09 刚体力学基础1

1、2021-6-81 第第5章章 刚体力学基础刚体力学基础 （Rotation of Rigid Body about a Fixed Axis） 5.1 刚体的运动及描述刚体的运动及描述 5.2 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 5.3 转动惯量的计算转动惯量的计算 5.4 定轴转动中的功能关系定轴转动中的功能关系 2021-6-82 第第5章章 刚体力学基础刚体力学基础 （Rotation of Rigid Body about a Fixed Axis） 5.1 刚体的运动及描述刚体的运动及描述 5.1.1 刚体的自由度刚体的自由度 5.1.2 刚体运动的基本形式刚体运动的基本形式 5.1.3

2、 刚体定轴转动的运动学描述刚体定轴转动的运动学描述 2021-6-83 刚体刚体（rigid body）的定义的定义 刚体是受力时不改变形状和体积的物体。刚体是受力时不改变形状和体积的物体。 或说，或说，刚体是特殊的质点系，刚体是特殊的质点系，其上各质点间的相对其上各质点间的相对 位置保持不变。位置保持不变。 刚体是个理想化的模型。刚体是个理想化的模型。 质点系的规律都可用于刚体质点系的规律都可用于刚体，而且考虑到刚体的特而且考虑到刚体的特 点，规律的表示还可较一般的质点系有所简化。点，规律的表示还可较一般的质点系有所简化。 第第5章章 刚体力学基础刚体力学基础 2021-6-84 5.1 刚

3、体的运动及描述刚体的运动及描述 某一物体的某一物体的自由度自由度，就是确定该物体在空间的位置，就是确定该物体在空间的位置 所需要的独立坐标数，用所需要的独立坐标数，用 i 表示。表示。 5.1.1 刚体的自由度刚体的自由度(degree of freedom) 一个自由质点一个自由质点: 3个自由度个自由度 (x,y,z) 一个在曲面上运动的质点一个在曲面上运动的质点: f(x,y,z)=C2个自由度个自由度 一个在曲线上运动的质点一个在曲线上运动的质点: 11 Czyxf ),( 22 ( , , )fx y zC 1个自由度个自由度 2021-6-85 刚体：只要确定其三个点，即可确定其位

4、置。需刚体：只要确定其三个点，即可确定其位置。需9个变量。个变量。 但三个点的间距确定，实际上只需但三个点的间距确定，实际上只需6个变量。个变量。 刚体最大自由度刚体最大自由度6。 当刚体受到某些限制当刚体受到某些限制 自由度减少自由度减少 y z O i = 6 5.1.2 刚体运动的基本形式刚体运动的基本形式 1. 刚体的平动刚体的平动 刚体运动时，其内任意两点的连线始终保持方向不刚体运动时，其内任意两点的连线始终保持方向不 变，这种运动称为刚体的平动。变，这种运动称为刚体的平动。 平动是刚体的基本运动形式之一。平动是刚体的基本运动形式之一。 刚体做平动时，可用质心或其上任何一点的运动来刚

5、体做平动时，可用质心或其上任何一点的运动来 代表整体的运动。代表整体的运动。 （刚体平动最大自由度刚体平动最大自由度3） 2021-6-86 2. 刚体的转动（对点、对轴）刚体的转动（对点、对轴） 定轴转动：定轴转动：运动中各质元均做圆周运动，且各圆心运动中各质元均做圆周运动，且各圆心 都在同一条固定的直线（转轴）上。都在同一条固定的直线（转轴）上。 定点转动：定点转动：运动中刚体上只有一点固定不动，整个运动中刚体上只有一点固定不动，整个 刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动。刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动。 3. 刚体的刚体的一般运动：一般运动： 刚体不受任何限制的的任意运动。刚体不受任何限制

6、的的任意运动。 （本章重点讨论定轴转动）（本章重点讨论定轴转动） （自由度自由度1） （自由度自由度3） 对刚体对刚体： 平动平动 转动转动 轴轴:为确定其方位为确定其方位,有有,三个方位角三个方位角,但但 1 222 coscoscos 2个自由度个自由度 绕轴转过的角度绕轴转过的角度 1个自由度个自由度 共有共有6个自由度（个自由度（最大自由度最大自由度） 质心质心:3个自由度个自由度 2021-6-87 5.1.3 刚体定轴转动的运动学描述刚体定轴转动的运动学描述 1. 定轴转动的特点定轴转动的特点 O O 刚体刚体v 定定 轴轴 P 参考方向参考方向 z , r （1）轴固定轴固定不动

7、；不动； （2）所有质点均绕轴作圆周运动，）所有质点均绕轴作圆周运动， 任一质点圆周运动的平面叫任一质点圆周运动的平面叫转动平转动平 面面，它，它垂直于转轴垂直于转轴; （3）各点的矢径在相同的时间内转）各点的矢径在相同的时间内转 过的角度相同。过的角度相同。 2021-6-88 角坐标：角坐标： = （t） 角位移：角位移： 角速度：角速度： td d 角加速度：角加速度： 2 2 dd d d t t 刚体刚体匀角加速转动匀角加速转动的的运动学规律运动学规律 0 t 2. 角量的描述角量的描述 vr 2 n ar t ar 2 00 1 2 tt 22 00 2 ( () ) 转动平面转动

8、平面 2021-6-89 、 、 本来是矢量，由于在定轴转动中轴本来是矢量，由于在定轴转动中轴 的方位不变，故只有沿轴的正、负两个方向，可以用标的方位不变，故只有沿轴的正、负两个方向，可以用标 量代替。量代替。 3. 角速度矢量角速度矢量 方向方向：与转向成右手螺旋关系：与转向成右手螺旋关系 大小大小： d d t 2 2 dd d d t t vr 选定正方向选定正方向后后，可将矢量运算简化为代数运算。，可将矢量运算简化为代数运算。 O v 定定 轴轴 P z r 大小大小： d d t 方向方向：为正，与为正，与 同向；同向；为负，与为负，与 反向。反向。 2021-6-810 例例1.一

9、匀质圆盘由静止开始以恒角加速度绕过中心且一匀质圆盘由静止开始以恒角加速度绕过中心且盘盘 面的轴转动。某时刻转速为面的轴转动。某时刻转速为10rev/s,再转再转60圈，转速变为圈，转速变为 15rev/s.则由静止达到则由静止达到10rev/s所需时间所需时间t= .由静止由静止 到到10rev/s时圆盘所转圈数时圆盘所转圈数N=(1rev=2 rad) 解：（解：（1） 设设 ， ， 角位移角位移 为为 ， 角位移为角位移为 ，则，则 1 10/rev s 2 15/rev s 1 0 1 12 2 22 212 2 由由 22 21 2 2 22 2 (152 )(102 )25 (.)

10、2 60212 rad s 1 t 由由 1 10 2 9.6( ) 25 12 ts 2021-6-811 （2） 2 1 1 2 t 由由 2 1 1 2 48() 22 t Nrev 2 211 11 2 24 N 由由或：或： 2021-6-812 第第5章章 刚体力学基础刚体力学基础 （Rotation of Rigid Body about a Fixed Axis） 5.1 刚体的运动及描述刚体的运动及描述 5.2.1 外力矩及对转轴的分量外力矩及对转轴的分量 5.2.2 定轴转动刚体的角动量定轴转动刚体的角动量 5.2.3 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律 5.2 刚体的定轴转

11、动刚体的定轴转动 5.2.4 刚体定轴转动角动量定理和角动量守恒定律刚体定轴转动角动量定理和角动量守恒定律 2021-6-813 5.2.1 外力矩外力矩及对转轴的分量及对转轴的分量 5.2 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 Oi Fi z O roi ri riz ri Fi Fiz 质元质元 mi 受外力受外力 ， Fi io ii MrF 对轴上对轴上O点点 oiioiiz rFrF iiizi rFrF izii MrF i 大小大小： iiiiiiz FrFrM sin 方向方向：沿：沿z 轴，满足轴，满足 izii MrF 2021-6-814 所有外力所有外力 作用于定轴转动刚体上的

12、合外力矩的作用于定轴转动刚体上的合外力矩的z 向向 分量，即刚体分量，即刚体对转轴的合外力矩对转轴的合外力矩。 sin ziziii ii MMr F 5.2.2 定轴转动刚体的角动量定轴转动刚体的角动量（动量矩动量矩） 刚体上的一个质元，绕固定轴做刚体上的一个质元，绕固定轴做圆周运动圆周运动角动量为角动量为： iiii Lrm v 2 iiiiii Lrm vrm 所以刚体绕此轴（对转轴）的角动量为：所以刚体绕此轴（对转轴）的角动量为： 2 () iii ii LLm r JL LJ 矢量：矢量： 刚体对固定转动轴的角动量刚体对固定转动轴的角动量,等于它对该轴的转动等于它对该轴的转动 惯量和

13、角速度的乘积惯量和角速度的乘积。 2 ii i Jm r 刚体刚体对该轴对该轴 的的转动惯量转动惯量 (,) iiii rvvr 2021-6-815 5.2.3 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律 d d z z L M t 刚体定轴转动的动力学方程刚体定轴转动的动力学方程 d d z J M t 得：得： 0 d d J t 当当时时， d d z M = JJ t 由由 z LJ 则有：则有： M J 即即 刚体定轴转动的转动定律。刚体定轴转动的转动定律。 定轴转动，可不写角标定轴转动，可不写角标z， 1. 转动定律的推导：转动定律的推导： 2021-6-816 d d MJJ t 外外

14、2. 转动定律的内容：转动定律的内容： （1）转动刚体第一定律：）转动刚体第一定律： （2）转动刚体第二定律：）转动刚体第二定律： （比较：（比较：“牛二律牛二律”： ） d d v Fmam t 外外 一个可绕定轴转动的刚体，当一个可绕定轴转动的刚体，当合外力矩为零合外力矩为零时，将时，将 保持原有转动状态不变。即：保持原有转动状态不变。即： 刚体所受的对于刚体所受的对于某一固定转动轴某一固定转动轴的的合外力矩合外力矩等于刚等于刚 体体对此转轴对此转轴的的转动惯量转动惯量与刚体在与刚体在此合外力矩此合外力矩作用下所获作用下所获 得的得的角加速度角加速度的乘积。的乘积。 m 反映质点的反映质点

15、的平动惯性平动惯性，J 反映刚体的反映刚体的转动惯性。转动惯性。 0(0M 外外 当当时时） 2021-6-817 3. 刚体定轴转动定律的应用刚体定轴转动定律的应用 例例2. 一个质量为一个质量为、半径为、半径为的定的定 滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细 绳，绳的一端固定在滑轮边上，另绳，绳的一端固定在滑轮边上，另 一端挂一质量为一端挂一质量为m的物体而下垂。的物体而下垂。 忽略轴处摩擦，求物体忽略轴处摩擦，求物体m由静止下由静止下 落高度落高度h时的速度和此时滑轮的角时的速度和此时滑轮的角 速度。速度。 解解： :maTmgm 对对 MMTRJ 对对： N T

16、T mg mg T T a R m h 2 2 1 MRJ aR （见（见P133表表5-1） 2021-6-818 v R 2vah g M m m a 2 2 4 Mm mgh Mm mgh R 2 4 1 2021-6-819 例例3 .一轻绳跨过轴承光滑的定滑轮一轻绳跨过轴承光滑的定滑轮 ，绳端悬挂质量为，绳端悬挂质量为m1 、m2 的物体的物体 。m1m2，设滑轮的质量为，设滑轮的质量为m，半，半 径为径为R，绳子不能伸长，求物体的，绳子不能伸长，求物体的 加速度及绳中的张力。加速度及绳中的张力。 解：解： m2 R m1 11111 amgmTm ： 22222 amTgmm ：

17、牛顿第三定律：牛顿第三定律：, 11 TT 22 TT 列方程列方程 (向上为正向上为正) (向下为正向下为正) aaa 21 （绳绳不能伸长）不能伸长） 运动关系：运动关系： 对象：对象：m1 、 m2 、滑轮；、滑轮； 隔离隔离，画出，画出示力图示力图； 21 mT RT RJ ：- (顺时针为正顺时针为正) T0 T2 mg T1 m2g T2 a2 m1g a1T1 2021-6-820 方程组的解为方程组的解为： g mmm mm g R J mm mm a 2 1 )()( 12 12 212 12 g mmm mmm agmT 2 1 ) 2 1 2( )( 21 21 11 m

18、2g T T2 2 a2 2 m1g T T1 1 a1 1 amgmT 111 amTgm 222 21 T RT RJ - g mmm mmm agmT 2 1 ) 2 1 2( )( 21 12 22 T T0 0 T T2 2 mg T T1 1 aR 2 2 1 mRJ 2021-6-821 例例4.如图所示的阿特伍德机装置中，滑轮和绳子间没有如图所示的阿特伍德机装置中，滑轮和绳子间没有 滑动且绳子不可以伸长，轴与轮间有阻力矩滑动且绳子不可以伸长，轴与轮间有阻力矩,求滑轮两边求滑轮两边 绳子中的张力绳子中的张力。 m2 m1 m3 r m1g T1 a 解解: )1( 111 amT

19、gm m2g T2 a )2( 222 amgmT m3 r T1 T2 2 123 1 (3) 2 f TrT rMm r (4)ar T1=156N. T2=118N. a=2m/s2.解得：解得： T1=T1T2=T2 已知：已知：m1=20kg，m2=10kg. m3=5kg. r=0.2m.滑轮阻力矩滑轮阻力矩Mf=6.6Nm，J=m3r2/2. 2021-6-822 1. 力矩的力矩的冲量矩冲量矩 定义：冲量矩等于力矩乘以力矩所作用的时间。定义：冲量矩等于力矩乘以力矩所作用的时间。 力矩在力矩在 t1t2 内总冲量矩：内总冲量矩： SI制单位是制单位是Nms，与角动量的量纲相同。，

20、与角动量的量纲相同。 2. 刚体的刚体的角动量定理角动量定理 MJ 外外 2 1 d t t Mt d d J t d () d J t dMt 元冲量矩元冲量矩： （力矩对时间的积累效应力矩对时间的积累效应） d()d dd mvp F tt 外外 (比较比较： ） LJ d d L M t 外外微分形式微分形式 5.2.4 刚体定轴转动角动量定理和角动量守恒定律刚体定轴转动角动量定理和角动量守恒定律 2021-6-823 积分形式积分形式 22 11 dd tt tt MtL 外外21 LLL 转动物体所受的合外力矩的冲量矩等于在合外力矩转动物体所受的合外力矩的冲量矩等于在合外力矩 作用时

21、间内转动物体动量矩的增量。作用时间内转动物体动量矩的增量。 J改变时改变时, , 1122 JJL 12 JJL J不变时不变时, , 2. 刚体的刚体的角动量定理角动量定理 MJ 外外 d d J t d () d J t d()d dd mvp F tt 外外 (比较比较： ） LJ d d L M t 外外 微分形式微分形式 2021-6-824 3. 角动量守恒定律角动量守恒定律 .,0常常量量则则若若 LM t L M d d 由由 知：知： 对于刚体，如果它受的对于某一固定轴的合外力矩对于刚体，如果它受的对于某一固定轴的合外力矩 为零，则它对于这一固定轴的角动量保持不变。这一结为零

22、，则它对于这一固定轴的角动量保持不变。这一结 论叫做论叫做刚体对定轴的角动量守恒定律刚体对定轴的角动量守恒定律。 .const0 zz JM ，则则 外外 对刚体系，对刚体系，M外 外z = 0 时， 时，.const iiz J （1）对定轴刚体，）对定轴刚体，J为常量为常量，则，则 12 JJ （2）对）对非刚体非刚体，J 可变，则可变，则 1122 JJ （3）角动量守恒定律是自然界最普遍的客观规律。）角动量守恒定律是自然界最普遍的客观规律。 说明：说明： 12 2021-6-825 （4）应用举例）应用举例 茹可夫斯基凳、芭蕾舞、花样滑冰、跳水、体操等。茹可夫斯基凳、芭蕾舞、花样滑冰、

23、跳水、体操等。 两臂伸开两臂伸开J变大变大变小变小 两臂收回两臂收回J变小变小变大变大 恒恒量量 J 滑冰运动员的旋转滑冰运动员的旋转 2021-6-826 刚体组角动量守恒刚体组角动量守恒 演示演示：角动量守恒：角动量守恒 如：直升机、陀螺（回转仪）的定轴性等。如：直升机、陀螺（回转仪）的定轴性等。 若刚体由几部分组成，且都绕同一轴转动。若刚体由几部分组成，且都绕同一轴转动。 const. iii ii LJ 这时角动量可在刚体组内部传递。这时角动量可在刚体组内部传递。 2021-6-827 例例5. 一根长一根长 l ，质量，质量 M 的均匀直棒，其一端的均匀直棒，其一端 挂在一个光滑的水平轴上而静止处于竖直位置。挂在一个光滑的水平轴上而静止处于竖直位置。 今有一子弹质量为今有一子弹质量为m ，以水平速度以水平速度v0 射入棒的射入棒的 末端而不复出。求棒和子弹开始一起运动时的末端而不复出。求棒和子弹开始一起运动时的 角速度角速度 。 解解： 系统（系统（棒棒+子弹子弹），在），在碰撞过程碰撞过程中，中，合合 外力矩为外力矩为0，其角动量守恒。，其角动量守恒。 棒棒子子弹弹末末子子弹弹初初 LLL vl 0 3 (3) m v Mml 2 0 1 3 mv lmvlMl