倍数与因数奥数测试题

1、一、教学方针：（1）认识自然数、整数、倍数、因数；（2）认识奇数和双数，掌握 2，3，5 的倍数的特征。（3）在 1-100 中，能找出 10 以内某个自然数的所有倍数；能找出 10 以内两个自然数的公倍 数和最小公倍数。（4）在 1-100 中，能找出某个自然数的所有因数； 能找出两个自然数的公因数和最大公因数。（5）利用公倍数和公因数的有关知识解决生活中的实际问题。二、根蒂根基知识讲解：自然数 a 除以自然数 b（0 除外），除得的商是整数而没有余数，我们就说a 能被 b整除，或者说 b 能整除 a。要是 a 能被 b 整除， a 叫做 b 的倍数， b 叫做 a 的因数。能被 2，3，5

2、 整除的数的特征：2 的倍数特征：个位是 0，2，4，6，8 的数5 的倍数特征：个位是 0，5 的数3或 9的倍数特征：各个数位上的数码之和能被 3或 9 整除。4或 25的倍数特征：末两位数能被 4或 25整除。8或 125 的倍数特征：末三位数能被 8或 125 整除。11 的倍数的特征：奇数位的数码之和与双数位上的数码之和的差是 11 的倍数。 奇数与双数：能被 2 整除的数叫双数，不能被 2 整除的数叫奇数。质数与合数：一个数除了 1 和它本身以外，没有其它的因数，这个数叫做质数（素数） 。一 个数除了 1 和它本身外，另有另外因数，这个数叫做合数。 1 既不是质数，也不是合数。 把

3、一个合数写成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。最大公因数与最小公倍数：一般情况用短除法求。 特殊情况：倍数瓜葛： （ m ， n ）=m m ，n=n （n是 m 的倍数） 互质瓜葛：（ m， n） =1 m ， n=mn3、经典例题：例 1：下列哪些式子是整除式？（1 ） 8.8 1.1=8 （2）13010=13 （3）297=41 （ 4）145=2.4 分析与解：根据整除的定义，被除数和除数必需是整数， 商是整数而没有余数才叫整除，因 此只有（ 2）式才是整除式。例 2：写出 24 的因数和倍数。 分析与解：因为 124=24 2 12=24 3 8=24 4 6=24 所以 24

4、的因数有： 1，2，3，4，6，8，12，24 因为 241=24 ，242=48 ，243=72 ，244=96 所以 24 的倍数有 24，48，72，96 例 3：一个数万位上是最小的合数，百位上是最大的一位数，个位上是最小的质数，百分位 上的数既不是质数也不是合数，其余数位的数码是零，这个数是多少？ 分析与解：最小的合数是 4，最大的一位数是 9，最小的质数是 2，既不是质数也不是合数 的数是 1。所以这个数是 40902.01 。例 4：1 路汽车每隔 3 分钟发一次车， 3 路汽车每隔 5 分钟发一次车。这两路车同时发车后， 至少再过多少分钟后又同时发车？分析与解： 1 路汽车每隔

5、 3 分钟发一次车，就是指发车时间是3 的倍数， 3 路汽车每隔 5 分钟发一次车，就是指发车时间是 5的倍数。至少再过多少分钟又同时发车一次，只要求是 3 和 5 的最小公倍数便可。3， 5=15 。答：至少再过 15 分钟后又同时发车。例 5 ：小明想把一张长 36 厘米，宽 24 厘米的白纸折出一些尽可能大的正方， 最后没有多余， 请问这些正方的边长是多少？一共可以折出多少个正方？ 分析与解：要想使最后没有多余，那么正方的边长必需是 36 的因数，也必需是 24 的因数， 这些因数里最大的一个就是正方的边长。（36 ，24 ）=1236 12=324 12=232=6 答：这些正方的边长

6、是 12 厘米，一共可以折出六个正方。例 6 ：为庆六一，六年级同学买来 336 枝红花， 252 枝黄花， 210 枝粉花，用这些花可以扎 成每束最多多少束同样的花？在每束花中，红、黄、粉三种花共有几枝？ 分析与解：要使每一束花的花束最多，并且没有剩余，就是求每束花的最大公因数。（336 ， 252 ， 210） =42336 42=8252 42=6210 42=58+6+5=19 （支）答：这些花可以扎成每束最多 42 束同样的花，在每束花中，红、黄、粉三种花共有 19 支。4、数学思惟方法总结：在实际应用时 ,怎样区分是求最大公因数还是求最小公倍数,成为很多学生的难题 .其实 ,可以把

7、问题模型化 , 画一些简单的示意图就可解决.例如把一个长方形裁成若干个边长最大的正方, 动手一画 , 就发现是要求长与宽的最大公因数 .把若干个长方形拼成一个边长最小的正方,动手一画 ,就发现是要求长与宽的最小公倍数 .5、设计构想： 的知识点相当多 , 概念特别容易混合 , 建议同学们把这部分知识收拾整顿成知 识树 ,理清它们的区分与联系。本单元的题型也很多，通过各类各样的题型练习，同学们可 以学会怎样审题，找到具体问题与实际知识点之间的联系。六、巩固练习： 一、写一个能同时被 4 和 25 整除的最小五位数。分析与提示： 4 和 25 是互质数，同时能被 4 和 25 整除的数一定是 10

8、0 的倍数，这个最小 五位数是 10000 。二、在机床上有甲、乙两个齿轮相互咬合，甲齿轮有 28 个齿，乙齿轮有 42 个齿，当这两 个齿轮第二次咬应时，乙齿轮转了几圈？分析与提示： 28 ，42=8484 42=2 答：乙齿轮转了 2 圈。3、（ 1）A和B都是自然数，若 AB=10 ，那么 A与 B的最大公因数是（ ）， 最小公倍数是（ ）。（2）若 A=3 257 B=35211 ，则 A 和 B的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。 分析与提示： （1）A和 B是倍数瓜葛时，且 A大于 B，A与B的最大公因数是 B，最小公倍 数是 A 。2）A 和 B 的最大公因数是 325=3

9、0 ，最小公倍数是 325711=2310 。4、有两个数，它们的最大公因数是15，最小公倍数是 225 ，其中一个数是 45，另一个数是多少？分析与提示： 两个数的积等于这两个数的最大公因数乘以这两个数的最小公倍数。 所以另一 个数是 15225 45=75 。5、有两个数，其中的一个数是另一个数的，已经知它们的最小公倍数是54 ，那么这两个数的最大公因数是多少？分析与提示：将 “其中的一个数是另一个数的 ”这句话进行转化得： “另一个数是这个数的 3 倍”，可发现，当两个数是倍数瓜葛时，它们的最小公倍数就是较大的那个数，所以这两个 数分别是 54 和 18 ，它们的最大公因数是 18。六、

10、长和宽为自然数，平面或物体表面的大为 105 的形状不同的长方形共有多少种？ 分析与提示：因为 105=1 105=3 35=5 21=7 15 可把每一组数据当做长方形的长和宽，故有 5 种。7、一个长方形的平面或物体表面的大是 240 平方厘米，长和宽是相邻的两个自然数，这个 长方形的周长是多少厘米？分析与提示： 240=15 16 ，所以这个长方形的周长是（ 15+16 ） 2=62 厘米。8、把 14、 33、六、 55、 35、 49 这六个数均等分成两组，使这两组数各自的积相称。 分析与提示：先把这六个数分解质因数：14=2 733=3 116=2 355=5 1135=5 749

11、=7 7在这六个因式中，共有 2 个2，2个 3，2 个 5，2个 11，4 个7。所以这两组只能是 49，6，55 和 14，35 ，33。 二、数学能力的拓展与提高。一、数学思维方法的讲解。（1 ）在求公倍数时，每 3 天去一次与每隔 3 天去一次并纷歧样，要注意区分。 （2）求一个数的因数有多少个，有一个公式，请同学们掌握，同时可以用来检验找因数时 是否有遗漏的情况。二、数学思维方法的应用。例 1：若 A=32 5475 ，那么 A 有多少个因数？分析与解： A 的因数含有因数 3 的有 3 种情况，含有因数 5 的有 5 种情况，含有因数的有 6 种情况，搭配起来，共有 3 56=90

12、 种情况。答：A有90 个因数。 由上题我们可发现求因数个数的计算方法： 若 A 分解因式的结果是：A=am bn cp那么 A的因数有（ m+1 ）（n+1）（p+1 ）个。例 2：有 0，1， 5，7，6 五张卡片，从中选出四张组成一个四位数，使得这个数能被2 整除，又能被 3 整除，这个数最大是多少？分析与解：先选择较大的数。若选择7 ，6，5 ，1 四个数，不管组成的数是多少，都不能被3 整除，故选择 7，6，5，0 四个数码，这个数最大是 7650 ，它既能被 2 整除，又能被 3 整除。例 3：六年级 72 名学生共捐款（ ） 85.9 （）元，若每人捐款的数量两样多，请你猜测每人

13、 捐了多少钱？分析与解：因为 72=8 9，8 和9 互质，所以（ ）859（ ）这个数一定是 8和 9的倍数。 若是 8 的倍数，那么 59 （ ）一 定是 8 的倍数，只有 592 是 8 的倍数。若是 9 的倍数， 8+5+9+2=24 ，只有 24+3=27 ，所以这个数只能是 38592 。 385.92 72=5.36（ 元 ）答: 可猜测出每人捐人 5.36 元。例 4 ：某班学生人数在 40 与 50 之间。要是分成 6 人一组，那么有一个小组少 4 人；要是 分成 8 个人一组，那么有 4 个小组各多一人。求这个班的人数。分析与解：先假设这个班的人恰好可分成 6 人一组，也恰

14、好可分成 8 人一组，那么这个班 的人数就是 8 和 6 的公倍数，在 40-50 之间的数满足这个条件的只有 48 ，尝试一下： 48-4=4444 8=5 4 满足条件。答：这个班的人数是 44 人。例 5 ：从学校到少年宫的路上， 一共有 37 根电线杆， 原来每 2 根电线杆之间相距 50 米，现 在要改成每 2 根之间相距 60 米，除两端的 2 根不需移动外，中间另有多少根不必移动？ 分析与解：先求出学校到少年宫的旅程：（37-1 ） 50=1800 （米）50 ， 60=300所以第 300 米、600 米、900 米、 1200 米、 1500 米处的电线杆不必移动。 答：中间

15、有 5 根不需要移动。3、巩固练习：一、一个最简分数，分子、分母的和是50 ，要是把这个分数的分子、分母都减去5，所得分数的值是，原来的分数是（ ）。A、 B、 C、 D、分析与提示：原来分数的分子与分母的和是 50 ，把这个分数的分子和分母都减去 5 后，现 在分子与分母的和是 40，分数的值是，现在分数的分子是 405 2=16 ，分母是 24，原来 的分数是，故选择 B。二、警察查找一辆肇事汽车商标（四位数） ，一位目击者对数码很敏感。他提供说： “第一位 数码最小，最后两位数是最大的两位双数，前两位数码的乘积的 4 倍刚好比后两位数少 2 。 “你能帮警察叔叔猜出这个车商标吗？分析与提

16、示：最大的两位双数是 98，倒推法得到前两位数是（ 98-2 ）4=24 。所以这个车 商标码是 2498 。3、一个能被 2 和 3 同时整除的四位数，它的千位上的数既然奇数又是合数，它的百位上的 数不是质数也不是合数，它的十位上的数是最小的质数，个位上的数是多少？ 分析与提示：千位上的数是 9，百位上的数是 1 ，十位上数是 2 ，同时又因为这个四位数能 同时能被 2和 3整除，所以个位上的数可能是 0 或6。4、一筐苹果不超过 250 个，3 个 3 个地数， 5个 5 个地数， 7 个 7 个地数恰好数完。这筐 苹果最多有多少个？分析与提示：这筐苹果绝对是 3的倍数， 5 的倍数， 7

17、的倍数。 3 ， 5， 7=105 ，在 250 以 内，这堆苹果最多有 210 个。5、商店里有 6 箱货物，分别重 16，17，18，19 ，20，31 千克，两个顾客买走了其中的 5箱。已经知一个顾客买的货物的质量是另一个顾客的 2 倍。问：商店里剩下的 1 箱货物重 多少千克？分析与提示：这 6 箱货物共重 16+17+18+19+20+31=121 千克，因为一个顾客的货物是 另一个顾客的 2 倍，这两个顾客买走了其中的 5 箱货物总重一定是 3 的倍数，只有 121-16=105 ，121-19=102 ， 121-31=90 满足条件。105 3=35 35=17+18 满足要求

18、；102 3=34 34=16+18 满足要求；90 3=30 不满足要求；答：商店里剩下的 1 箱货物重 16 千克或 19 千克。六、甲每秒跑 3 米，乙每秒跑 4 米，丙每秒跑 2 米，三人沿 600 米的环形跑道从同一点儿 同时同向跑步，经过多少时间三人又同时从出发点出发？分析与提示：甲跑一圈需要时间： 6003=200 （秒）乙跑一圈需要时间： 6004=150 （秒）丙跑一圈需要时间： 6002=300 （秒）200 ，150 ，300=600答：经过 600 秒三人又同时从出发点出发。7、500 位同学站成一排，从左到右数 “1，2，3”报数，凡报到 1 和 2 的离队，报 3

19、的留下， 向左看齐再重复同样的报数过程， 如此进行了若干次后， 只有两位同学了， 这两位同学在开 始的队伍中位于从左到右的第几个？分析与提示：首届报数留下的人是3，6，9，12，恰好是 3 的倍数。第二次报数留下的人是 第三次报数留下的人是 第四次报数留下的人是 第五次报数留下的人是9，18，27，恰好是 9 的倍数。 27，54 ，81，恰好是 27 的倍数。 81，162 ， 243，恰好是 81 的倍数。243 ，486 号同学。答：这两位同学在开始的队伍中位于从左到右的第 243 号和第 486 号。三、数学思维训练。一、经典例题：例 1：在六位数 568的方框中填入三个数码，使这个六

20、位数能被3， 4， 5 整除。求满足条件的最小的六位数。分析与解：设六位数为 568ABC ，因为六位数分别是 3，4，5 的倍数，所以： （1） 5+6+8+A+B+C=19+A+B+C是 3 的倍数，即 A+B+C 被 3 除余 2。（2） BC 是 4 的倍数。（3） C=0 或 5。由此可知， C=0 ，且 B 是 0， 2， 4，6， 8 之一。由于要求最小的六位数，所以 A 从最小数开始实验，有 A=0 、 B=2 时满足条件。所以所求 的六位数为 568020 。例 2 ：已经知七位数 92AB427 能被 99 整除，求这个七位数。分析与解：因为 99=9 11，且 9和 11

21、 互质，所以所求的七位数要能被 9和 11 整除。有： （1） 9+2+4+2+7+A+B=24+A+B是 9 的倍数，得：A+B=3 或 A+B=12（2）9+4+7+A- （ 2+2+B ） =16+A-B 是11 的倍数，得：A-B=6 或 B-A=5 ，对比条件可知，只有当 A+B=12 ， A-B=6 时，A、B 有解：A=9 ， B=3 因此所要求的数是： 9293427例 3：把一张长 1米 3分米 5厘米、宽 1米 5厘米的纸裁成同样巨细的正方纸块， 而没有剩 余，问能裁成最大的正方纸块的边长是多少？共可裁成几块？ 分析与解：要把长方形的纸裁成同样巨细的正方纸块， 还不能剩余，

22、这个正方纸块的边长应 该是长方形的长和宽的条约数。 由于题目要求是最大的正方纸块， 所以正方纸块的边长是长 方形的长和宽的最大条约数。1米 3分米 5厘米=135 厘米1米 5厘米=105 厘米（135 ， 105 ） =15 长方形的平面或物体表面的大是： 135 105=14175 （平方厘米） 正方的平面或物体表面的大是： 15 15=225 （平方厘米） 共可裁成正方纸块： 14175 225=63 （张）例 4：一盒铅笔，可以均等分给 2，3，4，5，六个小伴侣，这盒铅笔最少有多少支？ 分析与解：这些铅笔可以均等分给 2，3，4，5，六个小伴侣，因此，铅笔的支数一定是2，3，4，5，

23、6 的公倍数，求铅笔最少有多少支，就是求2，3，4，5，6 的最小公倍数。2，3，4，5，6=60例 5：两个质数的和是 50，求这两个质数的乘积的最大值是多少？ 分析与解：把 50 表示为两个质数的和，共有四种形式： 50=47+3=43+7=37+13=31+19经计算发现： 31 19=587 最大。例 6：试写出十个连续的自然数，个个都是合数。 分析与解：我们要想找出十个连续的自然数而且每一个数都是合数，显然1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 是不行的，因为这十个自然数不是个个都是合数。我们设 K=1234567891011那么 K+2 ，K+3 ，K+4 K+11 为连续的 1

24、0 个数。K是 2的倍数，所以 K+2 能被 2整除；K是 3的倍数，所以 K+3 能被 3整除；K是 4的倍数，所以 K+4 能被 4整除；K是 11 的倍数，所以 K+11 能被 11 整除。所以 K+2 ，K+3 ，K+4 K+11 为连续的 10 个合数。 二、数学思维训练题：一、爷爷对小明说： “我现在的年龄是你的 7 倍，过几年是你的 6 倍，再过几年是你的 5 倍、 4 倍、 3倍、 2 倍。 ”爷爷和小明现在的年龄各是多少？分析与提示：此题先可以这样想：设小明今年 X岁，爷爷今年就是 7X岁。再过 A 年，可列方程：6（ X+A ） =7X+A解得 X=5A再过 B 年，可列方

25、程：5（ X+B ） =7X+B解得 X=2B所以 X既然 5的倍数，又是 2的倍数，所以 X是 10 的倍数。可从 10尝实验证。恰好得到 爷爷今年 70 岁，小明今年 10 岁。二、甲、乙两人在 400 米的环形跑道上晨练，甲跑一圈需要 70 秒，乙跑一圈需要 75 秒，两人约好同时从起点出发，到两人同时回到终点时结束晨练，那么这次晨练他们用了几分 钟？分析与提示： 70 ，75=1050 。1050 60=17.5（ 分）答: 这次晨练他们用了 17.5 分钟。3、有一根绳子，分别在它的 10 等分处、 12 等分处和 15 等分处剪断，那么这根绳子最后 被剪成几段？分析与提示：假设这段

26、绳子长 60 米。60 10=6 （米）60 12=5 （米）60 15=4 （米）30 米处；12 米、 24 米、 36 米、48 米处；20 米、 40 米处。10 等分和 12 等分重叠的地方在10 等分和 15 等分重叠的地方在12 等分和 15 等分重叠的地方在 9+11+14-7=27 27+1=28 （段） 答：这根绳子最后被剪成 28 段。4、大雪后的一天，小亮和爸爸共同步测一个圆形花园的周长，他俩走的起点和 标的目的完全相同，小亮每步长 54 厘米，爸爸每步长 72 厘米，由于两人的脚印有重合， 所以各走完一圈后雪地上只留下 60 个脚印，求花园的周长。分析与提示： 54,72=216216 54=4（ 步 ）216 72=3（ 步 ）4+3-1=6（ 步）60 6 216=2160（ 米）答: 花园的周长是 2160 米。5、有一根长方体木料，它相邻两个面的平面或物体表面的大是 108 平方分米和 32 平方分 米，长、宽、高都是整分米数且长度均不为 1 分米，要是把它锯成若干个小正方体并能拼成 一个大正方体， 那么这个长方