D.4答案B解析设等比数列 an 的首项为a1,公比为 q,且 q 0.由题意可得3 ?24 = ?1?1= 1,2= 7,?1 + ?2 + ?3 = ?1 + ?+1?1解得 q= 1.故选 B .25.已知公比q1 的等比数列 an 的前 n 项和

19、为 Sn,a1= 1,S3 = 3a3,则 S5= ()3111A.1B.5C.48D.16答案D3解析由题意得?1(1-? )1211 -?= 3a q ,解得 q=- 2,q= 1(舍 ),51)5? (1 -? )1-( -11所以 S5=1=2= 16 ,故选 D .1- ?11 -(- 2)6.古代数学著作九章算术有如下问题:“今有蒲生一日 ,长三尺 ;莞生一日 ,长一尺 .蒲生日自半 ,莞生日自倍 .问几何日而长等?”意思是 :“今有蒲草第一天,长为 3 尺; 莞生长第一天 ,长为 1 尺 .以后蒲的生长长度逐天减半 ,莞的生长长度逐天加倍.问几天后蒲的长度与莞的长度相等?”以下给

20、出了问题的4 个解,其精确度最高的是(结果保留一位小数,参考数据 :lg 2 0.30,lg 30.48)()A.1 .3 日B.1.5 日C.2 .6 日D.3 .0 日答案C解析由题意可知蒲的长度是首项为3,公比为1的等比数列 ,莞的长度是首项为1,公比为 2 的等比数23(1 - 1)1( 1-2?lg2+lg3列,设 n 天后长度相等 ,由等比数列前n 项和公式有 :2?)1=1-2,解得 n= log26= lg2 2.6.故选 C.1 -27.在数列 a 中 ,a = 1,a=2a ,S为 a 的前 n 项和 ,若 S + 为等比数列 ,则 = ()n1n+ 1n nnnA. -1

21、B.1C.-2D.2答案B解析由题意 an nnnnn为等比数列 ,则 -1+= 0,即 = 1, 是等比数列 ,公比为 2, S = 2 -1,S + = 2 -1+, S + 故选 B .? + ? + ? = 26,8.已知递减的等比数列 an, 各项均为正数 ,且满足 1239则数列 an 的公比 q 的值为11113?+? +?=2 ,123()1123A. 2B.3C.3D.4答案B解析因为数列是等比数列,故得到11+?1?21=?2?3 + ?1?3 + ?1?2?1?2?3? +? ?+? ?232212=? ?123?+? +?13=312= 2 ,?13242化简得到 a1

22、a3= ? =,a2= .293由 a1+a 2+a 3=26=?2+a 2+a 2q? q+110? q=1.9=33?2log? +19.已知等比数列 an 的首项 a1 = 2,前 n 项和为 Sn,若 S5+ 4S3= 5S4,则数列 log2 ? 的最大项等于 ()2 ?-6319A. -11B. -5C. 3D.15答案D解析由已知得 S52log?+14?-14?-1的44 354nn-1= 22n- 12?,由函数 y=-S = 4(S -S )? a = 4a ? q= 4,a = 24,所以 log2?-6= 2?-72?-7?2log2? +1图象得到 ,当 n= 4 时

23、 ,数列 ?15.故选 D.log2? -6 的最大项等于?10.如图所示 ,正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形腰上再连接正方形, ,如此继续下去得到一个树形图形 ,称为 “勾股树 ”.若某勾股树含有 1 023 个正方形 ,且其最大的正方形的边长为22 ,则其最小正方形的边长为.答案132解析由题意 ,正方形的边长构成以2 为首项 ,以2 为公比的等比数列,现已知共得到1 023 个正方形 ,22则有1+ 2+ + 2n- 1= 1 023,则 n= 10,故最小正方形的边长为229=1.2232命题角度 4 等差、等比数列性质的应用高考真题体验 对方向1.(2016 全国 15)

24、设等比数列 an 满足 a1 +a 3= 10,a2 +a 4= 5,则 a1a2 an 的最大值为.答案64解析由已知 a1+a 3= 10,a2+a 4=a 1q+a 3q= 5,? +?10两式相除得13=5 ,?(? +?13 )解得 q= 1,a1= 8,2所以 a1a2 an= 8n(1)21+2+ + (?-1)-1 27?177= 22? +2 ,抛物线 f(n)=- 2n2+ 2n 的对称轴为 n=-21= 3.5,2( -2)1273又 nN * ,所以当 n= 3 或 4 时 ,a1a2 an 取最大值为 2- 23+ 2 =26= 64.2.(2015 广东 10)在等

25、差数列 an 中 ,若a3+a 4+a 5+a6+a 7 = 25,则a2+a 8=.答案10解析根据等差数列的性质,得 a3+a 4 +a 5+a 6+a 7= 5a5= 25,解得 a5 = 5.又 a2+a 8=2a5,所以 a2+a 8 =10.典题演练提能 刷高分1.在等差数列 a 中,前 n 项和 S满足 S -S = 45,则 a = ()nn7 25A.7B.9C.14D.18答案 B解析S7-S2=a 3 +a 4+a 5+a 6+a 7= 5a5= 45,所以 a5= 9,故选 B .2.(2019 东北三省三校高三第三次模拟)等比数列 an 的各项均为正数 ,a1= 1,

26、a1 +a 2+a 3= 7,则a3+a 4+a 5= ()A.14B.21C.28D.63答案C解析设等比数列的公比为q. a1= 1,a1+a 2+a 3= 7,a1(1+q+q 2)=1+q+q2= 7,即 q2+q- 6= 0,解得 q= 2或 q=- 3.又 an0, q= 2.a3+a4+a 5=q 2(a1+a 2+a 3)= 47= 28.故选 C.n568?- ?2 0162 0183.已知等比数列 a 中 ,a = 2,aa = 8,则?- ?=()2 0142 012A.2B.4C.6D.8答案A解析 数列 an 6 82 7 2? 是等比数列8,57=2,从而, a a

27、= ?=7a = 22(与 a 同号 ),q =?5?-?2 0182 016=q 4= (2)2=2.故选 A .?-?20142 012?4.(2019 吉林长春高三质量监测四)设 Sn 是各项均不为0 的等差数列 an 的前 n 项和 ,且 S13= 13S7,则?74等于()A.1B.3C.7D.13答案C解析因为 Sn是各项均不为n1370 的等差数列 a 的前 n 项和 ,且 S= 13S ,所以13 (?+?7(?+?113 )17 )7472= 132,即 a = 7a ,所以?= 7.故选 C.45.(2019 四川绵阳高三下学期第三次诊断性考试)已知 a 是正项等比数列 ,

28、且 a a = 4a ,a与 2a 的等n1 85 46差中项为 18,则 a5= ()A.2B.4C.8D.16答案 C解析设正项等比数列 an 的公比为q,且 q 0, a1a8= 4a5,a4 与 2a6 的等差中项为 18,274? = 4?, 11? + 2? = 36,462741? = 4?,?1 =,即 131解得 25?=?1(? + 2? ) = 36 ,2,则 a5=a 1q4=8.故选 C.6.已知等比数列 an 中 ,a2a5a8=- 8,S3=a 2+ 3a1,则 a1= ()11A. 2B. -221C.-9D.-9答案B解析3=- 8,a5 =- 2,因为 S3=a 2+ 3a1,所以 a1+a 2+a 3=a 2+ 3a1,所以 a3= 2a1,所以因为 a2a5a8=- 8,所以 ?5q2=