高中数学函数单调性教案

1、1课题：1.3.1 函数的单调性肥东县城关中学马亚东教学目的：（1） 通过已学过的函数，学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（2） 理解函数的单调性的定义及单调函数的图象特征；（3） 能够熟练应用定义判断函数在某一区间上的的单调性；（4） 通过本节知识的学习，培养学生严密的逻辑思维能力，用运动变化、数形结合、分类讨 论的思想方法去分析和处理问题，以提高学生的思维品质；同时让学生体验数学的艺术 美，养成用辨证唯物主义的观点看待问题.教学重点： 函数单调性的定义及单调函数的图象特征教学难点： 利用函数的单调性的定义判断或证明函数的单调性教法与学法： 启发式教学，充分发挥学生的主体作用教学用具：

2、黑板、计算机多媒体教学过程：一情景引入：德国着名心理学家艾宾浩斯的研究数据：时间间隔 刚刚记忆完毕 20 分钟之后 1 小时之后8-9 小时之后 1 天后2 天后6 天后记忆保持量 100%58.2%44.2%35.8%33.7%27.8%25.4%10080604020记忆保持量 （百分数）一个月后21.1%0 1 2 3 4 5 6天数 将表中数据绘制在坐标系中连出草图，这就是着名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线 . 观察这条 曲线，你能得出什么规律呢？（学生回答）这是一条衰减曲线，随着时间的推移，记忆的保持量逐渐减小. 第一天遗忘的速度最快， 一天之后遗忘的速度趋于缓慢 . 这一规律就提醒我们：在

3、学习新知识的时候，一定要及时进 行复习和巩固，以便加深理解和记忆.象这样，在生活中，我们关心很多数据的变化，了解这些数据的变化规律，对我们的生 活是很有帮助的 . 观察数据的方法往往是看：随着自变量的变化，函数值是如何变化的 . 这 就是我们今天要研究的函数的单调性.二学习新课：观察以下几幅图,你能发现图象在升降上有什么特点吗? （学生回答）(1) f ( x) =x y(2)f ( x ) =x y42（1）函数 f ( x) =x 的图象从左到右上升,即当 x 增大时 f ( x) 随着增大,所以称函数 f ( x ) =x 在xox-2-1 0 1 2,121212x x1 22o-1r

4、 上是增函数.（2）函数f ( x) =x2在对称轴 y 轴的左侧下降、右侧上升，即在区间(-,0上当 x 增大时f ( x) 随着减小，在区间（ 0,+)上当 x 增大时 f ( x) 随着增大 . 所以称函数f ( x )= x2在(-,0 上是减函数，在（0,+)上是增函数.那么如何用数学语言来描述增函数与减函数呢？考 察 函 数f ( x) =x2在 （ 0,+ ) 上 任 取 x x 则1 2f ( x ) =x 1 12， f ( x ) =x 2 22， 对 任 意0 x x ，都有 x 2 x 2 ，所以在区间（ 0,+)上，对任意 x x ,都有 f ( x ) f ( x

5、)1 2 1 2，即f ( x) =x2在（0,+)上, 当 x 增大时, 函数值f ( x)相应地随着增大.这与观察图象所得结果是一致的. 所以f ( x) =x2在区间（0,+)上是增函数.由此归纳出增函数的定义，类似地得出减函数的定义（学生讨论、回答）. 定义：一般地，设函数 f(x)的定义域为 i:如果对于定义域 i 内某个区间 d 上的任意两个自变量的值 x 、x ，当1 2f ( x ) f ( x2 ) ，那么就说函数 f(x)在区间 d 上是减函数.分析定义可得：x x1 2x x1 2时，都有时，都有（1） 增函数的图象从左到右上升，减函数的图象从左到右下降.（1） x 、x

6、 的三大特征：属于同一区间；任意性； 有大小：通常规定 x x 1 2 1 2根据图像判断：函数f ( x ) =1x在(-,0)和(0，+)上都是减函数.问：能否说函数f ( x ) =1x在区间(-,0)(0，+)上也是减函数？答：不能. 因为不是对任意的 x 、x ，当1 2反例如：11，1f(-1)f ( x )1 2.如果函数f ( x ) =1x在区间d上是增函数或减函数，那么就说函数 y = f ( x) )在区间d上具有(严格的)单调性，区间d叫做函数 f(x)的单调区间.三概念应用：例 1如图是定义在闭区间-5，5 上的函数 y=f(x)的图象， 根据图象说出函数的单调区间，

7、以及在每一单调区间上， 函数是增函数还是减函数？（学生活动）32y = f(x)解：函数 y = f ( x ) 的单调区间有-5,-2),-2,1),1,3),3,5.-3 -2 -1-5 -4 1其中 y = f ( x ) 在区间-5, -2）,1，3)上是减函数；-2在区间-2，1)，3，5上是增函数.3 4 5x注意：（1）在书写时区间与区间之间用逗号隔开，不能用集合中的“”连接.1 21 2设值4（2）因为孤立的点没有单调性，所以区间端点处若有定义写开写闭均可.例2证明函数 f ( x) =-x2+1 在（0，+）是单调减函数.（学生分组讨论、分别演板展示）证明：设 x 、x 是（

8、0，+）上任意两个值，且 则 f ( x ) -f (x)=(-x2+1)-(-x2+1)1 2 1 2x 0,1 2函数 f ( x ) =-x2定号即 f ( x ) f ( x )1 2+1 在（0，+）上是单调减函数.下结论总结证明函数单调性的步骤：1.设值:设任意 x 、x 属于给定区间，且 x x ；1 22.作差变形:差 f ( x ) -f ( x ) 变形的常用方法有:因式分解、配方、有理化等；1 23.定号:确定 f ( x ) -f ( x ) 的正负；1 24.下结论:由定义得出函数的单调性.四、课堂小结1.描述函数单调性的三种方法:图形语言、自然语言、符号语言2.函数单调性定义中的几个关键词:定义域内某个区间 任意 都有3.研究函数性质的常用方法:观察图象猜想性质数学化结论数学严格证明4.图象法判断函数的单调性：增函数的图象从左到右上升，减函