全等几何模型讲解

1、欢迎共阅常见的几何模型一、旋转主要分四大类：绕点、空翻、弦图、半角。这四类旋转的分类似于平行四边形、矩形、菱形、正方形的分类。1. 绕点型（手拉手模型）遇60旋600,造等边三角形（1） 自旋转：自旋转构造方法遇90旋90，造等腰直角遇等腰旋顶角，造旋转全等厂J I遇中点旋180。，造中心对称例题讲解：1. 如图所示，P是等边三角形ABC内的一个点，PA=2, PB=2、3，PC=4,求 ABC的边长。2. 如图，O是等边三角形 ABC内一点，已知：/ AOB=115。，/ BOC=125, 则以线段OA、OB、OC为边构成三角形的各角度数是多少？3. 如图，P是正方形ABCD内一点，且满足P

2、A PD PC=1 2 : 3,则/ APD=.4. 如图（2-1 ）： P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点 A、B、C 的距离分别为PA=1, PB=2, PC=3。求此正方形ABCD面积。（2）共旋转（典型的手拉手模型） 模型变形：例题讲解：1. 已知ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B,C重合）, 以AD为边作菱形ADEF（按A,D,E,F逆时针排列），使/ DAF=60，连接CF.？如图1，当点D在边BC上时，求证： ？BD=CF?AC=CF+CD.（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出

3、AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；？（3）如图3 ,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系。2. （13北京中考）在厶ABC中，AB=AC，/ BAC=（ 0 ： : 60 ），将线段BC绕点B逆时针旋转60 得到线段BD。（1）如图1,直接写出/ ABD的大小（用含:-的式子表示）；（2）如图2, / BCE=150, / ABE=60。，判断厶ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连结DE,若/ DEC=45,求的值。2. 半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为

4、二分之一的角拼接在一起，成对称全等。例题：1. 在等腰直角 ABCD的斜边上取两点 M,N,使得/ MC比45：记AM=m,MN=x,BN=n求证以m x，n为边长的三角形为直角三角形。2. 如图，正方形ABCD的边长为1, AB,AD上各存在一点P、0,若厶APQ的周长 为2，求.PCQ的度数。3.E、F分别是正方形 ABCD的边BC、CD上的点，且/ EAF =45 , AH _ EF , HADBE C垂足，求证：AH =AB .4. 已知，正方形 ABCD中，/ MAN=45 ，/ MAN绕点A顺时针旋转CB、DC （或它们的延长线）于点M、N，AH丄MN于点H .（1）如图，当/ M

5、AN点A旋转到BM=DN时，请你直接写出 AHAH=AB ;（2）如图，当/ MAN绕点A旋转到BM DN时，（1 ）中发现的AH与AB的数量关系 还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图，已知/ MAN=45 ，AH丄MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长.（可 利用（2）得到的结论）5. 已知：正方形ABCD中，/ MAN=45 ，/ MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交 CB，DC（或它们的延长线）于点M，N .当/ MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证B M+DN=MN .V圈写出猜想，并 以证明.当A3段/ MAN绕点旋转到如图 的位置时，线BM，

6、DN 和N之间又有BMCMC图1图2M怎样的数量关系？请直接写出你的猜想.（1）当/ MAN绕点A旋转到BW DN时（如图2），线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关 系？加6.（14房山2模）.边长为2的正方形ABCD的两顶点A、C分别在正方形EFGH 的两边DE、DG上（如图1），现将正方形ABCD绕D点顺时针旋转，当A点第一 次落在DF上时停止旋转，旋转过程中，AB边交DF于点M ， BC边交DG于点N .（1）求边DA在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN和AC平行时（如图2），求正方形ABCD旋转的度数;（3）如图3,设 MBN的周长为p，在旋转正方形ABCD的过程中，p

7、值是否有变化？请证明你的结论7. (2011石景山一模)已知：如图，正方形ABCD中，AC, BD为对角线，将/ BAC 绕顶点A逆时针旋转a 0Va 45),旋转后角的两边分别交 BD于 点P、点Q,交BC, CD于点E、点F,连接EF, EQ.(1) 在/ BAC的旋转过程中，/ AEQ的大小是否改变？若不变写出它 的度数；若改变，写出它的变化范围(直接在答题卡上写出结果， 不必证明)；(2) 探究 APQ与厶AEF的面积的数量关系，写出结论并加以证明.8 .已知在 ABC 中，.ACB = 90 , CA 二 CB = 6、. 2 , CD _ AB 于 D，点 E 在直1线CD 上,

8、DE，点F在线段AB 上, M是DB的中点，直线AE与直线CF交于N点.(1)如图1,若点E在线段CD上，请分别写出线段AE和CM之间的位置关 系和数量关系： , ;| / I 1(2)在(1)的条件下，当点F在线段AD上，且AF =2FD时，求证：.CNE二45 ；(3) 当点E在线段CD的延长线上时，在线段 AB上是否存在点F，使得CNE =45 .若存在，请直接写出AF的长度；若不存在，请说明理由.i图备用图9.(2014 平谷一模 24)(1) 如图1,点E、F分别是正方形 ABCD的边BC、CD上的点，/ EAF=45 , 连接EF,贝U EF、BE、FD之间的数量关系是：EF=BE

9、+FD .连结BD ,交AE、AF于 Xj 点M、N ,且MN、BM、DN满足MN 2二BM 2 DN2，请证明这个等量关系；(2) 在厶ABC中，AB=AC,点D、E分别为BC边上的两点. 如图2,当/ BAC=60, / DAE=30时，BD、DE、EC应满足的等量关系 是 如图 3,当/ BAC=，(0 90，/ DAE二丄时，BD、DE、EC 应满2足的等量关系是 .【参考：sin2a +cos2a =1】、亠注意：2AM2 二BM2 DM 2(1)在正方形 ABCD 中，AB=AD，/ BAD=90M/ ABM= / ADN=45把厶ABM绕点A逆时针旋转90得到.-adm , 连结

10、 NM .贝U DMBM , AM、AM ,.ADM =. ABM =45 ,/DAM ” ：/BAM .vZ EAF=45, / BAM+Z DAN=45/ DAM + Z DAF=45, /M AN =/MAN =45 s. / AM N 也. ：AMN . M N =MN .在 DM N 中，.MDN 二.ADN . ADM = 90 ,- MN 2 =DN2 BM 2(2) DE2 二 BD2 BD EC EC2 ;2 2 2 DE =BD 2cos: BD EC EC3空翻模型例题：1. 如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)，作 DMN =60 ,射线M

11、N与Z DBA外角的平分线交于点N , DM与MN有怎样的数 量关系？i 二严 r I 【解析】 猜测DM =MN .过点M作MG / BD交AD于点G , AG二AM , GD =MB 又 VZ ADM . DMA =120 , Z DMA Z NMB =120 Z ADM =Z NMB，而 Z DGM =Z MBN =120 , . DGM MBN , DM = MN .2. 如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MN _DM且与Z ABC外角的平分线交于点N , MD与MN有怎样的数量关系？【解析】 猜测DM二MN .在AD上截取AG =AM , DG =MB , Z AGM =

12、45、 Z DGM =Z MBN =135 , Z ADM =Z NMB ,.DGM 也 aMBN DMMN3. 【探究发现】如图1,ABC是等边三角形，.AEF =60 , EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F.当点E是BC的中点时，有AE=EF成立； 【数学思考】某数学兴趣小组在探究 AE、EF的关系时,运用 从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：当点 E是直线BC上(B,C除外)任 意一点时(其它条件不变)，结论AE=EF仍然成立.假如你是该兴趣小组中的一员，请你从 点E是线段BC上的任意一点”；点 E是线段BC延长线上的任意一点”；“点E是线段BC反向延长线上的任意

13、 一点”三种情况中，任选一种情况，在备用图 1中画出图形，并进行证明.【拓展应用】当点E在线段BC的延长线上时，若CE = BC,在备用图2中画出图形，并运用上述结论求出S abc : S aef的值.4. 弦图模型外弦图内弦图总统图例题：1.两个全等的30, 60三角板ADE,BAC,如右下图所示摆放，E、A、C在一 条直线上，连接BD,取BD的 中点M，连接ME, MC(1)求证： EDM CAM ( 2)求证： EMC为等 腰直 角三 角形.2. 如图 ABC 中，已知/ A=90, AB=AC,D为AC中点，AE丄BD于E,延长AE交BC于F,求证：/ ADB= / CDF若D, M为

14、AC上的三等分点，如图2,连BD，过A作AE丄BD于点E,交 BC于点F，连MF，判断/ ADB与/ CMF的大小关系并证明.3. (14朝阳二模)已知/ ABC=90，D是直线AB上的点，AD=BC.(1) 如图1,过点A作AF丄AB,并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断 CDF的形状并证明；(2) 如图2, E是直线BC上的一点，直线AE、CD相交于点P,且/APD=45, 求证BD=CE.下图依次 翻折成正方形 例题：D的轴对称图形,；或、30、22.5 、15及有一个角是300直角三角形的对称(翻折)， 等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。PC=3C求 AD 的长分别以AB、AC为对称轴,D, BD=BAC=45 , ADL BC 于宜用轴对称知识，将图形进行翻折变换如图 D点的对称点为E、F,延长EB FC相交于G点，得到四 x的方程模型，求出 x的值.图21. 如图1，在 ABC中，已小萍同学灵活d 画出 ABD 边形AEGF是正方形.设 AD=x利用勾股定理，建立关于 参考小萍的思路，图探究并解答新问题：如图2,在厶ABC中，Z BAC=30 , ADL BC于D, AD=4请你按照小萍的方法画图，得到四 边形AEGF求厶BGC的周长.(画图所用字母与图1中的字母对应)2. 问题：已知 ABC中, Z BA