2019版高考数学(文科)一轮复习通用版：第六单元解三角形1

1、2 2 22 2 22 2 22 2 22 2 22 2 22 2 222 2 22 2 22 2 2第六单元 解三角形教材复习课 “解三角形”相关基础知识一课过正弦定理、余弦定理过双基1正弦定理a b c 2r ，其中 r 是三角形外接圆的半径sina sinb sinc由正弦定理可以变形：(1) abcsin_a sin_b sin_c ；(2) a2r sina ，b2r sinb ，c2r sinc .2余弦定理a b c 2bccos_a ，b a c 2accosb ，c a b 2abcos_c .b c a a c b a b c余弦定理可以变形：cosa ，cosb ，cos

2、c .2bc 2ac 2ab小题速通1设abc 的内角 a ，b ，c 的对边分别为 a，b，c.若 a2，c2 3，cosa 32，且 bc，则 b( )a 3c 2解析：选 c b2.b 2 2d. 3由 a b c 2bccos a ，得 4b 126b，解得 b2 或 4，bc，2在abc 中，角 a ，b ，c 的对边分别为 a，b，c，若 b c a bc，则角 a 的大 小为( )a 30c 120 解析：选 bb 60d 150由余弦定理可得 b c a 2bccosa ，又因为 b c a bc，所以 cos1a ，则 a 60.23 在abc 中，角 a ，b ，c 的对边

3、分别为 a，b，c，若 asina bsinb csinc ， abc 的形状是( )2 2 222 22 2 22 2 2 2 2 2a 锐角三角形 c 钝角三角形b 直角三角形 d 不确定解析：选 ca b c根据正弦定理可得 a b c .由余弦定理得 cosc 0 ，所以角2abc 是钝角，故选 c.4(2018郑州质量预测)已知 a，b，c 分别为abc 三个内角 a ，b ，c 的对边，且(b c)(sinb sinc )(a 3c)sina ，则角 b 的大小为( )a 30c 60解析：选 ab 45d 120由正弦定理及(bc)(sinb sin c )(a 3c)sin a

4、 ，得(bc)(bc)(aa c b 3c)a，即 b c a 3ac，所以 a c b 3ac，又因为 cos b ，所以2accosb 3，所以 b 30. 25在abc 中，角 a ，b ，c 的对边分别为 a，b，c，已知 bcosc 3bsinc a0， 则 b _.解析：由正弦定理可得 sinb cos c 3sinb sinc sina sin(b c )sinb cos c sinc cosb ，则 3sinb sinc sinc cosb ，又 sinc 0，所以 tan b 33，则 b 30.答案：30清易错1 由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时

5、易忽视解的判 断2 利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制1在abc 中，若 a18，b24，a 45，则此三角形解的情况是( )a 无解c 一解b 两解 d 不确定a b解析：选 b ，sina sinbb 24 2 2sinb sina sin 45 .a 18 3又ab，b 有两个解，即此三角形有两解1 1 设abc 的内角 a ，b ，c 的对边分别为 a，b，c.若 a 3，sinb ，c ，则 b2 6_.2 2 2 2 2 21解析：在abc 中，sinb ，0b ，2 5b 或 b .6 6又b c 1.角 b 不存在，即满足条件的三角形不存在13

6、在abc 中，内角 a ，b ，c 的对边分别为 a，b，c，若 c2a，b4，cos b .4则 c 的值为( )a 4c 5b 2d 61解析：选 a c2a，b4，cosb ，4由余弦定理得 b a c 2accosb ，1 1即 16 c c c c ，4 4解得 c4.4已知abc 中，内角 a ，b ，c 所对边分别为 a，b，c，若 a ，b2acosb ，c31，则abc 的面积等于( )a.c.3236b.d.3438解析：选 b由正弦定理得 sinb 2sina cosb ， 故 tan b 2sina 2sin 3，又 b (0，)，所以 b ，3 3又 a b ，则ab

7、c 是正三角形，322 22 2 2222222222 2 22 21 1 3 3所以 s bcsina 11 .abc 2 2 2 45(2018湖南四校联考)在abc 中，角 a ，b ，c 所对的边分别为 a，b，c，若(a b c )tanc ab，则角 c 的大小为( ) 5a. 或6 6c.6解析：选 a 2b. 或3 32d.3a b c 1 cosc 由题意知， cosc ，2ab 2tan c 2sinc1 5sinc ，又 c (0，)，c 或 .2 6 66已知 a ，b 两地间的距离为 10 km ，b ，c 两地间的距离为 20 km ，现测得abc 120，则 a

8、，c 两地间的距离为( )a 10 kmc 10 5 km 解析：选 db 10 3 kmd 10 7 km如图所示，由余弦定理可得， ac 10040021020cos 120700，ac 10 7(km) 7(2018贵州质检)在abc 中，内角 a ，b ，c 所对的边分别是 a，b，c，若 c (a b) 6，c ，则abc 的面积是( )3a 33 3c.2解析：选 c c (ab) 6，9 3b.2d 3 3c ab2ab6. c ，c a b 2abcos a b ab.3 3由得ab60，即 ab6.1 1 3 3 3s absinc 6 .abc 2 2 2 28一艘海轮从

9、a 处出发，以每小时 40 n mile的速度沿南偏东 40的方向直线航行，30 分钟后到达 b 处，在 c 处有一座灯塔，海轮在 a 处观察灯塔，其方向是南偏东 70，在 b 处观察灯塔，其方向是北偏东 65，那么 b ，c 两点间的距离是( )a 10 2 n milec 20 3 n mileb 10 3 n miled 20 2 n mile2 2 2422222 22 22解析：选 a画出示意图如图所示，易知，在abc 中，ab 20，bc abcab 30，acb 45，根据正弦定理得 ，解得 bcsin 30sin 4510 2.故 b ，c 两点间的距离是 10 2 n mil

10、e.二、填空题19在abc 中，角 a ，b ，c 所对的边分别为 a，b，c，且 a2，cosc ，3sina42sinb ，则 c_.解析：因为 3sin a 2sin b ，所以由正弦定理可得 3a2b，则 b3，由余弦定理可得1c a b 2abcosc 49223 16，则 c4.答案：410在abc 中，角 a ，b ，c 所对的边分别为 a，b，c.若角 a ，b ，c 成等差数列， 且边 a，b，c 成等比数列，则abc 的形状为_解析：在abc 中，角 a ，b ，c 成等差数列，2b a c ，由三角形内角和定理，可得 b ，3又边 a，b，c 成等比数列，b ac，由余弦

11、定理可得 bac 2accosb ，aca c ac，即 a c 2ac0，故(ac) 0，可得 ac，所以abc 的形状为等边三角形答案：等边三角形11已知abc 中，角 a ，b ，c 所对的边分别为 a，b，c，且 ax，b2，b 45， 若三角形有两解，则 x 的取值范围为_解析：由 ac b2，要使三角形有两解，就是要使以 c 为圆心，以 2 为半径的圆与 ab 有两个交点，当 a 90时，圆与 ab 相切，只有一解；当 a 45时，交于 b 点，也就是只有一解，所以要使三角形有两解，需满足45a 90，即2sina 1 ，由正弦定理可得 2axbsinasinb2 2sina ，所

12、以 2xb，3a5，c6，sinb .5(1)求 b 和 sina 的值；(2)求 sin 2a 的值解 (1)在abc 中，因为 ab，3 4故由 sinb ，可得 cosb .5 5由已知及余弦定理，得 b a c 2accosb 13，所以 b 13.a b asinb 3 13由正弦定理 ，得 sina .sina sinb b 133 13所以 b 的值为 13，sina 的值为 .132 13(2)由(1)及 ac，得 cosa ，1312所以 sin a2 2sina cosa ，1324 4 4 2 13 13 262 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2cos 2a 12

13、sin a 5.13 2 12 5 7 2故 sin 2a sin a2 cos cos 2a sin .方法技巧应用正、余弦定理的解题策略(1) 解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式 子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑 两个定理都有可能用到(2) 三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已 知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大 角定理进行判断即时演练1(2017山东高考)在abc 中，角 a ，b ，c 的对边分别为 a，b，c.若abc 为

14、锐角 三角形，且满足 sinb (12cosc )2sina cosc cosa sinc ，则下列等式成立的是( )a a2bc a 2b 解析：选 ab b2ad b 2a由题意可知 sinb 2sinb cos c sina cos c sin(a c )，即 2sinb cos csina cosc ，又 cosc 0，故 2sinb sina ，由正弦定理可知 a2b.2(2017全国卷 abc 的内角 a ，b ，c 的对边分别为 a，b，c，若 2bcosb acosc ccosa ，则 b _.解析：法一：由 2bcosb acosc ccosa 及正弦定理，得2sinb co

15、sb sina cosc sinc cosa sin(a c )sinb 0，1因此 cosb .2又 0b ，所以 b .3法二：由 2bcosb acosc ccosa 及余弦定理，得a c b a b c b c a2b a c ，2ac 2ab 2bc整理得，a c b ac，1所以 2accosb ac0，cosb .2又 0b ，所以 b .3答案：3222 222典例 在abc 中，“(a2 22 2b22223.(2018成都二诊)如图，在平面四边形 abcd 中，已知 a ，22b ，ab 6.在 ab 边上取点 e ，使得 be 1，连接 ec ，ed . 32若ced ，

16、ec 7.3(1) 求 sinbce 的值；(2) 求 cd 的长be ce解：(1)在bec 中，由正弦定理，知 .sinbce sinbb 2，be 1，ce 7， 33be sinb 2 21sinbce .ce 7 14(2) ced b 2， dea bce ， cos dea 1sindea 31sin bce 3 5 71 .28 14a ，aed 为直角三角形，又 ae 5，2ae 5ed 2 7.cosdea 5 7141在ced 中，cd ce de 2ce de cosced 7282 72 7 49.cd 7.利用正、余弦定理判断三角形形状要判断三角形的形状，应围绕三角

17、形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、 等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与 “等腰三角形或直角三角形”的区别.依据已知条件中的边角关系判断时，主要有如下两条途径：1 角化边； 2 边化角.b )sin(a b )(a b )sin(a b )”，试判断三角形的形状解 (a2 2)sin(a b )(ab)sin(a b )，b2sin(a b)sin(a b)a2sin(a b)sin(a b)，2sina cosb b 2cosa sinb a ，2222 2 22 2 2222 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 22 22 2 2

18、222即 a2cosa sinb bsina cos b.法一：用“边化角”解题由正弦定理得 a2r sina ，b2r sinb ，sina cosa sinb sinb sina cosb ，又 sina sinb 0，sina cosa sinb cosb ， sin a2 sin b2 .在abc 中，02a 2，02b 2，2a 2b 或 2a 2b ，a b 或 a b .2abc 为等腰三角形或直角三角形 法二：用“角化边”解题由正弦定理、余弦定理得：b c a a c ba b b a ，2bc 2aca (b c a )b (a c b )，(a b )(a b c )0，a b 0 或 a b c 0.即 ab 或 abc.abc 为等腰三角形或直角三角形方法技巧判断三角形形状的 2 种方法(1)“边化角”利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数 恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用 a b c 这 个结论(2)“角化边”利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边 的相应关系，从而判断三角形的形状提醒 在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以 免漏解即时演练1设abc 的内角 a ，b ，c 所对的边分别为